样本相关系数课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册.pptx

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1、形形数数通通过观过观察察散点散点图图中成中成对样对样本数据的分布本数据的分布规规律，我律，我们们可以大致推断可以大致推断两个两个变变量是否存量是否存在相关关系、是正相关在相关关系、是正相关还还是是负负相关、是相关、是线线性相关性相关还还是非是非线线性相关性相关等等.散点散点图虽图虽然直然直观观，但无法确切地反映成，但无法确切地反映成对样对样本数据的相关程度，也就无法量化两个本数据的相关程度，也就无法量化两个变变量之量之间间相关相关程度的大小程度的大小.能否像引人均能否像引人均值值、方差等数字特征、方差等数字特征对对单单个个变变量数据量数据进进行分析行分析那那样样，引，引入一个适当的入一个适当的

2、“数字特征数字特征”，对对成成对样对样本数据的相关程度本数据的相关程度进进行定量分析呢行定量分析呢?8.1.2 样本相关系数样本相关系数 思考思考1 根据上述分析，你能利用正相关变量和负相关变量的成对样本数据根据上述分析，你能利用正相关变量和负相关变量的成对样本数据平移后呈现的规律，构造一个度量成对样本数据是正相关还是负相关的数平移后呈现的规律，构造一个度量成对样本数据是正相关还是负相关的数字特征吗字特征吗?利用散点利用散点 的的横、横、纵纵坐坐标标是否同号是否同号，可以构造，可以构造一个量一个量一般情形下，一般情形下，Lxy0表明成表明成对样对样本数据本数据正相关正相关；Lxy 0表明成对样

3、本数据正相关；Lxy(Lxy)1，但单位的改变并不会导致体重与身高之间相关程度的改变.不宜直接用Lxy度量成对样本数据相关程度的大小.为了消除度量单位的影响，需要对数据作进一步的“标准化”处理.形形数数Bug：Lxy的大小受数据的度量单位的影响，但单位的改变并不会导致两个变量之间相关程度的改变.为了消除度量单位的影响，需要对数据作进一步的“标准化”处理.称称r为变量为变量x和变量和变量y的样本的样本(线性线性)相关系数相关系数.r的正负的正负：反映成对样本数据的变化趋势变量变量x和变量和变量y的样本的样本(线性线性)相关系数：相关系数：思考思考3：r的大小的大小能否能否刻画刻画成对样本数据的成

4、对样本数据的相关程度相关程度的强弱的强弱？r的取值范围是什么？的取值范围是什么？强强强强弱弱弱弱观察r的结构，联想到二维(平面)向量、三维(空间)向量数量积的坐标表示，r的正负的正负：反映成对样本数据的变化趋势变量变量x和变量和变量y的样本的样本(线性线性)相关系数相关系数：r的范围的范围：1r1样样本相关系数本相关系数r是一个描述成是一个描述成对样对样本数据的数字特征，它反映了本数据的数字特征，它反映了两个随机两个随机变变量量之之间间的的线线性相关程度性相关程度.思考思考4：当：当|r|=1时，成对样本数据之间具有怎样的关系呢？时，成对样本数据之间具有怎样的关系呢？即此时两个变量之间满足一种

5、线性(函数)关系，即满足完全线性相关.故|r|越接近1时，线性相关程度越强；|r|越接近0时，线性相关程度越弱；若所有样本点(xi，yi)(i1,2,n)都在直线y-2x1上，则这组样本数据的样本相关系数为()r的正负的正负：反映成对样本数据的变化趋势变量变量x和变量和变量y的样本的样本(线性线性)相关系数：相关系数：r的范围的范围：1r1|r|的大小的大小：反映成对样本数据线性相关的程度(即散点集中于某条直线的程度)：|r|越接近1：线性相关程度越强；|r|越接近0：线性相关程度越弱.r=0时，只表明成对样本数据间无线性相关关系，但不排除它们有其他相关关系.样本容量越大，用样本相关系数估计两

