押新高考第18题 概率与统计综合（解答题）-备战2024年高考数学临考题号押题（新高考通用）含答案.pdf

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1、更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君押新高考押新高考 18 题概题概 率率 与与 统统 计计 综综 合（解答题）合（解答题）考点考点4 年考题年考题考情分析考情分析概率与统计综合概率与统计综合2023 年新高考卷第 21 题2023 年新高考卷第 19 题2022 年新高考卷第 20 题2022 年新高考卷第 19 题2021 年新高考卷第 18 题2021 年新高考卷第 21 题2020 年新高考卷第 19 题2020 年新高考卷第 19 题概率统计大题难度一般难度一般，纵观近几年的新高考试题，主要考查事件与概率、独立性检验、频率分布直方图、随机变量分布列及期望方差等知识点，同时也是

2、高考冲刺复习的重点复习内容。可以预测可以预测 2024 年新高考命题方向将继续以独立性检验、线性回归直线方程、随机变量分布列及期望方差为背景展开命题年新高考命题方向将继续以独立性检验、线性回归直线方程、随机变量分布列及期望方差为背景展开命题1（2023新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 21 题）题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6，乙每次投篮的命中率均为 0.8由抽签确定第 1 次投篮的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5(1)求第 2 次投篮的人是乙的概率；(2)求

3、第i次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量iX服从两点分布，且110,1,2,iiiP XP Xq in=-=，则11nniiiiEXq=记前n次（即从第 1 次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求 E Y2（2023新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 19 题）题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：押新高考第18题 概率与统计综合（解答题）-备战2024年高考数学临考题号押题（新高考通用）更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 c，将

4、该指标大于 c 的人判定为阳性，小于或等于 c 的人判定为阴性此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率(1)当漏诊率 0.5p c=时，求临界值 c 和误诊率 q c；(2)设函数 f cp cq c=，当95,105c时，求 f c的解析式，并求 f c在区间95,105的最小值3（2022新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 20 题）题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随

5、机调查了 100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100 人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”(|)(|)P B AP B A与(|)(|)P B AP B A的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R（）证明：(|)(|)(|)(|)P A BP A BRP A BP A B=；（）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B

6、P A B的估计值，并利用（）的结果给出 R 的估计值更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君附22()()()()()n adbcKa b c d a c b d-=，2P Kk0.0500.0100.001k3.8416.63510.8284（2022新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 19 题）题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了 100 位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0

7、.1%，该地区年龄位于区间40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间40,50)，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到 0.0001）.5（2021新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 18 题）题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；B

8、 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君（1）若小明先回答 A 类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.6（2021新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 21 题）题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 0 代，经过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第 2 代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相

9、同的分布列，设 X 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)iP Xip i=（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1pppp=，求()E X；（2）设 p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于 x 的方程：230123pp xp xp xx=的一个最小正实根，求证：当()1E X 时，1p=，当()1E X 时，1p r，正相关；0r，负相关乎不存在线性相关性，线性相关性越弱，几越接近于，线性相关性越强；越接近于且01,1rrr 6.独立性检验解题方法：（1）依题意完成列联表；（2）用公式求解；（3）对比观测值即可得到所求结论的可能性独立性检验

10、计算公式：22n adbcKabcdacbd-=更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君1（2024江苏江苏一模）一模）已知某种机器的电源电压 U（单位：V）服从正态分布2220,20N其电压通常有 3种状态：不超过 200V；在 200V240V 之间超过 240V在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为 0.15，0.05，0.2(1)求该机器生产的零件为不合格品的概率；(2)从该机器生产的零件中随机抽取 n（2n）件，记其中恰有 2 件不合格品的概率为np，求np取得最大值时 n 的值附：若2,ZNm，取0.68PZmm-=，220.95PZmm-的图象附近(1)求y

11、关于x的经验回归方程（系数精确到 0.01）；(2)在做土壤相关的生态环境研究时，细菌与真菌的比值能够反映土壤的碳氮循环以样本的频率估计总体分布的概率，若该实验小组随机抽查 8 组数据，再从中任选 4 组，记真菌y（单位：百万个）与细菌x（单位：百万个）的数值之比位于区间0.13,0.20内的组数为X，求X的分布列与数学期望.附：经验回归方程ybxa=$的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221niiiniix ynxybaybxxnx=-=-，888211189.03ln2449.43,ln22.48,92400,0.021.4200iiiiiiixyyx=11（2024广东江门广东江门一

