正态分布 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册.pptx

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1、7.5 正正态态分布分布正态曲线与正态分布的历史正态曲线与正态分布的历史渊源渊源 现实现实中，除了前面已中，除了前面已经经研究研究过过的离散型随机的离散型随机变变量外，量外，还还有大量有大量问题问题中的随机中的随机变变量不是离散型的，它量不是离散型的，它们们的取的取值值往往充往往充满满某个区某个区间间甚至整个甚至整个实实轴轴，但取一点，但取一点的概率的概率为为0，我，我们们称称这类这类随机随机变变量量为为连续型随机变量连续型随机变量.离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，(两点分布、超几何分布、二项分布等)连续型随机变量的概率分布规律用什么来描述？人的身高、体重、肺活量；电视机的寿命；小麦

2、的株高、穗长、单位面积产量；人的身高、体重、肺活量；电视机的寿命；小麦的株高、穗长、单位面积产量；零件的尺寸；某地每年零件的尺寸；某地每年7 7月的平均气温、降水量；居民的月均用水量月的平均气温、降水量；居民的月均用水量问题：自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g.由于各种不可控的因素，任意抽取一袋食盐的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X(单位：g)的观测值如下：(1)如何描述这100个样本误差数据的分布？(1)如何描述这100个样本误差数据的分布？可

3、用可用频率分布直方图频率分布直方图描述这组误差数据的分布，如图所示描述这组误差数据的分布，如图所示.其中其中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，观察图形可知：观察图形可知：误差观测值有误差观测值有正有负，并大致对称地分布在正有负，并大致对称地分布在X=0的两侧，而且小误差比大的两侧，而且小误差比大误差出现得更频繁误差出现得更频繁.随着随着样本数据量越来越大样本数据量越来越大，让分，让分组越来越多，组距越来越小，由组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性频率的稳定性可知，频率分布直可知，频率分布直方图的方图的轮廓就越来越稳定轮廓就越来越稳定，

4、接近，接近一条一条光滑的钟形曲线光滑的钟形曲线.频率分布折线图频率分布折线图光滑的钟形曲线光滑的钟形曲线(2)如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布？可用可用图中的图中的钟形曲线钟形曲线(曲线与水平轴之间的区域的面积为曲线与水平轴之间的区域的面积为1)来描述来描述袋装食盐质量误袋装食盐质量误差的概率分布差的概率分布.例如，任意抽取一袋食盐，例如，任意抽取一袋食盐，误差落在误差落在-2，-1内的概率，可用图中黄内的概率，可用图中黄色阴影部分的面积表示色阴影部分的面积表示.(3)由函数知识知，右图中的钟形曲线是一个函数.那么，这个函数是否存在解析式呢？100个数据(食盐质量误差)100个数据的频率

5、分布直方图轮廓n(n100)个数据的频率分布直方图轮廓接近一条光滑的钟型曲线正态密度曲线 思考思考1 由函数知识可知，图由函数知识可知，图(3)中的钟形曲线是中的钟形曲线是一个函数一个函数.那么，这个函数是否存在解析式呢那么，这个函数是否存在解析式呢?0-6-420-2f(x)0.050.100.150.20X46(3)答案是肯定的答案是肯定的.在数学家的不懈努力下，找到了以在数学家的不懈努力下，找到了以下刻画随机下刻画随机误误差分布的解析式差分布的解析式:其中其中R，0为为参数参数.显显然，然，对对任意的任意的xR，f(x)0，它的，它的图图象在象在x轴轴的上方的上方，可以，可以证证明明x轴

6、轴和曲和曲线线之之间间的区域的的区域的面面积为积为1.我我们们称称f(x)为为正态密度函数正态密度函数，称它的，称它的图图象象为为正态密度曲线正态密度曲线，简简称称正态曲线正态曲线，若随机，若随机变变量量X的概率分布密度函数的概率分布密度函数为为f(x)，则则称随机称随机变变量量X服从服从正正态分布态分布，记为记为XN(,2).特特别别当当=0,=1时时，称随机，称随机变变量量X服从服从标准正态分布标准正态分布.1.正态分布：正态分布：正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布，例如，某些物理量的测量误差，某一

