押新高考第19题A 圆锥曲线综合（解答题）-备战2024年高考数学临考题号押题（新高考通用）含答案.pdf

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1、更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君押新高考押新高考 19 题题 A圆圆 锥锥 曲曲 线线 综综 合（解答题）合（解答题）考点考点4 年考题年考题考情分析考情分析圆锥曲线综合圆锥曲线综合2023 年新高考卷第 22 题2023 年新高考卷第 21 题2022 年新高考卷第 21 题2022 年新高考卷第 21 题2021 年新高考卷第 21 题2021 年新高考卷第 20 题2020 年新高考卷第 22 题2020 年新高考卷第 21 题圆锥曲线大题难度较难难度较难，纵观近几年的新高考试题，主要以双曲线、椭圆和抛物线为背景考查斜率及面积问题、轨迹问题、方程求解及劣构性问题、定值问题、范

2、围问题等知识点，同时也是高考冲刺复习的重点复习内容。可以预测可以预测 2024 年新高考命题方向将继续以难度性的综合问题展开命题年新高考命题方向将继续以难度性的综合问题展开命题1（2023新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 22 题）题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点10,2的距离，记动点P的轨迹为W(1)求W的方程；(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3 32（2023新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 21 题）题）已知双曲线 C 的中心为坐标原点，左焦点为2 5,0-，离心率为5(1)求 C 的方程；(2)记 C 的左、右顶点分别为

3、1A，2A，过点4,0-的直线与 C 的左支交于 M，N 两点，M 在第二象限，直线1MA与2NA交于点 P证明:点P在定直线上.3（2022新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 21 题）题）已知点(2,1)A在双曲线2222:1(1)1xyCaaa-=-上，直线 l 交 C 于 P，押新高考第19题A 圆锥曲线综合（解答题）-备战2024年高考数学临考题号押题（新高考通用）更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君Q 两点，直线,AP AQ的斜率之和为 0(1)求 l 的斜率；(2)若tan2 2PAQ=，求PAQ的面积4（2022新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 21 题）题）已知

4、双曲线2222:1(0,0)xyCabab-=的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为3yx=(1)求 C 的方程；(2)过 F 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点，点1122,P x yQ xy在 C 上，且1210,0 xxy 过 P 且斜率为3-的直线与过 Q 且斜率为3的直线交于点 M.从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立：M 在AB上；PQAB；|MAMB=注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.5（2021新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 21 题）题）在平面直角坐标系xOy中，已知点117,0F-、21217,02FMFMF-=，点M的轨迹为C.（1

5、）求C的方程；（2）设点T在直线12x=上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，且TA TBTP TQ=，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.6（2021新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 20 题）题）已知椭圆 C 的方程为22221(0)xyabab+=，右焦点为(2,0)F，且离心率为63（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 M，N 是椭圆 C 上的两点，直线MN与曲线222(0)xybx+=相切证明：M，N，F 三点共线的充要条件是|3MN=1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君（1）设直线方程，设交点坐标为1

6、1,xy、22,xy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算D；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12x x（或12yy+、12y y）的形式；（5）代入韦达定理求解2.若直线:l ykxb=+与圆雉曲线相交于11(,)A x y，22(,)B xy两点，由直线与圆锥曲线联立，消元得到20AxBxC+=（0D）则：1212,BCxxx xAA+=-=则：弦长222212121212222121212114ABxxyyxxkxkxkxxkxxx x=-+-=-+-=+-=+-22222214411kBCBACkkAAAA+D-

7、=+-=+=或212122211|11AByyyykk=+-=+-圆锥曲线弦长万能公式（硬解定理）圆锥曲线弦长万能公式（硬解定理）设直线方程为:=+(特殊情况要对 进行讨论),圆锥曲线的方程为:(,)=0,把直线方程代入曲线方程,可化为 2+=0(0)或 2+=0,(0),设直线和曲线的两交点为(1,1),(2,2),求根公式为=242(1)若消去 y,得2+=0(0)则弦长公式为:|=(12)2+(12)2=1+k2|12|=1+k2|+242 242|=1+k2|更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君(2)若消去,得2+=0(0)则弦长公式为:|=(12)2+(12)2=1+12|1

