2024年高考数学终极押题密卷1（新高考Ⅱ）含答案.doc

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1、2024年高考数学终极押题密卷1（新高考）一选择题（共8小题）1经过A（1，1），B（1，1），C（0，2）三个点的圆的方程为（）A（x+1）2+（y1）22B（x1）2+（y1）22Cx2+（y1）21Dx2+（y+1）212已知向量，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3已知函数，则f（3）（）A1B2C4D84在等差数列an中，a3+a165，则S18（）A100B50C90D455已知点A（1，0），直线l：y2x4，点R是直线l上的一点若，则点P的轨迹方程为（）Ay2xBy2xCy2x8Dy2x+46已知点P（1，2）在抛物线C：y2

2、2px上，F是抛物线C的焦点，过点F的直线与抛物线C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若x1+x24，则|MN|（）A3B4C5D67谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1），沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2），对剩下的三个小三角形继续以上操作（如图3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形如果图1三角形的边长为2，则图4被挖去的三角形面积之和是（）ABCD8已知点M，N是抛物线y4x2上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满足，弦MN的中点P到直线l：的距离记为d，若|MN|2d2，则

3、的最小值为（）A3BCD4二多选题（共3小题）（多选）9下列命题中正确的是（）A已知随机变量XB（6，），则D（3X+2）12B已知随机变量YN（，2），且P（Y4）P（Y0），则2C已知一组数据：7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的第30百分位数是8D抽取高三年级50名男生、50名女生的二模数学成绩，男生平均分123分，方差为60；女生平均分128分，方差为40，则抽取的100名学生数学成绩的方差为80（多选）10已知函数的相邻两对称轴的之间的距离为，函数为偶函数，则（）AB为其一个对称中心C若f（x）在（a，a）单调递增，则D曲线yf（x）与直线有7个交点（多选）11已知抛物线C：

4、y26x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，若M为C的准线上任意一点，则（）A直线若AB的斜率为，则|AB|16BAMB的取值范围为CDAOB的余弦有最小值为三填空题（共3小题）122023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行在“一带一路”欢迎晚宴上，我国拿出特有的美食、美酒款待大家，让国际贵宾们感受中国饮食文化、茶文化、酒文化这次晚宴菜单中有“全家福”“沙葱牛肉”“北京烤鸭”“什锦鲜蔬”“冰花锅贴”“蟹黄烧麦”“天鹅酥”“象形枇杷”假设在上菜的过程中服务员随机上这八道菜（每次只上一道菜），则“沙葱牛肉”“北京烤鸭”相邻的概率为 13海岛算经是魏晋时期数学家

5、刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度如图，把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B（点A，B在建筑物的同一侧，且点A，B，C，D位于同一个平面内），测得，在点A处测得点C，D的仰角分别为30，67，在点B处测得点D的仰角为33.5，则塔高CD为 m（参考数据：）14已知球O的表面积为12，正四面体ABCD的顶点B，C，D均在球O的表面上，球心O为BCD的外心，棱AB与球面交于点P若A平面1，B平面2，C平面3，D平面4，ii+1（i1，2，3）且i与 i+1（i1，2

6、，3）之间的距离为同一定值，棱AC，AD分别与2交于点Q，R，则PQR的周长为 四解答题（共5小题）15在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，A的角平分线交BC于点D，且AD1（1）求A的大小；（2）若，求ABC的面积16已知函数（1）当a0时，求f（x）在x1处的切线方程；（2）当a1时，求f（x）的单调区间和极值；（3）若对任意xR，有f（x）ex1恒成立，求a的取值范围17“斯诺克（Snooker）”是台球比赛的一种，意思是“阻碍、障碍”，所以斯诺克台球有时也被称为障碍台球，是四大“绅士运动”之一，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一现甲、乙两人进行比赛比赛采

