2024年高考数学临考押题卷01-备战2024年高考数学临考题号押题（新高考通用）含答案.pdf

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1、更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君2024 年高考数学临考押题卷年高考数学临考押题卷 01（新高考通用）（新高考通用）数数 学学（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。一、单选题

2、一、单选题（本题共 本题共 8 小题，每小题 小题，每小题 5 分，共 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若 2i23ia+-为纯虚数，Ra，则=a（）A3B4C-3D-42已知平面向量1,3axx=-r，1,2bx=+r，4a b=-rr，则2ab+rr与br的夹角为（）A3B4C23D343甲、乙、丙、丁 4 人参加活动，4 人坐在一排有 12 个空位的座位上，根据要求，任意两人之间需间隔至少两个空位，则不同的就座方法共有（）A120 种B240 种C360 种D480 种4已知点4,4M在抛物线

3、C：22ypx=（0p）上，F为C的焦点，直线MF与C的准线相交于点N，则NF=（）A203B103C152D1545已知ABCV 的内角,A B C 的对边分别为,a b c 若面积22,3abcS+-=则sinC=（）A2425B45C35D725更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君6某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为32.25g/m，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为32.21g/m，第 n 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量nr满足函数模型0.25010()3n tnrr

4、rr+=+-（tR，*nN），其中0r为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，1r为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n 为改良工艺的次数假设废水中含有的污染物数量不超过30.65g/m时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（）（参考数据：lg20.30，lg30.48）A12B13C14D157记数列 na的前 n 项积为nT，设甲：na为等比数列，乙：2nnT为等比数列，则（）A甲是乙的充分不必要条件B甲是乙的必要不充分条件C甲是乙的充要条件D甲是乙的既不充分也不必要条件8设202310121011a=，202510131012b=，则下列关

5、系正确的是（）A2eabB2ebaC2eabD2eba二、二、多选题多选题（本题共（本题共 3 小题，每小题 小题，每小题 6 分，共 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）分）9学校“校园歌手”唱歌比赛，现场 8 位评委对选手 A 的评分分别为 15，16，18，20，20，22，24，25.按比赛规则，计算选手最后得分时，要先去掉评委评分中的最高分和最低分，则（）A剩下的 6 个样本数据与原样本数据的平均数不变B剩下的 6

6、个样本数据与原样本数据的极差不变C剩下的 6 个样本数据与原样本数据的中位数不变D剩下的 6 个样本数据的 35%分位数大于原样本数据的 35%分位数10已知0，函数 5sinsin1212f xxx=+-，xR，若 f x在区间7 13,1212上单调递增，则的可能取值为（）A1-B113C2D4更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君11过点2,0P的直线与抛物线 C：24yx=交于,A B两点抛物线C在点A处的切线与直线2x=-交于点N，作NMAP交AB于点M，则（）A直线NB与抛物线 C 有 2 个公共点B直线MN恒过定点C点M的轨迹方程是22110 xyx-+=D3MNAB的最小

7、值为8 2三、填空题三、填空题（本题共 3（本题共 3 小题，每小题 小题，每小题 5 分，共 15分，共 15 分）分）12已知集合1,0,1,2,3A=-，1Bx xm=-的离心率为 2，点4 3,23在C上，,A B为双曲线的左、右顶点，P为C右支上的动点，直线AP和直线1x=交于点N，直线NB交C的右支于点Q更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君(1)求C的方程；(2)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由；(3)设12,S S分别为ABNV和NPQ的外接圆面积，求12SS的取值范围更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君2024 年高考数学临考押

8、题卷年高考数学临考押题卷 01（新高考通用）（新高考通用）数数 学学（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）一、单选题一、单选题（本题共 本题共 8 小题，每小题 小题，每小题 5 分，共 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）12345678ABCBADDB二、二、多选题多选题（本题共（本题共 3 小题，每小题 小题，每小题 6 分，共 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错