8、2|=1+12|+242 242|=1+12|3.处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k），（2）利用条件找到k与过定点的曲线,0F x y=的联系，得到有关k与,x y的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点00,xy，使得无论k的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k与,x y的等式进行变形，直至找到00,xy，若等式的形式为整式，则考虑将含k的式子归为一组，变形为“k”的形式，让括号中式子等于 0，求出定点；若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于 0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k变为常数.4.处理定值问题的思路：联立方程，用韦达定理得到12xx+、

9、12x x（或12yy+、12y y）的形式，代入方程和原式化简即可.1（2024浙江浙江二模）二模）已知椭圆2222:1(0)xyLabab+=的左顶点30A-,和下顶点 B，焦距为4 2，直线 l交椭圆 L 于 C，D（不同于椭圆的顶点）两点，直线 AD 交 y 轴于 M，直线 BC 交 x 轴于 N，且直线 MN 交l 于 P.(1)求椭圆 L 的标准方程；(2)若直线 AD，BC 的斜率相等，证明：点 P 在一条定直线上运动.更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君2（2024江苏江苏模拟预测）模拟预测）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦点为F，点31,2P在椭圆C

10、上，且PF垂直于x轴(1)求椭圆C的方程；(2)直线l斜率存在，交椭圆C于,A B两点，,A B F三点不共线，且直线AF和直线BF关于PF对称（）证明：直线l过定点；（）求ABF面积的最大值3（2024江苏江苏一模）一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点50,3P-，过椭圆222:1(1)xCyaa+=的上顶点A作两条动直线112212:1,:1 0lyk xlyk xkk=+=+的上顶点为0,2D，直线:l ykx=与椭圆C交于,A B两点，且直线DA与DB的斜率之积为13-(1)求椭圆C的方程；(2)若直线/ll，直线l与椭圆C交于,M N两点，且直线DM与DN的斜率之和为 1，求l与l

11、之间距离的取值范围5（2024湖南长沙湖南长沙一模）一模）已知双曲线2213yx-=与直线l：ykxm=+（3k ）有唯一的公共点P，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，其中点M，P在第一象限.(1)探求参数k，m满足的关系式；(2)若O为坐标原点，F为双曲线的左焦点，证明：MFPNFO=.6（2024河北河北模拟预测）模拟预测）过双曲线22:13xEy-=的右焦点F作斜率相反的两条直线1l、2l，1l与E的右支交与A、B两点，2l与E的右支交C、D两点，若AC、BD相交于点P(1)求证：点P为定点；(2)设AC的中点为,M BD的中点为N，当四边形ACBD的面积等于2|MN时，求四

12、边形ACBD的周长更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君7（2024重庆重庆一模）一模）已知点M为圆22:(2)4Cxy-+=上任意一点，2,0B-，线段MB的垂直平分线交直线MC于点Q(1)求Q点的轨迹方程；(2)设过点C的直线l与Q点的轨迹交于点P，且点P在第一象限内已知1,0A-，请问是否存在常数l，使得PCAPACl=恒成立？若存在，求l的值，若不存在，请说明理由8（2024辽宁辽宁一模）一模）已知平面上一动点P到定点1,02F的距离比到定直线2023x=-的距离小40452，记动点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)点2,1,AM N为C上的两个动点，若,M N B恰好为