12、模）一模）在数字通信中，信号是由数字 0 和 1 组成的序列，且传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号 0 或 1 有可能被错误地接收为 1 或 0.已知发送 0 时，收到 1 的概率为0laa，收到 0 的概率为1a-：发送 1 时，收到 0 的概率为01bb.该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码(1,2,3,)k kN=，按面试号码k由小到大依次进行面试，每人面试时长 5 分钟，面试完成后自行离场.(1)求面试号码为 2 的学生来自 A 校的概率.(2)若40N=，10n=，且 B，C 两所学校参加面试的学生人数比为1:2，求 A 校参加面试的学生先于其他两

13、校学生完成面试（A 校所有参加面试的学生完成面试后，B，C 两校都还有学生未完成面试）的概率.(3)记随机变量 X 表示最后一名 A 校学生完成面试所用的时长（从第 1 名学生开始面试到最后一名 A 校学生完成面试所用的时间），()E X是X的数学期望，证明：5(1)()1n NE Xn=.29（2024广东广州广东广州一模）一模）某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由*(3,N)n nn位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力

14、闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知A团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为34和12，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.(1)若3n=，用X表示A团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求X的均值；(2)记A团队第*(11,N)kknk-位成员上场且闯过第二关的概率为kp，集合*3N128kkp中元素的最小值为0k，规定团队人数01nk=，求n.30（2024湖南湖南模拟预测）模拟预测）将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中 15 个区域进行编号，

15、统计抽取到每个区域的某种水源指标ix和区域内该植物分布的数量iy（1i=，2，15），更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君得到数组,iix y已知152145iixx=-=，15218000iiyy=-=，151480iiixxyy=-=(1)求样本,iix y（1i=，2，15）的相关系数；(2)假设该植物的寿命为随机变量 X（X 可取任意正整数）研究人员统计大量数据后发现：对于任意的*kN，寿命为1k 的样本在寿命超过 k 的样本里的数量占比与寿命为 1 的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于 0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”（）求P Xk=（*kN）的表达式；（）推

16、导该植物寿命期望E X的值附：相关系数12211niiinniiiixxyyrxxyy=-=-更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君押新高考押新高考 18 题题概概 率率 与与 统统 计计 综综 合（解答题）合（解答题）考点考点4 年考题年考题考情分析考情分析概率与统计概率与统计综合综合2023 年新高考卷第 21 题2023 年新高考卷第 19 题2022 年新高考卷第 20 题2022 年新高考卷第 19 题2021 年新高考卷第 18 题2021 年新高考卷第 21 题2020 年新高考卷第 19 题2020 年新高考卷第 19 题概率统计大题难度一般难度一般，纵观近几年的新高考试

17、题，主要考查事件与概率、独立性检验、频率分布直方图、随机变量分布列及期望方差等知识点，同时也是高考冲刺复习的重点复习内容。可以预测可以预测 2024 年新高考命题方向将继续以独立性检验、线性回归直线方程、随机变量分布列及期望方差为背景展开命题年新高考命题方向将继续以独立性检验、线性回归直线方程、随机变量分布列及期望方差为背景展开命题1（2023新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 21 题）题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6，乙每次投篮的命中率均为 0.8由抽签确定第 1 次投篮的人

18、选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5(1)求第 2 次投篮的人是乙的概率；(2)求第i次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量iX服从两点分布，且110,1,2,iiiP XP Xq in=-=，则11nniiiiEXq=记前n次（即从第 1 次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求 E Y【答案】(1)0.6(2)1121653i-+(3)52()11853nnE Y=-+更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君【分析】（1）根据全概率公式即可求出；（2）设iiP Ap=，由题意可得10.40.2iipp+=+，根据数列知识，构造等比数列即可解出；（3）先求出两点分布的期望