7、地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等，一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量，自动流水线生产的各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容），某地每年7月的平均气温、平均湿度、降水量等，一般都近似服从正态分布思考思考2 观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点?思考思考2 观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点?由由X的密度函数及的密度函数及图图象可以象可以发现发现，正，正态态曲曲线还线还有以下特点有以下特点:(1)曲曲线线是是

8、单单峰的，它关于峰的，它关于直直线线x=对对称；称；(2)曲曲线线在在x=处处达到达到峰峰值值(3)当当|x|无限增大无限增大时时，曲曲线线无限接近无限接近x轴轴.思考思考3 一个正态分布由参数一个正态分布由参数和和完全确定，这两个参数对正态曲完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响线的形状有何影响?它们反映正态分布的哪些特征它们反映正态分布的哪些特征?思考思考3 一个正态分布由参数一个正态分布由参数和和完全确定，这两个参数对正态曲线的形状完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响有何影响?它们反映正态分布的哪些特征它们反映正态分布的哪些特征?由于正由于正态态曲曲线线关于关于x=对对称，

9、因此，当称，因此，当参数参数固定固定时时，正，正态态曲曲线线的的位置由位置由确定确定，且随着，且随着的的变变化而沿化而沿x轴轴平移，所以参数平移，所以参数反映了正反映了正态态分布的分布的集中位置集中位置，可，可以用以用均均值值来估来估计计，故有，故有当当固定固定时时，因，因为为正正态态曲曲线线的峰的峰值值与与成反比，而成反比，而且且对对任意的任意的0，正，正态态曲曲线线与与x轴轴之之间间的区域的面的区域的面积积总为总为1.因此，当因此，当较较小小时时，峰峰值值高高，曲，曲线线“瘦高瘦高”，表，表示随机示随机变变量量X的的分布比分布比较较集中集中；当；当较较大大时时，峰峰值值低低，曲曲线线“矮胖

10、矮胖”，表示随机，表示随机变变量量X的的分布比分布比较较分散分散，所以，所以反映了随机反映了随机变变量的分布相量的分布相对对于均于均值值的的离散程度离散程度，可以用可以用标标准差准差来估来估计计，故有，故有=0.5012-1-2x-33x=1=2(1)曲线在曲线在x轴的上方，与轴的上方，与x轴不相交；轴不相交；(3)曲线与曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为1；(4)当当一定时，一定时，越大，曲线越越大，曲线越“矮胖矮胖”，表示总体的，表示总体的分布越分散分布越分散；越小，曲线越小，曲线越越“瘦高瘦高”，表示总体的表示总体的分布越集中分布越集中.2.正态曲线的性质：正态曲线的性质：(2)曲曲线

11、线是是单单峰的，它关于直峰的，它关于直线线x=对对称称，且且曲曲线线在在x=处处取得最大取得最大值值；(5)参数参数反映了正态分布的反映了正态分布的集中位置集中位置，反映了随机变量的分布相对于均反映了随机变量的分布相对于均值值的的离散程度离散程度.在实际问题中，参数在实际问题中，参数，可以分别用样本可以分别用样本均值均值和样本和样本标标准差准差来估计，故有来估计，故有练习：练习：1.若若XN(2,3)，则，则E(X)=_，D(X)=_.2.XN(,2)，若，若E(X)=3，(X)=2，则，则=_，=_.23321.如图所示，是一个正态曲线试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总

12、体随机变量的均值和方差3.正态曲线下的面积规律：正态曲线下的面积规律：-x1 -x2 x2 x1 a-a正态曲线下正态曲线下对称区域的面积相等对称区域的面积相等对应的概率也相等对应的概率也相等利用利用“对称法对称法”求正态分布下随机变求正态分布下随机变量在某个区间的概率量在某个区间的概率.练习练习 若若XN(1,2)，且，且P(X1)=_；(2)P(X0)=_；(3)P(0X1)=_；(4)P(X2)=_；(5)P(0X2)=_.01 2-1-2xy-33 4=10.51-a0.5-a1-a1-2a练习练习1 已知随机变量X服从正态分布N(2，2)，且P(X 4)=0.84，则P(X 0)=A