9、得 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）分）91011ACDBCBCD三、填空题三、填空题（本题共 3（本题共 3 小题，每小题 小题，每小题 5 分，共 15分，共 15 分）分）12m2.132221ln2eexy-=+-（答案不唯一）14333-四、解答题四、解答题（本题共 5（本题共 5 小题，共 77 分，其中 小题，共 77 分，其中 15 题 题 13 分，分，16 题 题 15 分，分，17 题 题 15 分，分，18 题 题 17 分，分，19 题 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（13 分）【详解】（

10、1）当1n=时，由211SSS=+，即1212aaa+=，解得：11a=，（1 分）所以111nnSSS+-=，则数列nS为首项为1，公差为1的等差数列；所以nSn=，则2nSn=，（3 分）当2n 时，221(1)21nnnaSSnnn-=-=-=-，当1n=时，12 1 11a=-=满足条件，所以 na的通项公式为21nan=-(*)nN （6 分）（2）由（1）知，2144(21)(21)nnnnSnba ann+=-+，（7 分）更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君所以2224111111114141(21)(21)2 2121nnbnnnnnn=+=+=+-+-+，（10 分

11、）故11111111112335212122121nnTnnnnnnn=+-+-+-=+-=+-+L，即21nnTnn=+（13 分）16（15 分）【详解】（1）连接AO并延长，交BC于M，交圆柱侧面于N，1111AOBCQ，1OO为圆柱的高，11111AOBCOO、两两垂直，以1O为原点，过点1O做11BC平行线为x轴，以11AO为y轴，以1OO为z轴，建立如图所示空间直角坐标系1Oxyz-，116OOAAAN=，30ABAC=，在ABCV中，由射影定理得2305ACAM ANAM=，2OMAMAO=-=，从而223055CMBM=-=，（4 分）10,3,0,5,2,6,5,2,6,2

12、5,0,0ABCBC-=-uuu r，设0,0,Pl，10,3,APl=uuur，10AP BC=uuur uuu r，1BCPA.（7 分）（2）由（1）可得，5,2,6BPl=-uuu r，更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君21,9546APBPll=+-uuuruuu r，得3l=，即点P是线段1OO的中点，10,3,3AP=uuur，5,2,3BP=-uuu r，（10 分）设平面1APB的一个法向量为,nx y z=r，则3305230yzyz+=-=，取1y=，得5,1,15n=-r，设BC的一个方向向量为1,0,0m=r，于是得：225115cos,115115n m=

13、+r r，设BC与平面1APB所成角为q，则11sincos,11n mq=r r，所以BC与平面1APB所成角的正弦值为1111.（15 分）17（15 分）【详解】（1）当3m=-时，3()2lnf xxxx=-，其定义域为(0,)+，（1 分）2222312323()1xxxxf xxxxx-+-+=-+=，（3 分）令 0fx=，得3x=（=1x-舍去），当03x，函数()f x单调递增；当3x 时，0fx-，即12nP，则1819511768122n-+-，即1521,2,311219nn-=，当n为偶数时，1521219n-显然不成立，当n为奇数时，不等式可变为1521219n-，

14、更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君当1n=时，2119成立；当3n=时，25252422121441441219=成立；当5n=时，44561212121619=不成立又因为函数1512ny-=单调递减，所以当5n 时，1521219n-不成立，所以只有在第 1 天和第 3 天时，12nP，所以丙在 3 月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数只有 2 天 （17 分）19（17 分）【详解】（1）因为离心率2cea=，所以22222,3ca bcaa=-=，双曲线的方程为222213xyaa-=，将点4 3,23代入双曲线方程得22164133aa-=，所以22241,

15、4,12aba=，所以C的方程为221412xy-=（4 分）（2）直线PQ过定点4,0，理由如下：设1122,P x yQ xy，直线PQ的方程为xmyn=+，与C的方程联立221,412,xyxmyn-=+整理得2223163120mymnyn-+-=，则2221212226312=1240,3131mnnmnyyy ymm-+-+=-=-（6 分）直线11:22yAP yxx=+，所以1131,2yNx+，又,N B Q三点共线，更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君所以BQNBkk=，即2121322yyxx=-+，即21122320yxyx+-=，即21122320ymynym

