数学第四章 图形的认识与三角形 第23讲 等腰三角形与直角三角形.ppt

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1、第23讲 等腰三角形与直角三角形1.能利用等腰三角形、角平分线、线段的垂直平分线的性质与判定进行证明与计算.2.掌握直角三角形的性质并能判断一个三角形是不是直角三角形.3.掌握勾股定理，能运用勾股定理解决相关问题.考点一、考点一、等腰三角形的性质等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质定理及推论:（1）定理:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).（2）推论1:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”).（3）推论2:等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60.2.等腰三角形的其他性质：（1）等腰直角三角形的两个底角相等且等于45（2）等腰三角形的底角只能

2、为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。（3）等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则 a（4）等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为A，底角为B、C，则A=1802B，B=C=一、选择题一、选择题1如图，在ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，B=80，则C的度数为（）A30B40C45D602.一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A17B15C13D13或173.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）A.形状相同B.周长相等C.面积相等 D.全等考点二、考点二、等腰三角形的判定定理及推论等腰三角形的判定定理及推论1.判定定理

3、:如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”).这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等.2.推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形.3.推论2:有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形.等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质等腰三角形判定中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形角平分线1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；2、等腰三角形两底角平分线相等，并

4、且它们的交点到底边两端点的距离相等。1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质等腰三角形判定高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。角等边对等角等角对等边边底的一半腰长 周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形考点三、考点三、直角三角形的性质直角三角形的性质1、

5、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：C=90 A+B=902、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。可表示如下：3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 可表示如下：4、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2 5、常用关系式：由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC9.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36，则该等腰三角形的底角的度数为解析：解析：解：在三角形ABC中，设AB=AC，BDAC于D若是锐角三角形，A=9036=54，底角=（18054）2=63；若三角形是钝角三角形，BAC=36+90=126，此时底角=（180126）2=

6、27所以等腰三角形底角的度数是63或2763或或27考点四、考点四、直角三角形的判定直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。4.等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2-12x+k=0的两个根，则k的值是()A.27B.36C.27或36D.18解析：解析：分两种情况：当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程，得32123+k=0，k=27将k=27代入原方程，得x212

7、x+27=0，解得x=3或93，3，9不能够组成三角形；当3为底时，则其他两条边相等，即=0，此时1444k=0，k=36将k=36代入原方程，得x212x+36=0，解得x=63，6，6能够组成三角形，7.如图，在ABC中，AB=AC，A=40，点D在AC上，BD=BC，则ABD的度数是解析：解析：解：AB=AC，A=40，ABC=C=（18040）=70，BD=BC，CBD=180702=40，ABD=ABCCBD=7040=3030【例【例题题1】如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线

8、AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量ABD=135，BD=800 m，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（1.414，精确到1 m）考点：勾股定理的应用.分析：首先证明BCD是等腰直角三角形，再根据勾股定理得CD2+BC2=BD2，然后再代入BD=800m进行计算即可.解：CDAC，ACD=90.ABD=135，DBC=45.D=45.CB=CD.在RtDCB中，CD2+BC2=BD2，即2CD2=8002，CD=400566(m).答:应在直线l上距离点D约566m的C处开挖.小结：此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结

9、合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的应用思想.例题例题2如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DBC=15，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则A的度数是考点：考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质分析：分析：根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得A=ABD，然后表示出ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得C=ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可50解：MN是AB的垂直平分线，AD=BD.A=ABD.DBC=15，ABC=A+15.AB=AC，C=ABC=A+15.A+A+15+A+15=180,解得A=50故答案为：50小结：小结：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质、等腰三角形的性质.熟记性质并用A表示出ABC的另外两个角，然后列出方程是解题的关键.