7、用5局3胜制，各局比赛双方轮流开球（例如：若第一局甲开球，则第二局乙开球，第三局甲开球），没有平局已知在甲的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为，在乙的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为，并且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权（1）求甲以3：1赢得比赛的概率；（2）设比赛的总局数为，求E（）18已知F1、F2是椭圆C：1（ab0）的左、右焦点，P、Q是椭圆C上的两点，PF1F2的周长为2，短轴长为2（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点A（2，1），0，问：直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标，若不过，请说明理由19若一个两位正整数m的个位数为4，则称m为“好数”（1）求

8、证：对任意“好数”m，m216一定为20的倍数；（2）若mp2q2，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：，例如245212，称数对（5，1）为“友好数对”，则，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值2024年菁优高考数学终极押题密卷1（新高考）参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1经过A（1，1），B（1，1），C（0，2）三个点的圆的方程为（）A（x+1）2+（y1）22B（x1）2+（y1）22Cx2+（y1）21Dx2+（y+1）21【考点】圆的标准方程；圆的一般方程菁优网版权所有【专题】方程思想；综合法；直线与圆；数学运算【答案】C【分析】设

9、圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F0，代入点的坐标，建立关于D，E，F的方程组，解出即可【解答】解：设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F0，则，解得，则圆的一般方程为x2+y22y0，即x2+（y1）21故选：C【点评】本题考查圆的方程的求法，属于基础题2已知向量，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；充分条件与必要条件菁优网版权所有【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算【答案】A【分析】根据已知条件，结合平面向量垂直的性质，即可求解【解答】解：，则，即2010k20，解得k，故“

10、”是“”的充分不必要条件故选：A【点评】本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题3已知函数，则f（3）（）A1B2C4D8【考点】函数的值菁优网版权所有【专题】转化思想；参数法；函数的性质及应用；数学运算【答案】B【分析】将x的值依次代入函数的解析式，即可求解【解答】解：，则f（3）f（2）f（1）212故选：B【点评】本题主要考查函数的值，属于基础题4在等差数列an中，a3+a165，则S18（）A100B50C90D45【考点】等差数列的前n项和菁优网版权所有【专题】转化思想；定义法；等差数列与等比数列；数学运算【答案】D【分析】利用等差数列前n项和公式、通项公式直接求解【解答】解：在等

11、差数列an中，a3+a165，由题意得故选：D【点评】本题考查等差数列前n项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5已知点A（1，0），直线l：y2x4，点R是直线l上的一点若，则点P的轨迹方程为（）Ay2xBy2xCy2x8Dy2x+4【考点】与直线有关的动点轨迹方程菁优网版权所有【专题】计算题【答案】B【分析】设点P的坐标为（x，y），点R（m，n），则 n2m4 由 可得 m2x，ny，再代入化简可得点P的轨迹方程【解答】解：设点P的坐标为（x，y），点R（m，n），则 n2m4 由 可得，（1m，n）（x1，y），1mx1，ny，即 m2x，ny，代入可得y2（2x）4

12、，化简可得 y2x，故选：B【点评】本题考查用代入法求点的轨迹方程，两个向量相等的性质，得到 m2x，ny，是解题的关键6已知点P（1，2）在抛物线C：y22px上，F是抛物线C的焦点，过点F的直线与抛物线C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若x1+x24，则|MN|（）A3B4C5D6【考点】抛物线的性质；直线与抛物线的综合菁优网版权所有【专题】转化思想；设而不求法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【答案】D【分析】把点P的坐标代入抛物线的方程可得p的值，即得抛物线的方程，由抛物线的定义可得弦长|MN|的表达式，可得所求的结果【解答】解：因为点P（1，2）在抛物线C：y22px

13、上，所以42p，解得p2，所以抛物线的方程为y24x，焦点F（1，0），准线方程为：x1，因为过点F的直线与抛物线C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，所以由抛物线的定义可得：|MN|FM|+|FN|x1+1+x2+1x1+x2+26故选：D【点评】本题考查抛物线的方程与抛物线的定义，属于中档题7谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1），沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2），对剩下的三个小三角形继续以上操作（如图3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形如果图1三角形的边长为2，则图4被