13、平行四边形MANB的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在第一三象限的角平分线上，记平行四边形MANB的面积为S，求证：8 69S.9（2024广东广东一模）一模）已知双曲线2222:1(0,0)xyabab-=的左、右焦点分别为12,F F，直线:()l ykxbkb=-，且与双曲线交于,C D两点，N为CD的中点，O为坐标原点，且2 5ON=，若直线l与圆222xyb+=相切，求直线l的方程10（2024湖南湖南一模）一模）已知双曲线2222:1(1)xyCbaab-=的渐近线方程为2yx=，C的半焦距为c，且44244abc+=(1)求C的标准方程(2)若P为C上的一点，且P为圆22

14、4xy+=外一点，过P作圆224xy+=的两条切线12,l l（斜率都存在），1l与C交于另一点2,M l与C交于另一点N，证明：（）12,l l的斜率之积为定值；（）存在定点A，使得,M N关于点A对称11（2024湖北湖北一模）一模）已知双曲线2212:1yCxb-=经过椭圆2222:1xCya+=的左、右焦点12,F F，设12,C C的离心率分别为12,e e，且1 262e e=更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君(1)求12,C C的方程；(2)设P为1C上一点，且在第一象限内，若直线1PF与2C交于,A B两点，直线2PF与2C交于,C D两点，设,AB CD的中点分别为

15、,M N，记直线MN的斜率为k，当k取最小值时，求点P的坐标12（2024湖北湖北二模）二模）如图，O为坐标原点，F为抛物线22yx=的焦点，过F的直线交抛物线于,A B两点，直线AO交抛物线的准线于点D，设抛物线在B点处的切线为l (1)若直线l与y轴的交点为E，求证：DEEF=；(2)过点B作l的垂线与直线AO交于点G，求证：2|ADAOAG=13（2024山东淄博山东淄博一模）一模）在平面直角坐标系 xOy 中，点.5,0F，点,P x y是平面内的动点.若以 PF 为直径的圆与圆 22:1D xy+=相切，记点 P 的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程;(2)设点(1,0),(0,)

16、,(0,4)(2)AMtNt t-，直线 AM，AN 分别与曲线 C 交于点 S，T(S，T 异于 A)，过点 A作AHST，垂足为 H，求|OH的最大值.14（2024山东济南山东济南一模）一模）已知双曲线 C：2214xy-=的左右顶点分别为1A，2A，过点4,0P的直线l与双曲线 C 的右支交于 M，N 两点.(1)若直线l的斜率 k 存在，求 k 的取值范围；(2)记直线1AM，2A N的斜率分别为1k，2k，求12kk的值；(3)设 G 为直线1AM与直线2A N的交点，GMNV，12GA A的面积分别为1S，2S，求12SS的最小值.15（2024山东青岛山东青岛一模）一模）已知

17、O 为坐标原点，点 W 为Oe：224xy+=和Me的公共点，0OM OW=uuuu r uuuu r，Me与直线20 x+=相切，记动点 M 的轨迹为 C(1)求 C 的方程；(2)若0nm，直线1:0lxym-=与 C 交于点 A，B，直线2:0lxyn-=与 C 交于点A，B，点 A，A在更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君第一象限，记直线AA与BB的交点为 G，直线AB与BA的交点为 H，线段 AB 的中点为 E证明：G，E，H 三点共线；若217mn+=，过点 H 作1l的平行线，分别交线段AA，BB于点T，T，求四边形GTET面积的最大值16（2024山东临沂山东临沂一模）

18、一模）动圆C与圆221:(2)50Cxy+=和圆222(2):2Cxy-+=都内切，记动圆圆心C的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为222220AxBxyCyDxEyF+=，则曲线上一点00,xy处的切线方程为：0000000Ax xB x yy xCy yD xxE yyF+=，试运用该性质解决以下问题：点P为直线8x=上一点（P不在x轴上），过点P作E的两条切线,PA PB，切点分别为,A B.（i）证明：直线AB过定点；（ii）点A关于x轴的对称点为A，连接A B交x轴于点M，设22,AC MBC MVV的面积分别为12,S S，求12SS-的