16、yn+-=，化简得221140232nymy yny+-=+，因为21212226312,3131mnnyyy ymm-+=-=-，所以212123126nyymy yn-+=-，代入上式得21221312406232nnynynyy-+-+=+，即221282860nynynn+-=，1224420nnynny-+=+，所以4n=所以PQ过定点4,0 （9 分）（3）设ABNV和NPQ的外接圆半径分别为1R，2R，其中AB4=，由正弦定理可得122,2sinsinABPQRRANBPNQ=，又sinsinANBPNQ=，所以12ABRRPQ=，即11224ABSRSRPQPQ=（11 分）设

17、直线PQ的方程为4xmy=+，与C的方程联立224,1,412xmyxy=+-=整理得223124360mymy-+=，则1212222436,3131myyy ymm+=-=-又21212310,0,0,0,mx xxx-+即 21212310,0,440,440,mmymymymy-+更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君由2310m-得213m，由22=576144 310mm-，解得Rm，由222121212224103696441631316mmmymymymyyymm+=+=-+-得，2103m-，得2103m，综上，2103m）上，F为C的焦点，直线MF与C的准线相交于点N

18、，则NF=（）A203B103C152D154【答案】B【分析】代点计算可得抛物线方程，即可得焦点纵坐标与准线方程，即可得直线MF的方程，求出两直线交点，即可得N点坐标，结合两点距离公式即可得解.【详解】由4,4M，有1624p=，即2p=，即抛物线C：24yx=，则1,0F，准线方程为：=1x-，故4:14 1MFlyx=-，整理得44:33MFlyx=-，更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君令=1x-，则448333y=-=-，即81,3N-，则228101 133NF=-+-=.故选：B.5已知ABCV 的内角,A B C 的对边分别为,a b c 若面积22,3abcS+-=则

19、sinC=（）A2425B45C35D725【答案】A【分析】先利用余弦定理的变形：2222cosabcabC+-=，结合三角形的面积公式in12sSabC=，可把条件转化为：4cos43sinCC+=，再根据同角三角函数的基本关系和三角形中sin0C，可求得sinC.【详解】因为in12sSabC=，所以221sin23abcabC+-=22223abcab+-+=，又由2222coscababC=+-2222cosabcabC+-=，所以12cos2sin23abCababC+=4cos43sinCC+=.所以4cos3sin4CC=-224cos3sin4CC=-2216cos9sin2

20、4sin16CCC=-+2216 1 sin9sin24sin16CCC-=-+所以225sin24sin0CC-=，又因为在ABCV中，sin0C，所以24sin25C=.故选：A6某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为32.25g/m，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为32.21g/m，第 n 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量nr满足函数模型0.25010()3n tnrrrr+=+-（tR，*nN），其中0r为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，1r为首次改良工艺后排放的废水中含

21、有的污染物数量，n 为改良工艺的次数假设废水中含有的污染物数量不超过30.65g/m时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（）（参考数据：lg20.30，lg30.48）更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君A12B13C14D15【答案】D【分析】由题意，根据指数幂和对数运算的性质可得0.25(1)2.250.043nnr-=-，由0.65nr，解不等式即可求解.【详解】由题意知302.25g/mr=，312.21g/mr=，当1n=时，0.251010()3trrrr+=+-，故0.2531t+=，解得0.25t=-，所以0.25(1)2.250.

22、043nnr-=-由0.65nr，得0.25(1)340n-，即lg400.25(1)lg3n-，得4(12lg2)114.33lg3n+，又*nN，所以15n，故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要 15 次故选：D7记数列 na的前 n 项积为nT，设甲：na为等比数列，乙：2nnT为等比数列，则（）A甲是乙的充分不必要条件B甲是乙的必要不充分条件C甲是乙的充要条件D甲是乙的既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用等比数列通项公式、等比数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解.【详解】若 na为等比数列，设其公比为q，则11nnaa q-=，(1)1 2(1)21