14、挖去的三角形面积之和是（）ABCD【考点】归纳推理；三角形中的几何计算菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；推理和证明；数学运算【答案】D【分析】根据图中挖去三角形的边长，以及挖去三角形的个数进行解答，即可得到本题的答案【解答】解：第一种挖掉的三角形边长为，共1个，面积为，第二种挖掉的三角形边长为，共3个，面积为，第三种挖掉的三角形边长为，共9个，面积为，故图4被挖去的三角形面积之和是故选：D【点评】本题主要考查三角形的面积公式、归纳推理及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题8已知点M，N是抛物线y4x2上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满足，弦MN的中点P到直线l

15、：的距离记为d，若|MN|2d2，则的最小值为（）A3BCD4【考点】抛物线的性质菁优网版权所有【专题】综合题；方程思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程【答案】A【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设|MF|a，|NF|b，由MFN120，运用余弦定理可得|MN|，运用抛物线的定义和中位线定理可得d（|MF|+|NF|）（a+b），运用基本不等式计算即可得到所求最小值【解答】解：抛物线y4x2的焦点F（0，），准线为y，设|MF|a，|NF|b，由MFN120，可得|MN|2|MF|2+|NF|22|MF|NF|cosMFNa2+b2+ab，由抛物线的定义可得M到准线的距离为|MF|，N到

16、准线的距离为|NF|，由梯形的中位线定理可得d（|MF|+|NF|）（a+b），由|MN|2d2，可得11，可得3，当且仅当ab时，取得最小值3，故选：A【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查余弦定理和基本不等式的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题二多选题（共3小题）（多选）9下列命题中正确的是（）A已知随机变量XB（6，），则D（3X+2）12B已知随机变量YN（，2），且P（Y4）P（Y0），则2C已知一组数据：7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的第30百分位数是8D抽取高三年级50名男生、50名女生的二模数学成绩，男生平均分123分，方差为60；女生平均分1

17、28分，方差为40，则抽取的100名学生数学成绩的方差为80【考点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；极差、方差与标准差；百分位数菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算【答案】AB【分析】根据题意，由二项分布的性质可得A正确，由正态分布的性质可得B正确，对于C，求出数据的第30百分位数，可得C错误，对于D，求出100名学生的方差，可得D错误，综合可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，已知随机变量XB（6，），则D（X）6，则有D（3X+2）912，A正确；对于B，已知随机变量

18、YN（，2），且P（Y4）P（Y0），则2，B正确；对于C，将数据从小到大排列：5，6，7，7，8，8，8，9，有830%2.4，则其第30百分位数是7，C错误；对于D，抽取的100名学生数学成绩的平均数125.5，则100名学生的方差S2（60+）+（40+）56.25，D错误故选：AB【点评】本题考查二项分布、正态分步的性质，涉及百分位数和方差的计算，属于基础题（多选）10已知函数的相邻两对称轴的之间的距离为，函数为偶函数，则（）AB为其一个对称中心C若f（x）在（a，a）单调递增，则D曲线yf（x）与直线有7个交点【考点】正弦函数的奇偶性和对称性菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；转

19、化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算【答案】ACD【分析】根据题意，由正弦函数的性质分析求出、的值，结合三角函数图象变换的规律分析选项，即可得答案【解答】解：根据题意，函数的相邻两对称轴的之间的距离为，则其周期T，则2；函数为偶函数，则f（x）的图象关于直线x对称，又yf（x）的图象向左平移个单位得到，则有，且，故，依次分析选项：对于A，A正确；对于B，因为，且，所以B错误；对于C，令，kZ，故易知f（x）在单调递增，故，C正确；对于D，直线与曲线yf（x）均过点，且该直线与曲线yf（x）均关于该点中心对称，当时，当时，由对称性可知曲线yf（x）与直线有7个交点，故D正确故选：ACD

20、【点评】本题考查正弦函数的性质，涉及三角函数图象的变换，属于基础题（多选）11已知抛物线C：y26x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，若M为C的准线上任意一点，则（）A直线若AB的斜率为，则|AB|16BAMB的取值范围为CDAOB的余弦有最小值为【考点】抛物线的性质；直线与抛物线的综合菁优网版权所有【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【答案】BCD【分析】对于抛物线的焦点弦相关问题，首先要熟悉一些二级结论，如A项，若记得焦点弦关于倾斜角的弦长公式则可以秒杀；B项熟悉“以焦点弦AB为直径的圆与准线相切”则可以迅速判断结论；而对于C，D两个选项，则需要将直