19、最大值.17（2024福建厦门福建厦门二模）二模）已知2,0A，2,0B-，P为平面上的一个动点.设直线,AP BP的斜率分别为1k，2k，且满足1234kk=-.记P的轨迹为曲线.(1)求的轨迹方程；(2)直线PA，PB分别交动直线xt=于点,C D，过点C作PB的垂线交x轴于点H.HC HDuuur uuur是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.18（2024福建莆田福建莆田二模）二模）已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的离心率为32，且E上的点到右焦点的距离的最大值为23+(1)求椭圆E的方程；(2)已知O为坐标原点，对于E内任一点P，直线OP交E于,A C两

20、点，点,B D在E上，且满足2BPPD=uuu ruuu r，求四边形ABCD面积的最大值19（2024福建漳州福建漳州一模）一模）已知过点11,0F-的直线l与圆2F：22116xy-+=相交于G，H两点，GH的中点为E，过1GF的中点F且平行于2EF的直线交2G F于点P，记点P的轨迹为C(1)求轨迹C的方程更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君(2)若,A B为轨迹C上的两个动点且均不在y轴上，点M满足OMOAOBlm=+uuuu ruuu ruuu r（l，mR），其中O为坐标原点，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立点M在轨迹C上；直线OA与OB的斜率之积为34-；221

21、lm+=注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分20（2024福建泉州福建泉州模拟预测）模拟预测）已知中心在原点、焦点在 x 轴上的圆锥曲线 E 的离心率为 2，过 E 的右焦点 F 作垂直于 x 轴的直线，该直线被 E 截得的弦长为 6(1)求 E 的方程；(2)若面积为 3 的ABCV的三个顶点均在 E 上，边BC过 F，边AB过原点，求直线BC的方程：(3)已知1,0M，过点1,22T的直线 l 与 E 在 y 轴的右侧交于不同的两点 P，Q，l 上是否存在点 S 满足TP SQPS TQ=uur uuu ruuu r uuu r，且2213SMSF+=？若存在，求点 S 的横坐

22、标的取值范围，若不存在，请说明理由21（2024浙江浙江一模）一模）已知椭圆22:143xyC+=的左右焦点分别为12,F F，点00,P xy为椭圆C上异于顶点的一动点，12FPF的角平分线分别交x轴、y轴于点MN、(1)若012x=，求1PF；(2)求证：PMPN为定值；(3)当1F NPV面积取到最大值时，求点P的横坐标0 x22（2024河北廊坊河北廊坊模拟预测）模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点2,1P是抛物线2:20C xpy p=上的一点，直线l交C于,A B两点(1)若直线l过C的焦点，求OA OBuuu r uuu r的值；(2)若直线,PA PB分别与y轴相交于,M

23、 N两点，且1OM ON=uuuu r uuur，试判断直线l是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由23（2024江苏江苏一模）一模）已知椭圆 C：222210 xyabab+=的右焦点为1,0F，右顶点为 A，直线 l：4x=与 x 轴交于点 M，且AMa AF=，(1)求 C 的方程；(2)B 为 l 上的动点，过 B 作 C 的两条切线，分别交 y 轴于点 P，Q，证明：直线 BP，BF，BQ 的斜率成等差数列；更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君N 经过 B，P，Q 三点，是否存在点 B，使得，90PNQ=？若存在，求BM；若不存在，请说明理由.24（2024江

24、苏南通江苏南通二模）二模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆：22221(0)xyabab+=的离心率为63，直线 l 与 相切，与圆 O：2223+=xya相交于 A，B 两点.当 l 垂直于 x 轴时，|2 6AB=.(1)求 的方程；(2)对于给定的点集 M，N，若 M 中的每个点在 N 中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为,()d M N.（）若 M，N 分别为线段 AB 与圆 O 上任意一点，P 为圆 O 上一点，当PABV的面积最大时，求,()d M N；（）若,()d M N，(,)d N M均存在，记两者中的较大者为(,)H M N.已知(,)H