19、，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出【详解】（1）记“第i次投篮的人是甲”为事件iA，“第i次投篮的人是乙”为事件iB，所以，21212121121|P BP ABP B BP A P BAP B P BB=+=+0.51 0.60.5 0.80.6=-+=.（2）设iiP Ap=，依题可知，1iiP Bp=-，则 11111|iiiiiiiiiiiP AP A AP B AP A P AAP B P AB+=+=+，即 10.61 0.810.40.2iiiipppp+=+-=+，构造等比数列ipl+，设125iippll+=+，解得13l=-，则1121353iipp+-=-，

20、又11111,236pp=-=，所以13ip-是首项为16，公比为25的等比数列，即11112121,365653iiiipp-=+（3）因为1121653iip-=+，1,2,in=，所以当*Nn时，122115251263185315nnnnnE Yppp-=+=+=-+-L，故52()11853nnE Y=-+【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解2（2023新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 19 题）题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患

21、病者该指标的频率分布直方图：更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 c，将该指标大于 c 的人判定为阳性，小于或等于 c 的人判定为阴性此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率(1)当漏诊率 0.5p c=时，求临界值 c 和误诊率 q c；(2)设函数 f cp cq c=+，当95,105c时，求 f c的解析式，并求 f c在区间95,105的最小值【答案】(1)97.5c=，()3.5%q c=；(2)0

22、.0080.82,95100()0.010.98,100105ccf ccc-+=-，所以95100c,故0.0080.82,95100()0.010.98,100105ccf ccc-+=-，更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君所以有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）(i)因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B AP B AP ABP AP ABP ARP B AP B AP AP ABP AP AB=，所以()()()()()()()()P ABP BP ABP BRP BP ABP BP AB=所以(|)(|)(|

23、)(|)P A BP A BRP A BP A B=，(ii)由已知40(|)100P A B=，10(|)100P A B=，又60(|)100P A B=，90(|)100P A B=，所以(|)(|)=6(|)(|)P A BP A BRP A BP A B=4（2022新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 19 题）题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了 100 位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20,70)的概率；(3)已知该地区这

24、种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间40,50)，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到 0.0001）.【答案】(1)47.9岁；更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君(2)0.89；(3)0.0014【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设A=一人患这种疾病的年龄在区间20,70)，根据对立事件的概率公式()1()P AP A=-即可解出；（3）根据条件概率公式即可求出【详解】（1）平均年龄(

25、5 0.001 15 0.00225 0.01235 0.01745 0.023x=+55 0.02065 0.01775 0.00685 0.002)1047.9+=（岁）（2）设A=一人患这种疾病的年龄在区间20,70)，所以()1()1(0.001 0.0020.0060.002)101 0.110.89P AP A=-=-+=-=（3）设B=“任选一人年龄位于区间40,50)”，C=“从该地区中任选一人患这种疾病”，则由已知得：16%0.16,0.1%0.001,(|)0.023 100.23P BP CP B C=,则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间40,5

26、0)，此人患这种疾病的概率为()(|)()()0.001 0.23(|)0.00143750.0014()0.16P BCP C P B CCBPBBPP=5（2021新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 18 题）题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，已知小明能正确回答 A 类

27、问题的概率为 0.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答 A 类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）B类【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可（2）与（1）类似，找出先回答B类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可【详解】（1）由题可知，X的所有可能取值为0，20，100更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君01 0.80.2P X=-=；200.8 1 0.60.32P X=-=；1

28、000.8 0.60.48P X=所以X的分布列为X020100P0.20.320.48（2）由（1）知，0 0.220 0.32 100 0.4854.4E X=+=若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，10001 0.60.4P Y=-=；800.6 1 0.80.12P Y=-=；1000.8 0.60.48P Y=所以 0 0.480 0.12 100 0.4857.6E Y=+=因为54.457.6时，1p；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）利用公式计算可得()E X.（2）利用导

29、数讨论函数的单调性，结合 10f=及极值点的范围可得 f x的最小正零点.（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君【详解】（1）()0 0.4 1 0.32 0.23 0.11E X=+=.（2）设 3232101f xp xp xpxp=+-+，因为32101pppp+=，故 32322030f xp xp xpppxp=+-+，若1E X，则123231ppp+，故2302ppp+.23220332fxp xp xppp=+-+，因为 20300fppp=-+，230120fppp=+-，故 fx有两个不同零点12,x x，且1201x