21、线与抛物线方程联立，借助于韦达定理进行计算推理才可得到【解答】解：对于A选项，由题知，AB的斜率为，则，代入C：y26x整理得：4x220x+90，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，而|AB|x1+x2+38；故A项错误；对于B选项，以焦点弦AB为直径的圆与准线相切，M为C的准线上任意一点，则点M在以AB为直径的圆上或圆外，当M在直线AB上时，AMB0，即AMB的取值范围为，故B项正确；对于C选项，设A（x1，y1），B（x2，y2），设，联立，消元得：y26ty90，则 ，故，故C项正确；对于D选项，即AOB的余弦的最小值为，故D项正确故选：BCD【点评】本题主要考查了抛物线的性质，

22、考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题三填空题（共3小题）122023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行在“一带一路”欢迎晚宴上，我国拿出特有的美食、美酒款待大家，让国际贵宾们感受中国饮食文化、茶文化、酒文化这次晚宴菜单中有“全家福”“沙葱牛肉”“北京烤鸭”“什锦鲜蔬”“冰花锅贴”“蟹黄烧麦”“天鹅酥”“象形枇杷”假设在上菜的过程中服务员随机上这八道菜（每次只上一道菜），则“沙葱牛肉”“北京烤鸭”相邻的概率为 【考点】古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算【答案】见试题解答内容【分析】根据元素相邻关系进行捆绑并结合排列问

23、题得出结果【解答】解：服务员随机上这八道菜有种排法，“沙葱牛肉”，“北京烤鸭”相邻有种排法，所以所求概率故答案为：【点评】本题考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题13海岛算经是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度如图，把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B（点A，B在建筑物的同一侧，且点A，B，C，D位于同一个平面内），测得，在点A处测得点C，D的仰角分别为30，67，在点B处测得点D的仰角为33.5，则塔高CD为 24m（参考数据：）【

24、考点】解三角形菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；解三角形；数学运算【答案】24【分析】在ACD中，求出，CAD37，ACD120，利用正弦定理求解即可【解答】解：如图，延长DC与BA的延长线交于点E，则DAE67，CAE30，DBA33.5，所以ADB6733.533.5，CAE903060，所以在ACD中，CAD673037，ACD18060120，由正弦定理，得故答案为：24【点评】本题考查正弦定理的应用，属于中档题14已知球O的表面积为12，正四面体ABCD的顶点B，C，D均在球O的表面上，球心O为BCD的外心，棱AB与球面交于点P若A平面1，B平面2，C平面3，D平面4，ii+1

25、（i1，2，3）且i与 i+1（i1，2，3）之间的距离为同一定值，棱AC，AD分别与2交于点Q，R，则PQR的周长为 【考点】点、线、面间的距离计算菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算【答案】【分析】设与i+1（i1，2，3）之间的距离为d，由题意解得球O的半径为，再由平面向量的基本定理，可得，进而得出，再结合题设数量关系，求得PQR的周长【解答】解：设与i+1（i1，2，3）之间的距离为d，球O的半径为R，则由题意得4R212，解得，所以，所以，所以，由A，P，B三点共线，故存在实数，使得，所以，所以36x2+3（1）2，即3220，解得，所以，所以，所以，

26、又ii+1（i1，2，3）且i与 i+1（i1，2，3）之间的距离为同一定值d，则，所以AR1，所以，又，所以PQR的周长为故答案为：【点评】本题考查空间距离的计算，属中档题四解答题（共5小题）15在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，A的角平分线交BC于点D，且AD1（1）求A的大小；（2）若，求ABC的面积【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理菁优网版权所有【专题】转化思想；转化法；解三角形；数学运算【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理，即可求解；（2）根据已知条件，结合等面积法，推得b+cbc，再结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解【解答】解：（