25、 X Y，(,)H Y Z，(,)H X Z均存在，证明：(,)(,)(,)+H X ZH Y ZH X Y.25（2024辽宁丹东辽宁丹东一模）一模）我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都有令人惊奇的光学性质，且这些光学性质都与它们的焦点有关如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点（如图所示，其中PQ是反射镜面也是过点P处的切线）已知双曲线2222:1xyCab-=（0a，0b）的左右焦点分别为1F，2F，从2F处出发的光线照射到双曲线右支上的点 P 处（点 P 在第一象限），经双曲线反射后过点M (1)请根据双曲线的光学性质

26、，解决下列问题：当1a=，3b=，且直线2PF的倾斜角为120时，求反射光线PM所在的直线方程；(2)从2F处出发的光线照射到双曲线右支上的点A处，且2,P F A三点共线，经双曲线反射后过点B，APPM，3sin5PAB=，延长2F P，2F A分别交两条渐近线于,S T，点N是ST的中点，求证：212NFFF为定值(3)在（2）的条件下，延长PQ交 y 轴于点D，当四边形21F PFD的面积为 8 时，求C的方程更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君26（2024广东佛山广东佛山二模）二模）已知以下事实：反比例函数kyx=（0k）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线(1)（）直接

27、写出函数12yx=的图象0C的实轴长；（）将曲线0C绕原点顺时针转4，得到曲线C，直接写出曲线C的方程(2)已知点A是曲线C的左顶点圆E：22211xyr-+-=（0r）与直线l：1x=交于P、Q两点，直线AP、AQ分别与双曲线C交于M、N两点试问：点 A 到直线MN的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时r的值；若不存在，说明理由27（2024广东广州广东广州一模）一模）已知O为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)xyCabab-=的焦距为4，且经过点(2,3).(1)求C的方程：(2)若直线l与C交于A，B两点，且0OA OB=uuu r uuu r，求AB的取值范围：(3)已

28、知点P是C上的动点，是否存在定圆222:()0O xyrr+=，使得当过点P能作圆O的两条切线PM，PN时（其中M，N分别是两切线与C的另一交点），总满足PMPN=？若存在，求出圆O的半径r：若不存在，请说明理由.28（2024河北河北模拟预测）模拟预测）已知平面内定点0,1,AP是以OA为直径的圆C上一动点（O为坐标原点）直线OP与点A处C的切线交于点B，过点B作x轴的垂线BN，垂足为N，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，过点P作BN的垂线PM，垂足为M(1)求点M的轨迹方程；(2)求矩形PMNQ面积的最大值；(3)设M的轨迹，直线*),(xn xn n=-=N与x轴围成面积为l，甲同学认为

29、随n的增大，l也会达到无穷大，乙同学认为随n的增大l不会超过 4，你同意哪个观点，说明理由29（2024湖北湖北一模）一模）已知椭圆2222:1(0)xyMabab+=的离心率为12，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，1F为左焦点，且1ABFV的面积为32更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君(1)求椭圆M的标准方程：(2)设椭圆M的右顶点为C、P是椭圆M上不与顶点重合的动点（i）若点31,2P，点D在椭圆M上且位于x轴下方，直线PD交x轴于点F，设APFV和CDFV的面积分别为1S，2S若1232SS-=，求点D的坐标：（ii）若直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点N，求证：

30、2QNQCkk-为定值，并求出此定值（其中QNk、QCk分别为直线QN和直线QC的斜率）30（2024山东山东模拟预测）模拟预测）设异面直线m与n所成的角为60，公垂线段为MN，且|2 3MN=，M、N分别直线 m、n 上的动点，且6M N =，P为线段M N 中点，建立适当的平面直角坐标系可确定点P的轨迹方程G(1)请根据自己建立的平面直角坐标系求出G(2)ABCV为G的任意内接三角形，点G为ABCV的外心，若直线,AB BC AC OG的斜率存在，分别为1k，2k，3k，4k，证明：1234k kkk为定值更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君押新高考押新高考 19 题题 A圆圆 锥