30、x；12,xx x时，0fx=，故1为230123pp xp xp xx+=的一个最小正实根，若21x，因为 10f=且在20,x上为减函数，故 1 为230123pp xp xp xx+=的一个最小正实根，综上，若1E X，则1p=.若1E X，则123231ppp+，故2302ppp+.此时 20300fppp=-+，故 fx有两个不同零点34,x x，且3401xx；34,xx x时，0fx；故 f x在3,x-，4,x+上为增函数，在34,x x上为减函数，而 10f=，故40f x，故 f x在40,x存在一个零点p，且1p.所以p为230123pp xp xp xx+=的一个最小正

31、实根，此时1p 时，1p r，正相关；0r，负相关乎不存在线性相关性，线性相关性越弱，几越接近于，线性相关性越强；越接近于且01,1rrr 6.独立性检验解题方法：（1）依题意完成列联表；（2）用公式求解；（3）对比观测值即可得到所求结论的可能性独立性检验计算公式：22n adbcKabcdacbd-=+1（2024江苏江苏一模）一模）已知某种机器的电源电压 U（单位：V）服从正态分布2220,20N其电压通常有 3种状态：不超过 200V；在 200V240V 之间超过 240V在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为 0.15，0.05，0.2(1)求该机器生产的零件为不合

32、格品的概率；(2)从该机器生产的零件中随机抽取 n（2n）件，记其中恰有 2 件不合格品的概率为np，求np取得最大值更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君时 n 的值附：若2,ZNm，取0.68PZmm-+=，220.95PZmm-+=【答案】(1)0.09；(2)22n=.【分析】（1）根据题意，由正态分布的概率公式代入计算，再由全概率公式，即可得到结果；（2）根据题意，由二项分布的概率公式代入计算，即可得到结果.【详解】（1）记电压“不超过 200V”、“在 200V240V 之间”、“超过 240V”分别为事件 A，B，C，“该机器生产的零件为不合格品”为事件 D因为2220,2

33、0UN，所以 11 0.682000.1622PZP AP Umm-+-=，2002400.68P BPUPZmm=-+=，11 0.682400.1622PZP CP Umm-=所以|P DP A P D AP B P D BP C P D C=+0.16 0.150.68 0.050.16 0.20.09=+=，所以该机器生产的零件为不合格品的概率为 0.09（2）从该机器生产的零件中随机抽取 n 件，设不合格品件数为 X，则,0.09XB n，所以2222C0.910.09nnnpP X-=由21211222C0.910.0910.911C0.910.091nnnnnnpnpn-+-+=

34、-，解得19129n所以当221n时，1nnpp+；所以22p最大因此当22n=时，np最大2（2024江苏江苏一模）一模）我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防抢险救灾环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为45，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为12，击中目标两更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君次起火点被扑灭的概率为23，击中目标三次起火点必定被扑灭.(1)求起火点

35、被无人机击中次数的分布列及数学期望；(2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.【答案】(1)分布列见解析，125(2)102125【分析】（1）由二项分布概率公式求概率即可得分布列，再由二项分布期望公式可得；（2）根据条件概率以及全概率公式求解可得【详解】（1）起火点被无人机击中次数X的所有可能取值为0,1,2,332131141120,1C512555125P XP X=，232341484642C,3551255125P XP X=.X的分布列如下：X0123P112512125481256412544123,3555XBE X=Q.（2）击中一次被扑灭的概率为121134116C5521

36、25P=击中两次被火扑灭的概率为222341232C553125P=击中三次被火扑灭的概率为334645125P=所求概率63264102125125125125P=+=.3（2024浙江浙江二模）二模）某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于 82 为合格品，小更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君于 82 为次品，现抽取这种元件 100 件进行检测，检测结果统计如下表：测试指标20,7676,8282,8888,9494,100元件数（件）121836304(1)现从这 100 件样品中随机抽取 2 件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；(2)关于随机变