13、0.16 B0.32 C0.68 D.0.84解：因为XN(2，2)，所以=2由正态分布曲线的对称性可知，P(X 0)=P(X 4)=10.84=0.16 特别地，数学期望 =0，方差 2=1时的正态分布称为标准正态分布，其密度函数记为其图象如图 所示，随机变量X服从标准正态分布标准正态分布，简记为XN(0，1)练习练习2 已知随机变量服从标准正态分布，且P(1.96)0.025，则P(|1.96)A0.025 B0.050 C0.950 D0.975 解：因为服从标准正态分布，所以=0由正态分布曲线的对称性可知，P(|1.96)P(1.96 1.96)P(1.96)12P(1.96)10.0

14、5=0.95 P86-例例.李明上学有时坐公交车,有时骑单车,他各记录了50次坐公交车和骑单车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时30min,样本方差为36;骑单车平均用时34min,样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.(1)估计X，Y的分布中的参数；(2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线；解：(1)随机变量X的样本均值为30，样本标准差为6，随机变量Y的样本均值为34，样本标准差为2，用样本均值估计参数用样本均值估计参数，用样本标准差估计参数，用样本标准差估计参数，可得XN(30，62)，YN(34，22).P86-例例.李

15、明上学有时坐公交车,有时骑单车,他各记录了50次坐公交车和骑单车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时30min,样本方差为36;骑单车平均用时34min,样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.(3)如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具?如果某天只有34 min可用，又应该选择哪种交通工具?请说明理由.解：(1)XN(30，62)，YN(34，22).若有38 min可用，则骑单车不迟到的概率大，应选择骑单车；若只有34 min可用，则坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车.(3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.由图知，P(X38)P(

16、Y34).新新新新 知知知知 探探探探 索索索索 若XN(，2)，则随机变量X在的附近取值的概率较大，在离较远处取值的概率较小具体地，如图所示，随机变量X取值落在区间(，)内 的概率约为68.27%，落在区间(2，2)内 的概率约为95.45%，落在区间(3，3)内 的概率约为99.73%假假设设XN(,2)，可以，可以证证明明:对给对给定的定的kN*，P(-kX+k)是一是一个只与个只与k有关的定有关的定值值.特特别别地，地，4.特殊区间的概率：特殊区间的概率：上述上述结结果可用右果可用右图图表示表示.由此看到，尽管正由此看到，尽管正态变态变量的取量的取值值范范围围是是(-,+)，但在一次，

17、但在一次试验试验中，中，X的取的取值值几乎几乎总总是落在区是落在区间间-3,+3内，而内，而在此区在此区间间以外取以外取值值的概率的概率大大约约只有只有0.0027，通常，通常认为这认为这种情况几乎不可能种情况几乎不可能发发生生.在在实际应实际应用中，通常用中，通常认为认为服从于正服从于正态态分布分布N(,2)的随机的随机变变量量X只取只取-3,+3中的中的值值，这这在在统计统计学中称学中称为为3原则原则.课课本本87页页 1.设随机变量设随机变量XN(0,1)，则，则X的密度函数为的密度函数为_，P(X0)=_，P(|X|1)=_，P(X1)=_，P(X1)=_ (精确到精确到0.0001.

18、)0.50.68270.841350.15865O1-1xy=0方法：把普通的待求区间向方法：把普通的待求区间向(，+)，(2，+2)，(3，+3)这三个区间进行转化，然后利用这三个区间进行转化，然后利用3个特殊概率、个特殊概率、0.5、1等求出相等求出相应概率应概率.课课本本87页页 2.设随机变量设随机变量XN(0,22)，随机变量，随机变量YN(0,32)，画出分布密度曲线草图，画出分布密度曲线草图，并指出并指出P(X-2)与与P(X2)的关系，以及的关系，以及P(|X|1)与与P(|Y|1)之间的大小关系之间的大小关系.O1-1xy=3=22-2解：解：作出分布密度曲作出分布密度曲线线