6、个变量的相关系数的效果越好.如如：要确切了解脂肪含量要确切了解脂肪含量y与年龄与年龄x的线性相关程度，需要的线性相关程度，需要调查所有人的年调查所有人的年龄及其龄及其脂肪脂肪含量含量，再将得到的成对数据代入，再将得到的成对数据代入r的的公式公式，计算出相关系数计算出相关系数r.在实际中，获得总体中所有的成对数据往往是不容易的.在有限的总体中，可以利用这两个变量取值的所有成对数据，通过上述公式就可计算出两个变量的相关系数，这个相关系数就能确切地反映变量之间相关关系的正负性及线性相关程度的强弱.通过抽样获取两个变量的一些成对样本数据，再计算出样本相关系数，通过样本相关系数去估计总体相关系数，从而了

7、解两个变量之间的相关程度.思想：用样本估计总体样本容量越大，用样本相关系数估计两个变量的相关系数的效果越好.例例1 根据表根据表8.1-1中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度.解解:由由样样本数据可得本数据可得由此可以推断脂肪含量和年由此可以推断脂肪含量和年龄这龄这两个两个变变量量正正线线性相关，且相关程度很性相关，且相关程度很强强.编编号号1234567891011121314年年龄龄/岁岁2327394145495053545657586061

8、脂肪含量脂肪含量/9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6 例例1 根据表根据表8.1-1中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度.编编号号1234567891011121314年年龄龄/岁岁2327394145495053545657586061脂肪含量脂肪含量/9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6解解2:由

9、由样样本数据可得本数据可得由此可以推断脂肪含量和年由此可以推断脂肪含量和年龄这龄这两个两个变变量量正正线线性相关，且相关程度很性相关，且相关程度很强强.练习练习.有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的数据的散点图和对比表.解：观察散点图，可看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断脂肪含量和年龄线性相关.代入公式可得样本相关系数r0.97，可以推断脂肪含量和年龄这两个变量的负线性相关程度很强.摄氏温度摄氏温度x-5471015233036热饮杯数热饮杯数y16212811513589716337画出散点图，并用相关系数r判断热饮

10、杯数与当天气温的关系的强弱.变式变式1 在一次试验中，测得在一次试验中，测得(x,y)的的4组值分别为组值分别为(1,2),(2,0),(4,4),(1,6),则则y与与x的样本相关系数为的样本相关系数为()A1 B2 C0 D1解：解：由由样样本数据可得本数据可得课课本本103页页 1.由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数是否一定能确切地由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数是否一定能确切地反映变量之间的相关关系反映变量之间的相关关系?为什么为什么?解：解：样样本相关系数可以反映本相关系数可以反映变变量之量之间间相关的正相关的正负负性及性及线线性相关的程度，但性相关的程度，

11、但由于由于样样本数据的随机性，本数据的随机性，样样本相关系数往往不能确切地反映本相关系数往往不能确切地反映变变量之量之间间的相的相关关系关关系.一般来一般来说说，样样本量越大，根据本量越大，根据样样本相关系数推断本相关系数推断变变量之量之间间相关的相关的正正负负性及性及线线性相关的程度越可靠，而性相关的程度越可靠，而样样本量越小本量越小则则越不可靠越不可靠.一个极端的一个极端的情况是，无情况是，无论论两个两个变变量之量之间间是什么关系，如果是什么关系，如果样样本量取本量取2，则计则计算可得算可得样样本相关系数的本相关系数的绝对值绝对值都是都是1(在在样样本相关系数存在的情况下本相关系数存在的情

12、况下)，显显然据此推然据此推断两个断两个变变量完全量完全线线性相关是不合理的性相关是不合理的.课课本本103页页 2.已知变量已知变量x和变量和变量y的的3对随机观测数据对随机观测数据(2,2),(3,1),(5,7)，计算成对，计算成对样本数据的样本相关系数样本数据的样本相关系数.能据此推断这两个变量线性相关吗能据此推断这两个变量线性相关吗?为什么为什么?解：解：由由样样本数据可得本数据可得虽虽然然样样本相关系数本相关系数为为1，三个，三个样样本点在一条直本点在一条直线线上，但是由于上，但是由于样样本本量太小，据此推断两个量太小，据此推断两个变变量完全量完全线线性相关并不可靠性相关并不可靠.