23、1n nnnnnTa qa q-+-=L，于是(1)12()22n nnnnTaq-=，(1)111211(1)12()222()22n nnnnnn nnnnTaqaqTaq+-=，当1q 时，12naq不是常数，此时数列2nnT不是等比数列，则甲不是乙的充分条件；若2nnT为等比数列，令首项为1b，公比为p，则112nnnTb p-=，112(2)nnTbp-=，于是当2n 时，112112(2)22(2)nnnnnTbpapTbp-=，而1112aTb=，当1bp时，na不是等比数列，即甲不是乙的必要条件，更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君所以甲是乙的既不充分也不必要条件.故选

24、：D8设202310121011a=，202510131012b=，则下列关系正确的是（）A2eabB2ebaC2eabD2eba、2()ln(1)(0)2xh xxxx=+-+，利用导数讨论两个函数的单调性可得ab、2eb，即可求解.【详解】10121ln2023ln(2 1011 1)ln(1)10111011a=+，10131ln2025ln(2 1012 1)ln(1)10121012b=+，设函数1()(21)ln(1)(21)ln(1)ln(1)f xxxxx xx=+=+-，则2111121()2ln(1)2ln(21)()2ln(1)()111fxxxxxxxxxx=+-+-=

25、+-+，设22()2ln(1)(01)1xxg xxxx+=+-+，则22()0(1)xg xx=-+，所以()g x在(0,1)上单调递减，且()(0)0g xg=，即()0fx，即lnlnab，所以ab.设2()ln(1)(0)2xh xxxx=+-+，则22214()01(1)(1)(2)xh xxxxx=-=+，所以()h x在(0,)+上单调递增，且1()(0)0hhx=，即21(21)ln(1)2112()2ln(1)ln(1)012121212xf xxxxxxxxx+-+-=+-=+，得()2f x，所以(1012)2f，即ln2b，解得2eb.综上，2eba.故选：B【点睛】

26、方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小.更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君二、二、多选题多选题（本题共（本题共 3 小题，每小题 小题，每小题 6 分，共 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）分）9学校“校园歌手”唱歌比赛，现场 8 位评委对选手 A 的评分分别为 15，16，18，20，20，22，24，25.按比赛规则，计算选手最后得分时，要

27、先去掉评委评分中的最高分和最低分，则（）A剩下的 6 个样本数据与原样本数据的平均数不变B剩下的 6 个样本数据与原样本数据的极差不变C剩下的 6 个样本数据与原样本数据的中位数不变D剩下的 6 个样本数据的 35%分位数大于原样本数据的 35%分位数【答案】ACD【分析】根据题意，利用平均数，极差，中位数和百分位数的概念及计算方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于 A 中，8 个数据的平均分为15 16 182020222425208+=，去掉最高分和最低分后数据的平均分为16 1820202224206+=，所以 A 正确；对于 B 中，去掉最高分和最低分之前，8 个数据的极差为25 15

28、10-=，去掉最高分和最低分后，6 个数据的极差为24 168-=，所以 B 错误；对于 C 中，去掉最高分和最低分之前，8 个数据的中位数为20，去掉最高分和最低分后，6 个数据的中位数为20，所以 C 正确；对于 D 中，由8 35%2.8=，所以 8 个数据的35%分位数为18，去掉最高分和最低分后，可得6 35%2.1=，所以 6 个数据的35%分位数为20，所以 D 正确.故选：ACD.10已知0，函数 5sinsin1212f xxx=+-，xR，若 f x在区间7 13,1212上单调递增，则的可能取值为（）A1-B113C2D4【答案】BC【分析】先把函数化成sinyAxj=+

29、的形式，再逐一验证的值，验证函数在给定的区间内是否单调递增.【详解】因为更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君 5sinsin1212f xxx=+-sin+cos1212xx=+2sin124x=+2sin3x=+，当1=-时，2sin3f xx=-+，函数在7 5,126上递减，在5 13,612上递增，故 A 不可以；当113=时，2sin133xf x=+，因为170131232+，1135013123122+=，则 f x在7 13,1212上递增，故 B 可以；当2=时，2sin 23f xx=+，因为7131212x352232x+，函数sinyt=，3 5,22t单调递增