19、如如图图示，由示，由图图可知，可知，例例 在某次数学考试中，假设考生的成绩服从正态分布 N(90，100)（1）求考试成绩位于区间(70，110)上的概率；（2）若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80，100)间的考生大约有多少人解：因为N(90，100)，所以=90，2=100，=10（1）由正态分布的性质可知，考生成绩在2=90210=70和2=90210=110 之间的概率约为0.954 5例例 在某次数学考试中，假设考生的成绩服从正态分布 N(90，100)（1）求考试成绩位于区间(70，110)上的概率；（2）若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80，1

20、00)间的考生大约有多少人解：因为N(90，100)，所以=90，2=100，=10 （2）由正态分布的性质可知，考生成绩在=80 和 =100之间的概率是0.682 7 又因为一共有2 000 名学生参加考试，因此考试成绩在（80，100）间的考生大约有20000.68271365（人）提升提升 某年级的一次信息技术测验成绩X近似服从正态分布N(70，102)，如果规定低于60分为不及格，求 （1）成绩不及格的人数占总人数的比例；（2）成绩在8090内的学生占总人数的比例解：因为XN(70，102)，所以=70，=10 （1）由正态分布的性质可知，成绩在=60 和 =80之所占的比例为0.6

21、82 7所以不及格即成绩低于60分人数所占的比例为即不及格即成绩低于60分人数所占的比例为15.865%提升提升 某年级的一次信息技术测验成绩X近似服从正态分布N(70，102)，如果规定低于60分为不及格，求 （1）成绩不及格的人数占总人数的比例；（2）成绩在8090内的学生占总人数的比例解：（2）成绩在8090内的学生占总人数的比例为 即成绩在8090内的学生占总人数的比例为13.59%例例2(1)已知随机变量已知随机变量服从正态分布服从正态分布N(2,2),且且P(4)0.8,则则P(02)()A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2(2)据统计，某脐橙的果实横径据统计，某脐橙的果

22、实横径(单位：单位：mm)服从正态分布服从正态分布N(80，52)，则果，则果实横径在实横径在75，90内的概率为内的概率为()附附:若若XN(,2),则则P(X)0.6827,P(2X2)0.9545.A.0.6827 B.0.8413 C.0.8186 D.0.9545例例2(1)已知随机变量已知随机变量服从正态分布服从正态分布N(2,2),且且P(4)0.8,则则P(02)()A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2(2)据统计，某脐橙的果实横径据统计，某脐橙的果实横径(单位：单位：mm)服从正态分布服从正态分布N(80，52)，则果，则果实横径在实横径在75，90内的概率为内的概

23、率为()附附:若若XN(,2),则则P(X)0.6827,P(2X2)0.9545.A.0.6827 B.0.8413 C.0.8186 D.0.9545P87-2.某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170,5)，随机选择一名本市高二年级的男生，求下列事件的概率：(1)P(165175)=_P87-4.袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格.假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4，请你估计这批袋装食盐的合格率.0.68270.158650.15865 解解：正正态态变变量量几几乎乎总总是是落落在在区区间间3

24、，3内内，所所以以可可通通过过判判断断取取出的产品的外直径是否落在这一区间内来分析生产状况是否正常出的产品的外直径是否落在这一区间内来分析生产状况是否正常.N(10，0.22)，310.6，39.4，9.529.4,10.6，9.989.4，10.6，该厂这一天的生产状况是正常的该厂这一天的生产状况是正常的.课堂检测课堂检测AAD0.9544课堂小结：课堂小结：若随机若随机变变量量X的概率分布密度函数的概率分布密度函数为为f(x)，则则称随机称随机变变量量X服从服从正态分布正态分布，记记为为XN(,2).特特别别地，当地，当=0,=1时时，称随机，称随机变变量量X服从服从标准正态分布标准正态分布.1.正态分布：正态分布：正态密度函数：正态密度函数：2.特殊区间的概率：特殊区间的概率：