13、解解:课课本本103页页 3.画出下列成对数据的散点图，并计算样本相关系数画出下列成对数据的散点图，并计算样本相关系数.据此，请你谈谈样本相关据此，请你谈谈样本相关系数在刻画成对样本数据相关关系上的特点系数在刻画成对样本数据相关关系上的特点.(1)(2,3),(1,1),(0,1),(1,3),(2,5),(3,7)；(2)(0,0),(1,1),(2,4),(3,9),(4,16)；(3)(2,8),(1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27);(4)(2,0)(1,),(0,2),(1,),(2,0).248x-4-320-213-16y-2515x2041310y20.5

14、1.5x-320-213-11y51020 x-10-320-213-115y-525样样本相关系数主要刻画的是成本相关系数主要刻画的是成对样对样本数据本数据线线性相关的程度性相关的程度.例例2 有人收集了某城市居民年收入有人收集了某城市居民年收入(所有居民在一年内收人的总和所有居民在一年内收人的总和)与与A商品商品销售额的销售额的10年数据，如下表所示年数据，如下表所示.第第n年年12345678910居民年收入居民年收入/亿亿元元32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0A商品商品销销售售额额/万元万元25.030.034.037.039.041.04

15、2.044.048.051.0画出散点图，推断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数推画出散点图，推断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数推断居民年收入与断居民年收入与A商品销售额的相关程度和变化趋势的异同商品销售额的相关程度和变化趋势的异同.解：先画出散点图，如图所示.从散点图看，A商品销售额与居民年收入的样本数据呈现出线性相关关系.代入公式可得样本相关系数r0.95，A商品销售额与居民年收入正线性相关，即A商品销售额与居民年收入有相同的变化趋势，且相关程度很强.例例3 在某校高一年级在某校高一年级 中随机抽取中随机抽取25名男生，测得他们的身高、体重、臂展名男生，测得他们的身

16、高、体重、臂展等数据，如下表所示等数据，如下表所示.体重与身高、臂展与身高分别具有怎样的相关性体重与身高、臂展与身高分别具有怎样的相关性?编号编号身高身高/cm体重体重/kg臂展臂展/cm编号编号身高身高/cm体重体重/kg臂展臂展/cm123456789101112131731791751791821731801701691 77177178174557152628263558154545967561691701721771741661741 691 66176170174170141516171819202122232425166176176175169184169182171177173

17、173666149604886585458615851161166165173162189164170164173165169例例3.在某校高一年级中随机抽取25名男生，测得他们的身高、体重、臂展等数据，如下表所示.体重与身高、臂展与身高分别具有怎样的相关性？解：先画出散点图，如图所示.从散点图看，两个散点图都呈现出线性相关.通过计算得到体重与身高、臂展与身高的样本相关系数分别约为0.34和0.78，都为正线性相关.r10.34r2r1，臂展与身高的相关程度更高.r20.78【注】在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否【注】在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的

18、附近，从而就很难判断两个变量之间是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就必须利用线性相关系数来判断具有线性相关关系，此时就必须利用线性相关系数来判断 变式变式 足球是深受全世界人们喜爱的运动，我国大力发展校园足球为了足球是深受全世界人们喜爱的运动，我国大力发展校园足球为了解本地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：解本地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：年份年份x20162017201820192020足球特色学校足球特色学校y(百个百个)0.300.601.001.401.70根据上表数据根据上表数据,计算计算y

19、与与x的样本相关系数的样本相关系数r,并说明并说明y与与x的线性相关程度的线性相关程度(附附：若若0.75|r|1，则认为，则认为y与与x的线性相关程度很强；若的线性相关程度很强；若0.3|r|0时，称成对样本数据时，称成对样本数据正相关正相关；当；当r0时，称成对样本数据时，称成对样本数据负相关负相关.|r|1；当当|r|越接近越接近1时，成对数据的时，成对数据的线性相关程度越强线性相关程度越强；当；当|r|越接近越接近0时，成对数时，成对数据的据的线性相关程度越弱线性相关程度越弱；特别地，当；特别地，当|r|0时时，成对数据的，成对数据的没有线性相关关系没有线性相关关系；当当|r|1时，时，成对数据都落在一条直线上成对数据都落在一条直线上.