30、，所以 f x在7 13,1212上递增，故 C 可以；当4=时，2sin 43f xx=+，因为7131212x22244333x+m时，0fm，f m单调递增，当25m时，0fm，f m单调递减，所以 52min2525 5585 1f mf=-，D 错误.更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君故选：BC.【点睛】方法点睛：直线与抛物线联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程第三步：求解判别式：计算一元二次方程根的判别式 0.第四

31、步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出第五步：根据题设条件求解问题中的结论三、填空题三、填空题（本题共 3（本题共 3 小题，每小题 小题，每小题 5 分，共 15分，共 15 分）分）12已知集合1,0,1,2,3A=-，1Bx xm=-2【分析】由题意可得AB，再列出不等式组，解之即可得解.【详解】因为ABB=，所以AB，故B，所以0m 且111Bx xmxmxm=-=-+，所以1113mm-，解得m2.故答案为：m2.13写出函数 ln2exxxf xx=-的一条斜率为正的切线方程：【答案】2221ln2eexy-=+-（答案不唯一）【分析】根据导数的几何意义结合导数运算求导函数，

32、取定义域内的点作切点，求斜率与切点坐标即可得切线方程.【详解】ln2exxxf xx=-，0 x，则 1112exxfxx-=-，更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君取切点为 2,2f，则斜率为 2211 21122e2ekf-=-=，又 222222ln21ln22eef=-=-，则切线方程为：2211ln22eeyx-+=-，即2221ln2eexy-=+-.故答案为：2221ln2eexy-=+-（答案不唯一）14如图，经过边长为 1 的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是 【答案】333-

33、【分析】如图，七面体为正方体1111ABCDABC D-截去三棱锥111BBAC-的图形，由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时，该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线1B D上，以点D为原点建立空间直角坐标系，设球心1,02O a a aa，利用向量法求出球心O到平面11BAC的距离进而可得出答案.【详解】如图，七面体为正方体1111ABCDABC D-截去三棱锥111BBAC-的图形，由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时，该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线1B D上，如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，则111,1,0,1

34、,0,1,0,1,1BAC，设球心1,02O a a aa，故110,1,1,1,0,1,1,1,BABCOBaaa=-=-=-uuuruuuu ruuu r，设平面11BAC的法向量为,nx y z=r，则有1100n BAyzn BCxz=-+=-+=uuurruuuu rr，可取1,1,1n=r，更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君则球心O到平面11BAC的距离为112333OB naaaan-+-=uuu rrr，因为球O与三个正方形面和等边三角形面相切，所以233aa-=，解得333a-=，所以这个七面体内部能容纳的最大的球半径是333-.故答案为：333-.【点睛】方法点睛

35、：求点A到平面BCD的距离，方法如下：（1）等体积法：先计算出四面体ABCD的体积，然后计算出BCD的面积，利用锥体的体积公式可计算出点A到平面BCD的距离；（2）空间向量法：先计算出平面BCD的一个法向量nr的坐标，进而可得出点A到平面BCD的距离为AB ndn=uuu rrr.四、解答题四、解答题（本题共 5（本题共 5 小题，共 77 分，其中 小题，共 77 分，其中 15 题 题 13 分，分，16 题 题 15 分，分，17 题 题 15 分，分，18 题 题 17 分，分，19 题 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

36、15已知正项数列 na的前n项和为nS，23a=，且11nnSSS+=+(1)求 na的通项公式；(2)若14nnnnSba a+=，求数列 nb的前n项和nT【答案】(1)21nan=-(2)21nnTnn=+更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君【分析】（1）首先求出11a=，可证明数列nS为首项为1，公差为1的等差数列，得到2nSn=，利用1nnnaSS-=-得到 na的通项公式；（2）由（1）知，2144(21)(21)nnnnSnba ann+=-+，化简可得11112 2121nbnn=+-+，利用分组求和以及裂项相消即可求出数列 nb的前n项和nT.【详解】（1）当1n=时