37、量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量 X 具有数学期望E Xm=，方差2D X=，则对任意正数e，均有22P xmee-成立.（i）若1100,2XB，证明：1(025)50PX；（ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为 90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件 A 发生的概率小于 0.05 时，可称事件 A 为小概率事件）【答案】(1)2343(2)（i）证明见解析；（ii）不可信.【分析】（1）由条件概率的公式进行求解即可；（2）

38、（i）由1100,2XB求出50,25E XD X=，再结合切比雪夫不等式即可证明；（ii）设随机抽取100 件产品中合格品的件数为X，100,0.9XB:，由切比雪夫不等式判断出97090200.0225400P XP X=-=，进而可得出结论.【详解】（1）记事件A为抽到一件合格品，事件B为抽到两个合格品，222701003022100100CCC161301,C330C330P ABP A-=16123.30143P ABP B AP A=（2）（i）由题：若1100,2XB，则50,25E XD X=又1001001C100,2kP XkP Xk=-所以1025(0252PXPX=或1

39、75100)50252XP X=-更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君由切比雪夫不等式可知，225150252525P X-=所以102550PX；（ii）设随机抽取 100 件产品中合格品的件数为X，假设厂家关于产品合格率为90%的说法成立，则100,0.9XB:，所以90,9E XD X=，由切比雪夫不等式知，97090200.0225400P XP X=-=，即在假设下 100 个元件中合格品为 70 个的概率不超过 0.0225，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信.4（2024江苏徐州江苏徐州一模）一模）某中学对

40、该校学生的学习兴趣和预习情况进行长期调查，学习兴趣分为兴趣高和兴趣一般两类，预习分为主动预习和不太主动预习两类，设事件 A：学习兴趣高，事件 B：主动预习据统计显示，34P A B=，14P A B=，4()5P B=(1)计算 P A和|P A B的值，并判断 A 与 B 是否为独立事件；(2)为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校用分层抽样的方法抽取了一个容量为*()m mN的样本，利用独立性检验，计算得21.350c=为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的*N()t t倍，使得能有 99.5%的把握认为学习兴趣与主动预习有关，试确定t的最小值附：22n adbcabcdacbd

41、c-=+，其中nabcd=+2()Pkc0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)1320P A=，3|4P A B=，不相互独立(2)6【分析】（1）利用条件概率公式以及全概率公式计算即可；更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君（2）作出新的列联表，然后求出新的2c值，列不等式求解即可.【详解】（1）由已知13|1|144P A BP A B=-=-=，31|1|144P A BP A B=-=-=，又因为4()5P B=，所以 411155P BP B=-=-=，所以 431113|545420P AP BP A

42、 BP BP A B=+=+=，又 343|455P ABP A BP B=，所以 P ABP A P B，所以 A 与 B 不为独立事件；（2）假设原列联表为兴趣高兴趣不高总计主动预习abab+不太主动预习cd+cd总计ac+bd+abcd根据原数据有21.35n adbcabcdacbd-=+若将样本容量调整为原来的*()t tN倍，则新的列联表为：兴趣高兴趣不高总计主动预习tatbt ab+不太主动预习tctdt cd+总计t ac+t bd+t abcd+则 22222t adt bcadbct abt cdct act bdabdt acbcdtdacbabdc-=+更多全科试卷及资

43、料，请关注公众号：高中试卷君1.357.879t=，解得5.84t，又*Nt，所以t的最小值为6.5（2024江苏南通江苏南通二模）二模）甲公司推出一种新产品，为了解某地区消费者对新产品的满意度，从中随机调查了 1000 名消费者，得到下表：满意不满意男44060女46040(1)能否有95%的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关；(2)若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取 3 人，用 X 表示不满意的人数，求 X 的分布列与数学期望.附：22()()()()()n adbcKa b c d a c b d-=+，nabcd=+.2()P Kk0.10.050.01k2.7063.8

44、416.635【答案】(1)有95%的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关(2)分布列见解析，期望3()10E X=【分析】（1）先利用所给数据表完善22列联表，再利用2K公式求出2K，利用临界值表进行判定；（2）先求出不满意的概率为110，由二项分布求解概率，列表得到分布列，利用期望公式进行求解.【详解】（1）补全22列联表如图所示：满意不满意总计男44060500女46040500总计9001001000更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君221000(4404046060)404.4443.841500500900 1009K-=，故有95%的把握认为消费者对新产品的满意度与