31、锥 曲曲 线线 综综 合（解答题）合（解答题）考点考点4 年考题年考题考情分析考情分析圆锥曲线圆锥曲线综合综合2023 年新高考卷第 22 题2023 年新高考卷第 21 题2022 年新高考卷第 21 题2022 年新高考卷第 21 题2021 年新高考卷第 21 题2021 年新高考卷第 20 题2020 年新高考卷第 22 题2020 年新高考卷第 21 题圆锥曲线大题难度较难难度较难，纵观近几年的新高考试题，主要以双曲线、椭圆和抛物线为背景考查斜率及面积问题、轨迹问题、方程求解及劣构性问题、定值问题、范围问题等知识点，同时也是高考冲刺复习的重点复习内容。可以预测可以预测 2024 年新

32、高考命题方向将继续以难度性的综合问题展开命题年新高考命题方向将继续以难度性的综合问题展开命题1（2023新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 22 题）题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点10,2的距离，记动点P的轨迹为W(1)求W的方程；(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3 3【答案】(1)214yx=+(2)见解析【分析】（1）设(,)P x y，根据题意列出方程22212xyy+-=，化简即可；（2）法一：设矩形的三个顶点222111,444A a aB b bC c c+，且abc，分别令0ABkabm=+=，且1mn=-，利用放缩法

33、得21112Cnnn+，设函数更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君221()1f xxxx=+，利用导数求出其最小值，则得C的最小值，再排除边界值即可.法二：设直线AB的方程为21()4yk xaa=-+，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得3221kABADk+，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即可.法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明.【详解】（1）设(,)P x y,则2212yxy=+-，两边同平方化简得214yx=+，故21:4Wyx=+.（2）法一：设矩形的三个顶点222111,444A a aB b

34、bC c c+在W上,且abc，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为 0，则1,0ABBCkkabbc=-+,令2240114ABkbababam+-+=+=，且1mn=-，则1mn=-，设矩形周长为C,由对称性不妨设|mn，1BCABkkcanmnn-=-=-=+，则222211|()1()1()112CABBCbamcbncannnn=+=-+-+-+=+，易知2110nnn+则令222111()1,0,()22f xxxxfxxxxxx=+=+-,令()0fx=，解得22x=，当20,2x时，()0fx，此时()f x单调递增，则min227()24f xf=，故1273 3242

35、C=,即3 3C.当3 3C=时,2,22nm=-,且22()1()1bamban-+=-+，即mn=时等号成立，矛盾，故3 3C,得证.法二：不妨设,A B D在W上，且BADA，依题意可设21,4A a a+，易知直线BA，DA的斜率均存在且不为 0，则设BA,DA的斜率分别为k和1k-，由对称性，不妨设1k，直线AB的方程为21()4yk xaa=-+，则联立22141()4yxyk xaa=+=-+得220 xkxkaa-+-=，222420kkaakaD=-=-，则2ka则2|1|2|ABkka=+-，同理21 1|12ADakk=+，221 1|1|2|12ABADkkaakk+=

36、+-+322221111221kkkaakkkkk+-+=更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君令2km=，则0,1m，设32(1)1()33mf mmmmm+=+，则2221(21)(1)()23mmfmmmm-+=+-=，令()0=fm，解得12m=，当10,2m时，()0fm，此时()f m单调递增，则min127()24f mf=，3 3|2ABAD+，但2221 111|2|121|2|2kkaakkaakkk+-+-+，此处取等条件为1k=，与最终取等时22k=不一致，故3 32ABAD+.法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线2:Wyx=,矩形ABCD变