27、1）因为，由正弦定理可得，B（0，），则sinB0，所以，故，A（0，），则；（2）由题意可知SABD+SACDSABC，A的角平分线交BC于点D，则，化简可得b+cbc，在ABC中，由余弦定理得，从而，解得bc5或bc4（舍）所以【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题16已知函数（1）当a0时，求f（x）在x1处的切线方程；（2）当a1时，求f（x）的单调区间和极值；（3）若对任意xR，有f（x）ex1恒成立，求a的取值范围【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】函数思想；转化思想；综合法；

28、函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用；直观想象；数学运算【答案】（1）；（2）单调递增区间为（0，+），递减区间为（，0）；极大值为1，无极小值；（3），+）【分析】（1）将a0代入，利用导数的几何意义求出切线的斜率，写出切线的点斜式方程，再化简即可；（2）将a1代入，利用导数的正负与原函数的增减关系，确定函数的单调区间，即可得答案；（3）由题意可得即，设，利用导数求出m（x）的最大值即可【解答】解：（1）当a0时，则，因为f（1）0，f（1），所以切线方程为y0（x1），即；（2）当a1时，f（x）xexex，令g（x）1xe2x，则g（x）12e2x0，故g（x）在R上单调递

29、减，而g（0）0，因此0是g（x）在R上的唯一零点，即0是f（x）在R上的唯一零点，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（，0）0（0，+）f（x）+0f（x）单调递增极大值单调递减所以f（x）的单调递增区间为（0，+），递减区间为（，0）；所以f（x）的极大值为f（0）1，无极小值；（3）由题意知xexaexex1，即，即，设，则，令m（x）0，解得，当，m（x）0，m（x）单调递增，当，m（x）0，m（x）单调递减，所以，所以所以a的取值范围为，+）【点评】本题考查了导数的几何意义、综合运用及转化思想，属于中档题17“斯诺克（Snooker）”是台球比赛的一种，意思是“阻碍、

30、障碍”，所以斯诺克台球有时也被称为障碍台球，是四大“绅士运动”之一，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一现甲、乙两人进行比赛比赛采用5局3胜制，各局比赛双方轮流开球（例如：若第一局甲开球，则第二局乙开球，第三局甲开球），没有平局已知在甲的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为，在乙的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为，并且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权（1）求甲以3：1赢得比赛的概率；（2）设比赛的总局数为，求E（）【考点】离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】对应思想；转化法；概率与统计；数学运算【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用独立事件的概

31、率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求解；（2）确定的可能取值，再求取各值的概率，利用期望公式求期望【解答】解：（1）甲以3：1赢得比赛，则前3局中甲赢得了2局，第4局甲获胜，所以甲以3：1赢得比赛的概率为（2）的可能取值为3，4，5，设甲获胜的概率为P甲，乙获胜的概率为P乙，；则，所以【点评】本题考查独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量的期望公式，属于中档题18已知F1、F2是椭圆C：1（ab0）的左、右焦点，P、Q是椭圆C上的两点，PF1F2的周长为2，短轴长为2（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点A（2，1），0，问：直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标

32、，若不过，请说明理由【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程；椭圆的性质菁优网版权所有【专题】分类讨论；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算【答案】（1）+1；（2）直线PQ恒过定点（，）【分析】（1）由PF1F2的周长可得a，c的关系，再由短轴长，可得b的值，再由a，b，c的关系，可得a，c的值，进而求出椭圆的方程；（2）分直线PQ的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线PQ的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由0，可得参数的关系，进而求出直线PQ恒过的定点的坐标【解答】解：（1）PF1F2的周长为22a+2c，短轴长为22b，则，解得a，b，所以椭圆C的标准方程为：+1

33、；（2）直线PQ过定点，证明过程如下：当直线PQ的斜率存在时，则直线PQ的方程为ykx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，整理可得：（1+2k2）x2+4kmx+2m260，16k2m24（1+2k2）（2m26）0，即m23+6k2，且x1+x2，x1x2，因为0，即（x12，y11）（x22，y21）0，即（x12）（x22）+（kx1+m1）（kx2+m1）0，整理可得（1+k2）x1x2+（kmk2）（x1+x2）+4+（m1）20，即（1+k2）+（kmk2）+5+m22m0，整理可得：3m22m1+4k2+8km0，即（3m+2k+1）（m+2k1）0，解得3m+2k