45、性别有关（2）由题知，从该地区的消费者中随机抽取 1 人，不满意的概率为110，X的所有可能取值为 0，1，2，3，且3123972991243(0)(),(1)C()10100010101000P XP X=2233912711(2)C(),(3)()10101000101000P XP X=，所以X的分布列为：X0123P7291000243100027100011000所以7292432713()0123100010001000100010E X=+=6（2024河北沧州河北沧州一模）一模）某商场举办摸球赢购物券活动现有完全相同的甲乙两个小盒，每盒中有除颜色外形状和大小完全相同的 10

46、个小球，其中甲盒中有 8 个黑球和 2 个白球，乙盒中有 3 个黑球和 7 个白球参加活动者首次摸球，可从这两个盒子中随机选择一个盒子，再从选中的盒子中随机摸出一个球，若摸出黑球，则结束摸球，得 300 元购物券；若摸出的是白球，则将摸出的白球放回原来盒子中，再进行第二次摸球第二次摸球有如下两种方案：方案一，从原来盒子中随机摸出一个球；方案二，从另外一个盒子中随机摸出一个球若第二次摸出黑球，则结束摸球，得 200 元购物券；若摸出的是白球，也结束摸球，得 100 元购物券用 X 表示一位参加活动者所得购物券的金额(1)在第一次摸出白球的条件下，求选中的盒子为甲盒的概率(2)在第一次摸出白球的条

47、件下，通过计算，说明选择哪个方案第二次摸到黑球的概率更大；依据以上分析，求随机变量X的数学期望的最大值.【答案】(1)29(2)方案二中取到黑球的概率更大；282【分析】（1）利用全概率公式和概率的乘法公式计算；（2）利用全概率公式和条件概率公式计算，根据数据下结论；两种方案分别求出期望，根据数据下结论.更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君【详解】（1）设试验一次，“取到甲盒”为事件1A，“取到乙盒”为事件2A，“第一次摸出黑球”为事件1B，“第一次摸出白球”为事件2B，212122212179()()()()()21021020P BP A P B AP A P B A=+=+=，所

48、以12211122221(|)2102|9920P ABP BA P AP A BP BP B=，所以选中的盒子为甲盒的概率为29.（2）221227()1()199P A BP A B=-=-=，所以方案一中取到黑球的概率为：11211221228733791091090PP A BP B AP A BP B A=+=+=，方案二中取到黑球的概率为：222111212782362319109109045PP A BP B AP A BP B A=+=+=，因为31374590，所以方案二中取到黑球的概率更大.随机变量X的值为300,200,100，依据以上分析，若采用方案一：12113001

49、20P XP BP B=-=，21937372002090200P XP BP=，113753100120200200P X=-=，113753300200100228.520200200E X=+=，若采用方案二：1211300120P XP BP B=-=，22931312002045100P XP BP=，1131710012010050P X=-=，1131113002001002822010020E X=+=，所以随机变量X的数学期望的最大值282.7（2024黑龙江黑龙江二模）二模）一座小桥自左向右全长 100 米，桥头到桥尾对应数轴上的坐标为 0 至 100，桥上有更多全科试卷及

50、资料，请关注公众号：高中试卷君若干士兵，一阵爆炸声后士兵们发生混乱，每个士兵爬起来后都有一个初始方向（向左或向右），所有士兵的速度都为 1 米每秒，中途不会主动改变方向，但小桥十分狭窄，只能容纳 1 人通过，假如两个士兵面对面相遇，他们无法绕过对方，此时士兵则分别转身后继续前进（不计转身时间）.(1)在坐标为 10，40，80 处各有一个士兵，计算初始方向不同的所有情况中，3 个士兵全部离开桥面的最长时间（提示：两个士兵面对面相遇并转身等价于两个士兵互相穿过且编号互换）；(2)在坐标为 10、20、30、90 处各有一个士兵，初始方向向右的概率为12，设最后一个士兵离开独木桥的时间为T秒，求T