新高考知识点总结清单-2024届高三数学三轮复习.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 33 第一节第一节 集合集合与常用逻辑用语与常用逻辑用语 一、集合的含义与表示一、集合的含义与表示 1、集合中元素的性质：、.2、集合A、元素a的关系：aA 或 aA.3、常用数集符号：正整数集：；自然数集：；整数集：；有理数集：；实数集：.4、集合的表示方法：列举法、描述法（形式可具有多样性）、图示法（一种解题工具或方法，常用的有数轴和韦恩图）、区间法（可用于表示某些数集）.二、集合间的基本关系二、集合间的基本关系 1、集合A与集合B的关系子集：若xA，都有xB，则记为.规定：空集（）是任何集合的 .集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两

2、个集合相等.真子集：如果集合BA，但xB，且Ax，则记为，等价于BA 且 .空集（）是任何非空集合的.2、若集合A有(1)n n 个元素，则集合A的所有子集个数为，所有真子集的个数为，所有非空子集的个数为 ，所有非空真子集的个数为 .三、集合间的基本运算三、集合间的基本运算 1、交集：,x xAxB且，记作：，韦恩图：.2、并集：,x xAxB或，记作：，韦恩图：.3、补集：,x xUxA且，记作：，韦恩图：.四、四、充要条件的判断：充要条件的判断：pq，p是q的 条件，q是p的 条件；qp，p是q的 条件，q是p的 条件；pq，,p q互为 条件.若命题p对应集合A，命题q对应集合B，则pq

3、等价于 ，pq等价于.注意区分：注意区分：“甲是乙的充分条件（甲乙）”与“甲的充分条件是乙（乙甲）”；五、五、全称量词与存在量词：全称量词与存在量词：1、全称量词“所有的”、“任意一个”等，用表示；全称量词命题p：)(,xpMx；全称量词命题p的否定p：；2、存在量词-“存在一个”、“至少有一个”等，用表示；存在量词命题p：)(,xpMx；存在量词命题p的否定p：.新高考知识点总结清单-2024届高三数学三轮复习 学科网（北京）股份有限公司 第 2 页 共 33 第二节第二节 不等式不等式 一、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式一、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式 1、二次函数cbx

4、axy+=2（a0）的图象的对称轴方程是 ，顶点坐标是 ；判别式acb42=；0时，图象与x轴有 个交点；0=时，图象与x轴有 个交点；0 ；2、对称性：abba+；4、同向可加性：,ab cd ；5、可乘性:,0ab c ；,0ab c=；,0ab c ；7、正数的可乘方、可开放性：*0,abnN ，；8、倒数性：11,0abab ；11,0abab 0=0 的图象 一元二次方程的根20(0)axbxca+=的解集)0(02+acbxax 的解集)0(02，取等条件：当且仅当 时，等号成立）ab （,a bR，取等条件：当且仅当 时，等号成立）记忆口诀：一正二定三相等 口诀解读：正是前提，在

5、正的条件下才能使用基本不等式，因此使用前先看“,a b”是否满足大于 0；定是关键，构造出“和”或“积”为定值，或者利用已知的定值构造出所求形式，“积”定“和”最小，“和”定“积”最大；相等是要检验能否取得最值，尤其是用了两次不等式时，要看两次的取等条件是否一致.3、常用不等式链：4、应用基本不等式求最值：已知yx,都是正数，则有：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当=yx 时，和yx+有最小值 ；(2)如果和yx+是定值s，那么当且仅当=yx 时，积xy有最大值 .5、对勾函数()0,0byaxabx=+的图像，画出下列函数图象.第三节第三节 函数与导数函数与导数 一、函数的性质一、函数的