34、+10或m+2k10，可得mk或m2k+1，所以直线PQ的方程为ykxkk（x）或ykx2k+1k（x2）+1，可得直线PQ恒过定点（，）或定点（2，1）（舍）当直线PQ的斜率不存在时，设直线xt，t（，），联立，可得y23（1），可得y，设P（t，），Q（t，），因为0，所以（t2，1）（t2，1）0，即（t2）2+1（）0，即3t28t+40，解得t或t2（舍），即直线PQ的方程为x，显然也过定点（，）综上所述：直线PQ恒过定点（，）【点评】本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，直线恒过定点的求法，属于中档题19若一个两位正整数m的个位数为4，则称m为“好数”（1）求证：对任意“好

35、数”m，m216一定为20的倍数；（2）若mp2q2，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：，例如245212，称数对（5，1）为“友好数对”，则，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值【考点】有理数指数幂及根式菁优网版权所有【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）设m10t+4，从而有m216（10t+4）216100t2+80t+161620（5t2+4t）即可证明；（2）根据题意可得10t+4（p+q）（pq），进而分类讨论即可求解【解答】解：（1）证明：设m10t+4，1t9且t为

36、整数，m216（10t+4）216100t2+80t+161620（5t2+4t），1t9，且t为整数，5t2+4t是正整数，m216一定是20的倍数；（2）mp2q2，且p，q为正整数，10t+4（p+q）（pq），当t1时，10t+41411427，没有满足条件的p，q，当t2时，10t+4241242123846，满足条件的有或，解得或，或，当t3时，10t+434134217，没有满足条件的p，q，当t4时，10t+444144222411，满足条件的有，解得，当t5时，10t+45415422731869，没有满足条件的p，q，当t6时，10t+46416423241688，满足条件

37、的有或，解得或，或，小于70的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值为【点评】本题主要考查了新定义问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题考点卡片1充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为pq，称p为q的充分条件，q是p的必要条件事实上，与“pq”等价的逆否命题是“qp”它的意义是：若q不成立，则p一定不成立这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件例如：p：x2；q：x0显然xp，则xq等价于xq，则xp一定成立2、充要条件：如果既有“pq”，又有“qp”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“pq”p与

38、q互为充要条件【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再

39、根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系【命题方向】 充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广2函数恒成立问题【知识点的认识】 恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程例：要使函数f（x）ax2+1恒大于0，就必须对a进行限制令a0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题

40、较简单【解题方法点拨】 一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导例：f（x）x2+2x+3ax，（x0）求a的取值范围 解：由题意可知：a恒成立 即ax+2a2+2【命题方向】 恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用3函数的值【知识点的认识】函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围【解题方法点拨】求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种： 基本不等式法：如当x0时，求2x+的最小值

41、，有2x+28； 转化法：如求|x5|+|x3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x5和x3的距离之和，易知最小值为2； 求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较例题：求f（x）lnxx在（0，+）的值域解：f（x）1易知函数在（0，1单调递增，（1，+）单调递减最大值为：ln111，无最小值； 故值域为（，1）【命题方向】函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主4有理数指数幂及根式【知识点的认识】根式与分数指数幂规定：（a0，m，nN*，n1）（a0，

42、m，nN*，n1）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义有理数指数幂（1）幂的有关概念：正分数指数幂：（a0，m，nN*，且n1）；负分数指数幂：（a0，m，nN*，且n1）；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义（2）有理数指数幂的性质：arasar+s（a0，r，sQ）；（ar）sars（a0，r，sQ）；（ab）rarbr（a0，b0，rQ）【解题方法点拨】例1：下列计算正确的是（）A、（1）01 B、a C、3 D、;a4x22$（a0）分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案解：（1）01，A不正确；$sqrtasqrtasqrtaafrac12sqrtafrac32afrac34root4a