37、换为矩形A B C D ,则问题等价于矩形A B C D 的周长大于3 3.设 222001122,B t tA t tC t t,根据对称性不妨设 00t.则 1020,A BB Cktt ktt=+=+,由于 A BBC ,则 10201tttt+=-.由于 22101020201,1ABttttBCtttt=+-=+-,且 0t 介于 12,t t 之间,则 221010202011ABBCtttttttt+=+-+-.令 20tanttq+=,10cot,0,2ttq q+=-,则2010tan,cottt ttqq=-=-,从而22001 cot2cot1tantan2ABBCttq

38、qqq+=+-故330022222(cossin)11sincossincos2sincoscossinsincossincostABBCtqqqqqqqqqqqqqq-+=-+=+当0,4q时,332222sincossincos12222 2sincoscossinsincossin2ABBCqqqqqqqqqqq+=+=当 ,4 2q 时,由于102ttt,从而000cottantttqq-,从而0cottan22tqq-又00t,更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君故0tan02tq+=+22222222sinsin2cos1 cos1 cos2cosqqqqqq=-33222

39、223 3221 cos1 cos2cos33qqq=-+-+，当且仅当3cos3q=时等号成立，故3 32ABBC+，故矩形周长大于3 3.【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得211|12CABBCnnn=+，同时为了简便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.2（2023新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 21 题）题）已知双曲线 C 的中心为坐标原点，左焦点为2 5,0-，离心率为5(1)求 C 的方程；(2)记 C 的左、右顶点分别为1A，2A，过点4,0-的直线与 C 的左支交于 M，N 两点，M 在第二象限，直线1MA与2NA交于点 P证明:点P

40、在定直线上.【答案】(1)221416xy-=(2)证明见解析.【分析】（1）由题意求得,a b的值即可确定双曲线方程；（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线1MA与2NA的方程，联立直线方程，消去y，结合韦达定理计算可得2123xx+=-，即交点的横坐标为定值，据此可证得点P在定直线=1x-上.更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君【详解】（1）设双曲线方程为222210,0 xyabab-=，由焦点坐标可知2 5c=，则由5cea=可得2a=，224bca=-=，双曲线方程为221416xy-=.（2）由(1)可得122,0,2,0AA-，设1122,M x

41、 yN xy，显然直线的斜率不为 0，所以设直线MN的方程为4xmy=-，且1122m-，则1212223248,4141myyy ymm+=-，直线1MA的方程为1122yyxx=+，直线2NA的方程为2222yyxx=-，联立直线1MA与直线2NA的方程可得：2121121211212121222222266yxymymy yyyyxxyxymymy yy+-+=-=-112221122483216222141414148483664141mmmyymmmmmyymm-+-=-，由2123xx+=-可得=1x-，即1Px=-，据此可得点P在定直线=1x-上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线

42、方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.3（2022新高考卷高考真题第新高考卷高考真题第 21 题）题）已知点(2,1)A在双曲线2222:1(1)1xyCaaa-=-上，直线 l 交 C 于 P，Q 两点，直线,AP AQ的斜率之和为 0更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君(1)求 l 的斜率；(2)若tan2 2PAQ=，求PAQ的面积【答案】(1)1-；(2)16 29【分析】（1）由点(2,1)A在双曲线上可求出a，易知直线 l 的斜率存在，设:l ykxm=+，1122

43、,P x yQ xy，再根据0APAQkk+=，即可解出 l 的斜率；（2）根据直线,AP AQ的斜率之和为 0 可知直线,AP AQ的倾斜角互补，根据tan2 2PAQ=即可求出直线,AP AQ的斜率，再分别联立直线,AP AQ与双曲线方程求出点,P Q的坐标，即可得到直线PQ的方程以及PQ的长，由点到直线的距离公式求出点 A 到直线PQ的距离，即可得出PAQ的面积【详解】（1）因为点(2,1)A在双曲线2222:1(1)1xyCaaa-=-上，所以224111aa-=-，解得22a=，即双曲线22:12xCy-=易知直线 l 的斜率存在，设:l ykxm=+，1122,P x yQ xy，

