数学三 中的数列问题 文 苏教版.ppt

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1、高考专题突破三高考中的数列问题考点自测课时作业题型分类深度剖析内容索引考点自测考点自测1.(2017苏州月考)数列an是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列bn中连续的三项，则数列bn的公比为_.答案解析设数列an的公差为d(d0)，由 a1a7，得(a12d)2a1(a16d)，解得a12d，22.已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列 的前100项和为_.答案解析设等差数列an的首项为a1，公差为d.ana1(n1)dn.a55，S515，3.(2016南通、淮安模拟)在等比数列an中，a21，公比q1.若a1，4a3，7a5成等差数列，则a6的值是_.答

2、案解析因为an为等比数列，且a21，所以a1 ，a3q，a5q3，由a1，4a3，7a5成等差数列得8q 7q3，解得q21(舍去)或q2 ，故a6a2q4 .4.(2015课标全国)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.答案解析由题意，得S1a11，又由an1SnSn1，得Sn1SnSnSn1，因为Sn0，所以 1，所以 1(n1)n，所以Sn .5.已知数列an的前n项和为Sn，对任意nN*都有Sn ，若1Sk9(kN*)，则k的值为_.答案解析4由题意，Sn ，当n2时，Sn1 ，两式相减，得an ，an是以1为首项，以2为公比的等比数列，an(2)n1，由1

3、Sk9，得4(2)k28，又kN*，k4.an2an1，又a11，题型分类深度剖析题型分类深度剖析题型一等差数列、等比数列的综合问题题型一等差数列、等比数列的综合问题例例1(2016苏州暑假测试)已知等差数列an的公差为2，其前n项和Snpn22n，nN*.(1)求实数p的值及数列an的通项公式；解答Snna1 na1n(n1)n2(a11)n，又Snpn22n，nN*，所以p1，a112，即a13，所以an32(n1)2n1.(2)在等比数列bn中，b3a1，b4a24，若bn的前n项和为Tn.求证：数列Tn 为等比数列.证明因为b3a13，b4a249，所以q3.所以bnb3qn333n3

4、3n2，所以b1 .所以数列Tn 是以 为首项，3为公比的等比数列.等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序.(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的.思维升华跟踪训练跟踪训练1在等差数列an中，a1030，a2050.(1)求数列an的通项公式；解答设数列an的公差为d，则ana1(n1)d，由a1030，a205

5、0，得方程组解得 所以an12(n1)22n10.(2)令bn ，证明：数列bn为等比数列；证明由(1)，得bn2an1022n101022n4n，所以bn是首项为4，公比为4的等比数列.(3)求数列nbn的前n项和Tn.解答由nbnn4n，得Tn14242n4n，4Tn142(n1)4nn4n1，得3Tn4424nn4n1题型二数列的通项与求和题型二数列的通项与求和例例2已知数列an的前n项和为Sn，在数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；证明anSnn，an1Sn1n1.，得an1anan11，2an1an1，2(an11)a

6、n1，an1是等比数列.首项c1a11，又a1a11.又cnan1，cn是以 为首项，为公比的等比数列.(2)求数列bn的通项公式.解答ancn11()n.当n2时，bnanan1又b1a1 ，代入上式也符合，bn()n.(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息.(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法等.思维升华跟跟踪踪训训练练2已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1b12，a4b421，S4b430.(1)求数列an和bn的通项公式；解答设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.

7、由a1b12，得a423d，b42q3，S486d.由条件a4b421，S4b430，所以ann1，bn2n，nN*.(2)记cnanbn，nN*，求数列cn的前n项和.解答由题意知cn(n1)2n.记Tnc1c2c3cn.则Tn22322423n2n1(n1)2n，2Tn222323(n1)2n1n2n(n1)2n1，所以Tn22(22232n)(n1)2n1，即Tnn2n1，nN*.题型三数列与其他知识的交汇题型三数列与其他知识的交汇命题点命题点1数列与函数的交汇数列与函数的交汇例例3已知二次函数f(x)ax2bx的图象过点(4n,0)，且f(0)2n，nN*，数列an满足 ，且a14.(

8、1)求数列an的通项公式；解答(2)记bn ，求数列bn的前n项和Tn.解答Tnb1b2bn命题点命题点2数列与不等式的交汇数列与不等式的交汇例例4数列an满足a11，an12an(nN*)，Sn为其前n项和.数列bn为等差数列，且满足b1a1，b4S3.(1)求数列an，bn的通项公式；由题意知，an是首项为1，公比为2的等比数列，ana12n12n1.Sn2n1.设等差数列bn的公差为d，则b1a11，b413d7，d2，bn1(n1)22n1.解答(2)设cn ，数列cn的前n项和为Tn，证明：log2a2n2log222n12n1，数列Tn是一个递增数列，TnT1 .证明命题点命题点3

9、数列应用题数列应用题例例5(2016南京模拟)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.(1)用d表示a1，a2，并写出an1与an的关系式；解答(2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).解答数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略(1)数列与函数的交汇问题已知函数条件，解决数列问题，

10、此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决.思维升华(2)数列与不等式的交汇问题函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到；比较方法：作差或者作商比较.(3)数列应用题根据题意，确定数列模型；准确求解模型；

11、问题作答，不要忽视问题的实际意义.跟跟踪踪训训练练3设nN*，xn是曲线yx2n21在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列xn的通项公式；解答y(x2n21)(2n2)x2n1，曲线yx2n21在点(1,2)处的切线斜率为2n2，从而切线方程为y2(2n2)(x1).令y0，解得切线与x轴交点的横坐标证明由题设和(1)中的计算结果知当n1时，T1 .综上可得，对任意nN*，均有Tn .课时作业课时作业1.(2016全国甲卷)等差数列an中，a3a44，a5a76.(1)求an的通项公式；解答设数列an的公差为d，由题意有2a15d4，a15d3.解得a11，d .所以an的通项

12、公式为an .12345(2)设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62.解答由(1)知，bn .当n1,2,3时，1 2，bn1；当n4,5时，2 3，bn2；所以数列bn的前10项和为1322334224.当n6,7,8时，3 4，bn3；当n9,10时，4 1，an的前n项和为Sn，等比数列bn的首项为1，公比为q(q0)，前n项和为Tn.若存在正整数m，使得 T3，求q.解答因为a11，所以an6n3，从而Sn3n2.由 T3，得 1qq2，整理得q2q1 0.因为14(1 )0，所以m2 .因为mN*，所以m1或m2.当m1时，q (舍去)或q .当m2时，q0或q1(均舍去).综上所述，q .123455.(2015山东)已知数列an是首项为正数的等差数列，数列 的前n项和为(1)求数列an的通项公式；解答12345设数列an的公差为d，所以a1a23.所以a2a315.由解得a11，d2，所以an2n1.经检验，符合题意.(2)设bn(an1)2a ，求数列bn的前n项和Tn.12345解答由(1)知bn2n22n1n4n，所以Tn141242n4n，所以4Tn142243n4n1，两式相减，得3Tn41424nn4n1n