37、，由211SSS=+，即1212aaa+=，解得：11a=，所以111nnSSS+-=，则数列nS为首项为1，公差为1的等差数列；所以nSn=，则2nSn=，当2n 时，221(1)21nnnaSSnnn-=-=-=-，当1n=时，12 1 11a=-=满足条件，所以 na的通项公式为21nan=-(*)nN（2）由（1）知，2144(21)(21)nnnnSnba ann+=-+，所以2224111111114141(21)(21)2 2121nnbnnnnnn=+=+=+-+-+，故11111111112335212122121nnTnnnnnnn=+-+-+-=+-=+-+L，即21nn

38、Tnn=+16如图，圆柱1OO内有一个直三棱柱111ABCABC-，三棱柱的底面三角形内接于圆柱底面，已知圆柱1OO的轴截面是边长为 6 的正方形，30ABAC=，点P在线段1OO上运动(1)证明：1BCPA；更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君(2)当1PAPB=时，求BC与平面1APB所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析.(2)1111.【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出向量BCuuu r和1APuuur的坐标，由10AP BC=uuur uuu r得到1BCPA；（2）先由1PAPB=，得到点P是线段1OO的中点，求出BC的一个方向向量和平面1APB的一个法向量的坐标夹角余

39、弦的绝对值，即为BC与平面1APB所成角的正弦值.【详解】（1）连接AO并延长，交BC于M，交圆柱侧面于N，1111AOBCQ，1OO为圆柱的高，11111AOBCOO、两两垂直，以1O为原点，过点1O做11BC平行线为x轴，以11AO为y轴，以1OO为z轴，建立如图所示空间直角坐标系1Oxyz-，116OOAAAN=，30ABAC=，在ABCV中，由射影定理得2305ACAM ANAM=，2OMAMAO=-=，从而223055CMBM=-=，10,3,0,5,2,6,5,2,6,2 5,0,0ABCBC-=-uuu r，设0,0,Pl，10,3,APl=uuur，10AP BC=uuur u

40、uu r，更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君1BCPA.（2）由（1）可得，5,2,6BPl=-uuu r，21,9546APBPll=+-uuuruuu r，得3l=，即点P是线段1OO的中点，10,3,3AP=uuur，5,2,3BP=-uuu r，设平面1APB的一个法向量为,nx y z=r，则3305230yzyz+=-=，取1y=，得5,1,15n=-r，设BC的一个方向向量为1,0,0m=r，于是得：225115cos,115115n m=+r r，设BC与平面1APB所成角为q，则11sincos,11n mq=r r，所以BC与平面1APB所成角的正弦值为1111.

41、17已知函数()2ln()mf xxxmx=-+R(1)当3m=-时，求函数()f x的单调区间；(2)若不等式()0f x 对任意的1,)x+恒成立，求实数 m 的取值范围【答案】(1)递增区间为(0,3)，递减区间为(3,)+(2)(,1-【分析】（1）求出导函数后借助导函数的正负即可得原函数的单调性；（2）可借助(1)0f，得到1m，在1m 的情况下，借助1()2ln2lnmf xxxxxxx=-+-+，从而构造函数1()2lng xxxx=-+，结合该函数的单调性及最值即可得解；亦可通过参变分离，得到22 lnmxxx-对任意的1,)x+恒成立，通过研究2()2 lnh xxxx=-得

42、解.【详解】（1）当3m=-时，3()2lnf xxxx=-，其定义域为(0,)+，更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君2222312323()1xxxxf xxxxx-+-+=-+=，令 0fx=，得3x=（=1x-舍去），当03x，函数()f x单调递增；当3x 时，0fx求出对应的n，即可求解【详解】（1）记甲、乙、丙三人 3 月 1 日选择“共享单车”出行分别为事件,A B C，记三人中恰有两人选择“共享单车”出行为事件D，则1211131231123423423424P DP ABCP ABCACPB=+=+=，又12311332342348P CDPBCP A CAB=+=