6、性质 1、单调性（1）增函数：定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,x x，当12xx时，都有 ，那么就说函数()f x在区间D上是增函数；减函数：定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,x x，当12xx()()12120f xf xxx()f x在区间D上是 函数；()()()12120 xxf xf x()()12120f xf xxx xf，则)(xf为 函数；0)(mNnma nma=；nma=.3、运算性质：(),0,a br sQ rsa a=；rsaa=；()sra=；()rab=.4、指数式与对数式的互化：xaN=(0,1,0)aaN 学科网（北京）股份有限

7、公司 第 5 页 共 33 5、几个重要的对数恒等式 log 1a=，logaa=，logbaa=，logaba=6、两种特殊对数：常用对数：，即10logN；自然对数：，即logeN（其中2.71828e=）7、对数的运算性质 如果0,1,0,0aaMN，那么：loglogaaMN+=；loglogaaMN=；lognaM=()nR；换底公式：logab=(01,b0,01)aacc且且，推论：loglogabba=，即logab=；logmnab=三、基本初等函数三、基本初等函数 1、指数函数及其性质 定义 函数 (0a 且1)a 叫做指数函数 图象 1a 01a且1)a 叫做对数函数 图

8、象 1a 01a）（1）图象的平移:()yf x=()yf xa=+；()yf x=()yf xa=+；（2）图象的伸缩()yf x=()yf ax=；学科网（北京）股份有限公司 第 7 页 共 33 （3）图象的翻折：()yf x=()yf x=；()yf x=()yfx=；（4）图象的对称：()yf x=()yfx=；()yf x=()yf x=；()yf x=()yfx=；y xxya=关于对称 .六、六、导数导数 1、平均变化率：()yf x=从1x到2x的平均变化率定义式：()()2121f xf xxx.2、导数（瞬时变化率）（1）定义式：()00|x xfxy=()()000li

9、mxf xxf xx+，（2）几何意义：.曲线的切线方程：曲线的切线方程：函数)(xfy=在点0 x处的导数是曲线)(xfy=在)(,(00 xfxP处的切线的斜率为 ，相应的切线方程是 .练习：求函数xye=在0 x=处的切线方程 ，所以1xex+，可用于放缩证明不等式；求函数lnyx=在1x=处的切线方程 ，所以ln1xx，可用于放缩证明不等式 3、基本初等函数的导数公式 原函数 yc=nyx=sinyx=cosyx=xya=xye=logayx=lnyx=导函数 4、导数的运算法则()()f xg x=，()()f xg x=，()c f x=，()()f xg x=5、复合函数的求导公

10、式（1）定义：一般形式()()yf g x=，可分解为()yf u=和()ug x=，（2）求导法则：xy=6、导数与函数的单调性：在某区间,a b上，()0fx（()0fx）是()f x在,a b上单调递增（减）的 条件，在某区间,a b上，()0fx（()0fx）是()f x在,a b上单调递增（减）的 条件（填：“充要”、“充分不必要”、“必要不充分或既不充分也不必要”）；即：在某区间,a b上，()f x在,a b上单调递增在某区间,a b上，导函数()fx的正负可以反映原函数()yf x=的增减，()fx的大小还能体现原函数()yf x=的变化快 学科网（北京）股份有限公司 第 8

11、页 共 33 慢，()fx的值从 到 ，则()yf x=的图象从“平缓”到“陡峭”（反之同理）7、导数与函数的极值：（注意：注意：函数的极值点不是 ）()00fx=，且0 x左边()0fx，则0 x是()yf x=的 ，()0f x是()yf x=的 ；()00fx=，且0 x左边()0fx，0 x右边()0fx 的图象及性质：（1）五点作图法（列表，描点),(yx，连线）x+0 2 23 2 x ()sinyAxB=+（2）函数()sinyAxB=+()0,0A的性质：xR时，最值：()sinyAxB=+的最大值为 ，最小值为 ；周期性：最小正周期T=（指的是 x 的 ）；奇偶性：0B=时，