44、联立2212ykxmxy=+-=可得，2221 24220kxmkxm-=，所以，2121222422,2121mkmxxx xkk+=-=-，222222164 22210120m kmkmk=-+-+且22 k所以由0APAQkk+=可得，212111022yyxx-+=-，即 122121210 xkxmxkxm-+-+-+-=，即121221 2410kx xmkxxm+-+-=，所以22222421 24102121mmkkmkmkk+-=-，化简得，2844410kkm k+-+=，即1210kkm+-+=，所以1k=-或12mk=-，当12mk=-时，直线:21l ykxmk x

45、=+=-+过点2,1A，与题意不符，舍去，更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君故1k=-（2）方法一：【最优解】常规转化方法一：【最优解】常规转化不妨设直线,PA AQ的倾斜角为,2a b ab，当,A B均在双曲线左支时，2PAQa=，所以tan22 2a=，即22 tantan20aa+-=，解得2tan2a=（负值舍去）此时 PA 与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；当,A B均在双曲线右支时，因为tan2 2PAQ=，所以tan2 2ba-=，即tan22 2a=-，即22 tantan20aa-=，解得tan2a=（负值舍去），于是，直线:221PA yx=-+，

46、直线:221QA yx=-+，联立2222112yxxy=-+-=可得，23224104 202xx+-+-=，因为方程有一个根为2，所以104 23Px-=，Py=4 253-，同理可得，104 23Qx+=，Qy=4 253-所以5:03PQ xy+-=，163PQ=，点A到直线PQ的距离52 12 2332d+-=，故PAQ的面积为1162 216 22339=方法二：方法二：设直线 AP 的倾斜角为a，02a的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为3yx=(1)求 C 的方程；(2)过 F 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点，点1122,P x yQ xy在 C 上，且121

47、0,0 xxy 过 P 且斜率为3-的直线与过 Q 且斜率为3的直线交于点 M.从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立：M 在AB上；PQAB；|MAMB=注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)2213yx-=(2)见解析【分析】（1）利用焦点坐标求得c的值，利用渐近线方程求得,a b的关系，进而利用,a b c的平方关系求得,a b的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB的斜率存在且不为零，设直线 AB 的斜率为 k,M(x0,y0),由|AM|=|BM|等价分析得到200283kxkyk+=-；由直线PM和QM的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点

48、间距离公式得到直线PQ 的斜率003xmy=，由/PQAB等价转化为003kyx=，由M在直线AB上等价于2002kykx=-，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.【详解】（1）右焦点为(2,0)F，2c=,渐近线方程为3yx=，3ba=，3ba=，222244caba=+=，1a=，3b=C 的方程为：2213yx-=；更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君（2）由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由推或选由推：由成立可知直线AB的斜率存在且不为零；若选推，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦

49、点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而12xx=，已知不符；总之，直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为2yk x=-,则条件M在AB上，等价于2000022yk xkykx=-=-；两渐近线的方程合并为2230 xy-=,联立消去 y 并化简整理得：22223440kxk xk-+=设3344,A xyB xy,线段中点为,NNN xy,则2342226,2233NNNxxkkxyk xkk+=-=-,设00,M xy,则条件AMBM=等价于222203030404xxyyxxyy-+-=-+-,移项并利用平方差公式整理得：3403434034220 xx

50、xxxyyyyy-+-+=，3403403434220yyxxxyyyxx-+-+=-,即000NNxxk yy-+-=,即200283kxkyk+=-；由题意知直线PM的斜率为3-,直线QM的斜率为3,由101020203,3yyxxyyxx-=-=-,1212032yyxxx-=-+-,所以直线PQ的斜率12012121232xxxyymxxxx+-=-,直线00:3PMyxxy=-+,即0033yyxx=+-,代入双曲线的方程22330 xy-=,即333xyxy+-=中，得：000032 333yxxyx+-+=,更多全科试卷及资料，请关注公众号：高中试卷君解得P的横坐标：100001