43、+=，所以398111124P CDP C DP D=，即若 3 月 1 日有两人选择“共享单车”出行，丙选择“共享单车”的概率为911（2）由题意可知，X的所有可能取值为 0，1，2，3，则1111023424APCXBP=，111121113112342342344P XP ABCPBPBCA CA=+=+=，11224P XP D=，123132344P XP ABC=，所以X的分布列为X0123更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君P12414112414故1111123012324424412E X=+=，即X的数学期望为2312（3）由题意得134P=，则1112143nnn

44、PPP-=+-1522,3,31123nPn-=-+=，所以1858171217nnPP-=-，所以185172,3,3181217nnPnP-=-=-又因为181901768P-=，所以数列817nP-是以1968为首项，512-为公比的等比数列，所以181952,31176812nnPn-=+-=，经检验当1n=时，上式也成立，所以181951,2,31176812nnPn-=+-=由题意知，3 月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足1nnPP-，即12nP，则1819511768122n-+-，即1521,2,311219nn-=，当n为偶数时，1521219n-显然不成立

45、，当n为奇数时，不等式可变为1521219n-，更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君当1n=时，2119成立；当3n=时，25252422121441441219=成立；当5n=时，44561212121619=不成立又因为函数1512ny-=单调递减，所以当5n 时，1521219n-不成立，所以只有在第 1 天和第 3 天时，12nP，所以丙在 3 月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数只有 2 天【点睛】关键点点睛：第三问关键是得到递推公式1112143nnnPPP-=+-231,Nnn，再由构造法得到nP的通项.19如图，已知双曲线2222:1(0,0)xyCab

46、ab-=的离心率为 2，点4 3,23在C上，,A B为双曲线的左、右顶点，P为C右支上的动点，直线AP和直线1x=交于点N，直线NB交C的右支于点Q(1)求C的方程；(2)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由；(3)设12,S S分别为ABNV和NPQ的外接圆面积，求12SS的取值范围更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君【答案】(1)221412xy-=(2)过定点4,0，理由见解析(3)10,3【分析】（1）根据离心率得到223ba=，再代入4 3,23，得到方程，求出224,12ab=，求出双曲线方程；（2）设直线PQ的方程为xmyn=+，联立双曲线

47、方程，得到两根之和，两根之积，求出直线11:22yAP yxx=+，求出1131,2yNx+，根据三点共线得到方程，结合212123126nyymy yn-+=-，求出4n=，得到答案；（3）利用正弦定理求出11224SRSRPQ=，设直线PQ的方程为4xmy=+，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，求出2103m+=-=-更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君直线11:22yAP yxx=+，所以1131,2yNx+，又,N B Q三点共线，所以BQNBkk=，即2121322yyxx=-+，即21122320yxyx+-=，即21122320ymynymyn+-=，化简得2211

48、40232nymy yny+-=+，因为21212226312,3131mnnyyy ymm-+=-=-，所以212123126nyymy yn-+=-，代入上式得21221312406232nnynynyy-+-+=+，即221282860nynynn+-=，1224420nnynny-+=+，所以4n=所以PQ过定点4,0（3）设ABNV和NPQ的外接圆半径分别为1R，2R，其中AB4=，由正弦定理可得122,2sinsinABPQRRANBPNQ=，又sinsinANBPNQ=，所以12ABRRPQ=，即11224ABSRSRPQPQ=设直线PQ的方程为4xmy=+，与C的方程联立224

49、,1,412xmyxy=+-=整理得223124360mymy-+=，则1212222436,3131myyy ymm+=-=-更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君又21212310,0,0,0,mx xxx-+即 21212310,0,440,440,mmymymymy-+由2310m-得213m，由22=576144 310mm-，解得Rm，由222121212224103696441631316mmmymymymyyymm+=+=-+-得，2103m-，得2103m，综上，2103m，又因为2222121222243614143131mPQmyyy ymmm=+-=+-2222214414411121 31 3mmmmm+=+=-，所以21222134110,33 13 1SmSmm-=-+【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围