12、当=时，()sinyAx=+为奇函数；当=时，()sinyAx=+为偶函数；单调性：求()sinyAxB=+的单调增区间，将x+代入正弦函数的单调增区间，即：x+()kZ，解出的x的区间就是函数的()sinyAxB=+的单调增区间；学科网（北京）股份有限公司 第 11 页 共 33 求()sinyAxB=+的单调减区间，将x+代入正弦函数的单调减区间，即：x+()kZ，解出的x的区间就是函数的()sinyAxB=+的单调减区间；注意：注意：若0,0A，乘以负数单调性相反，求单调区间时，反着代入.对称性：求()sinyAxB=+的对称轴，令x+=解出x，则对称轴为 ；求()sinyAxB=+的对

13、称中心，令x+=解出x，则对称中心为 .4、三角函数的图像平移伸缩变换：左右平移（左加右减）：由sinyx=得到()sinyx=+是向左（或右）平移了 个单位；将sinyx=向右平移m个单位得 ；横坐标伸缩：由sinyx=得到sinyx=是横坐标伸长（或缩短）为原来的 倍；将()sinyx=+横坐标伸长（或缩短）为原来的倍得 ；纵坐标伸缩：由()sinyx=+得到()sinyAx=+是纵坐标伸长（或缩短）为原来的 倍；上下平移（上加下减）：由()sinyAx=+得到()sinyAxB=+是向上（或向下）平移 个单位；五、解三角形五、解三角形 1、正弦定理：（其中R为ABC的 圆半径，几何中有时

14、也用到正弦定理）.变形：边化正弦：a=，b=，c=；正弦化边：sin A=，sin B=，sinC=；2sinsinsinsinsinsinsinsinabcababcRABCABABC+=+2、余弦定理：2a=，常见变形：()22abc=+,余弦定理的推论：cos A=.3、面积公式：S=.4、诱导公式在三角形中的应用（利用内角和ABC+=和诱导公式）：()sin AB+=()sinsinCC=，()cos AB+=，()tan AB+=，sin2AB+=，cos2AB+=.5、正弦定理可用于解已知什么条件的三角形：已知两角及任意一边；（已知两角等价于已知三个角，利用内角和为 180）已知两

15、边及一边的对角；余弦定理可用于解已知什么条件的三角形：学科网（北京）股份有限公司 第 12 页 共 33 已知三条边；已知两边及其夹角；已知两边及一边的对角；（由可知已知两边及任意一角都可以用余弦定理来解三角形，先求出第三边，用哪个余弦定理是由已知的角决定的）第五节第五节 向量向量 一、向量的概念一、向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量，用有向线段表示，记作：或 （其中 A 为起点，B 为终点）；表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模，记作：或 .2、两个特殊的向量：零向量：长度为 ，方向任意的向量，记作：；单位向量：长度为 ，任意方向上都有单位向量，与a同向的单位向量为 .3、平行向量

16、（共线向量）：方向 或者 的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。规定：与所有向量平行.平面向量共线定理：0b 时，a b 存在唯一实数，使得 .,A B C三点共线，则向量,AB AC 满足 ；OAxOByOC=+，则,A B C三点共线 （填,x y满足的关系）4、向量的夹角：相同的两个非零向量所成的角，,a b 的夹角记为,a b，取值范围是 .,a b 锐角0a b 且,a b 不平行；,a b 为直角0a b=；,a b 钝角0a b c且1 c），转化为数列 为等比数列.五五、数列求和的方法：、数列求和的方法：1、公式法：等差数列或等比数列的和.2、等差数列 na的前n项和为nS

17、，数列na的前n项和为nT na前k项为非负，第1+k项开始为负，则+=+=1,knknTn（用nS形式表示）na前k项为负，第1+k项开始为非负，则+=+=1,knknTn（用nS形式表示）学科网（北京）股份有限公司 第 17 页 共 33 3、分组转化法求和：一般地，通项公式是由若干个等差或等比数列或可求和的数列组成，常见分组：按等差、等比来分组；按正负号分组；相邻两项或几项为一组.4、错位相减法求和：数列的通项nnncab=（na，nb分别为 ，数列），求数列 nc的前n项和用错位相减法。5、裂项相消法求和：数列 na的通项如下列形式时（还有些没列出，以下为常见的），求数列 na的前n项

18、和nS用裂项相消法.()2111nnn n=+；()211nknn nk=+；2141n=；11nn=+；1nkn=+；第八节第八节 立体几何立体几何 一、几何体的表面积一、几何体的表面积与与体积体积 1.斜二测画法：原图形与直观图面积的关系：2、多面体的表面积：各个面的面积之和.3、圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱（底面半径为r，母线为l）圆锥（底面半径为r，母线为l）圆台（上底面半径为 r1，下底面半径为 r2，母线为l）几何体的直观图及侧面展开图 侧面面积 表面积 4、柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积V=柱 ；5、锥体的底面积为S，高为h，则锥体的体积V=锥 ；6、台体的上底面积为S

19、上，下底面积为S下，高为h，则台体的体积V=台 ；7、球的半径为R，则球的表面积为 ,球的体积为 .学科网（北京）股份有限公司 第 18 页 共 33 二、常见几何体的外接球、内切球二、常见几何体的外接球、内切球 1、长方体：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为cba,，则体对角线长为=l ，长方体的外接球球心为体对角线的 ，长方体的外接球半径R=.2、正方体：正方体的棱长为a，正方体的外接球球心、内切球球心、棱切球球心都为体对角线的中点，其外接球半径=R ；正方体的内切球半径=r ；正方体的棱切球半径=r .3、正四面体：正四面体的棱长为a，则正四面体的高=PE ，正四面体的外接球球心、内

20、切球球心、棱切球球心都为高线上靠近底面的 等分点，其外接球的半径R=；其内切球半径r=；正四面体的棱切球半径r=.如左图：OP为外接球半径，OE为内切球半径，OF为棱切球半径.4、正棱锥的外接球（可视为补形为圆锥）方法：（如右图）正棱锥的外接球球心O一定在高线PQ上，求出底面的中心Q到底面顶点的距离CQ和高PQ，设外接球的半径为R，则OPOCR=，OQPQR=，在Rt OCQ中，利用勾股定理()222RPQRCQ=+解出外接球半径R=.5、当几何体存在存在内切球时，内切球半径r满足：r=（其中V为几何体的体积，S表为几何体的表面积），由来：利用等体积法，将几何体分割为多个三棱锥，每个三棱锥的高

21、都是内切球半径r.三三、平面几何证明平行、垂直的常见方法：、平面几何证明平行、垂直的常见方法：1、证明“线线”的常用方法：中位线定理，构造平行四边形，平行线分线段成比例定理.2、证明“线线”的常用方法：等腰三角形三线合一，勾股定理及其逆定理，菱形的对角线相互垂直，在圆中直径所对的圆周角为 90.四四、立体几何网络图、立体几何网络图 线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直 学科网（北京）股份有限公司 第 19 页 共 33 定理名称 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内一条直线平行，那么该直线与此平面平行.线面平行 性质定理 一条直线

22、与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.面面平行 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.面面平行 定义 如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.面面平行 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.线面垂直 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.线面垂直 定义 如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线与此平面内任意一条直线垂直.面面垂直 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.面面垂直 性质定理 两个平面垂直，如果

23、一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.线面垂直 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.学科网（北京）股份有限公司 第 20 页 共 33 补充：三垂线定理及其逆定理 1、三垂线定理：在平面（）内的一条直线（l），如果和这个平面的一条斜线（OP）的射影（OA）垂直，那么它（l）也和这条斜线（OP）垂直。2、三垂定理的逆定理：在平面（）内的一条直线（l），如果和这个平面的一条斜线（OP）垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影（OA）垂直。六六、向量法证明平行、垂直问题（利用图像找关系）、向量法证明平行、垂直问题（利用图像找关系）1、直线,a b的方向向量分别为

24、()()111222,=ax y zbxyz，要证直线a与直线b平行，只需证 ；要证直线a与直线b垂直，只需证 ；2、直线a的方向向量分别为()111,=ax y z，平面的法向量为()222,=nxyz，要证直线a与平面平行，只需证 ，再说明 ；要证直线a与平面垂直，只需证 ；3、平面,的法向量分别为()()111222,mx y znxyz=，要证平面与平面平行，只需证 ；要证平面与平面垂直，只需证 .七七、立体几何中的夹角问题、立体几何中的夹角问题 向量求夹角公式：()()111222,=ax y zbxyz cos,a ba bab=1、异面直线,a b所成角，范围：（1）几何法：过空

25、间任意一点引两条直线,a b分别平行于两条异面直线,a b，直线,a b所成的锐角(或直角)就是异面直线所成的角。（步骤：一作二证三计算）（2）向量法：异面直线,a b的方向向量分别为,a b，异面直线所成角满足 =cos,a b.2、直线a与平面所成角，范围：（1）几何法：如下图，平面的一条斜线（PA）和它在平面内的射影（PB）所成的锐角（APB）叫这条斜线（PA）和这个平面（）所成的角（步骤：一作二证三计算）PAB写出三垂线定理证明过程：l 学科网（北京）股份有限公司 第 21 页 共 33 （2）向量法：直线a的方向向量分别为a，平面的法向量为n，（3）直线与平面所成角满足 =cos,a

26、 b.3、二面角l 的大小，范围：（1）几何法：如图，过二面角的棱l上任意一点O，在两个半平面,内 分别作垂直于棱l的射线,OA OB，则AOB就是二面角l 的平面角.（步骤：一作二证三计算）（2）向量法：平面,的法向量分别为,m n，二面角的平面角满足 =cos,a b.（由图确定是锐角还是钝角，从而得到cos的正负）.注：平面与平面夹角的范围为0,2，余弦值没有负值.八八、立体几何中的点到平面的距离问题、立体几何中的点到平面的距离问题 1、直接作出点到平面的垂线段，求出其长度.2、等体积法：点到平面的距离可以看成三棱锥的高，利用等体积法可求得.3、向量法：设点A到平面的距离d，点A和平面内

27、任意一点B有向量AB，平面的法向量为n，则d=.（可利用线面角来推导点到面的距离）第九节第九节 解析几何解析几何 一、直线一、直线 1、直线的倾斜角的定义：当直线与x轴相交时，直线的 方向与x轴 方向之间所成的角叫做直线的倾斜角；并规定：当直线与x轴平行或重合时，它的倾斜角为 .倾斜角的范围：.2、直线的斜率（1）定义式：k=；（斜率k与倾斜角的关系，90），结合正切图像来看.时，0k；时，0k）圆与圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图形 公共点的个数 d，R，r的关系 公切线条数 学科网（北京）股份有限公司 第 24 页 共 33 三、三、椭圆椭圆 1、定义：平面内到两定点12,F

28、 F的距离的 等于常数（12FF）的点的轨迹为椭圆，其中两定点12,F F叫做椭圆的 ，两个焦点之间的距离叫做 .椭圆上任意一点P满足定义式：.2、标准方程和几何性质 标准方程 图形 几何性质 对称性 关于 、对称,x y的范围 顶点坐标 长轴、短轴 长轴长：，短轴长：焦点坐标 焦距 通径 过焦点且垂直于长轴的弦称为通径，通径长度为 （最短焦点弦）离心率 e=，范围：e ；椭圆越扁，则e越 .,a b c的关系及几何意义 （几何意义：a为长半轴长，b为短半轴长，c为半焦距）3、焦点三角形：椭圆上的点P与两个焦点12,F F形成的12PFF称为焦点三角形，焦点三角形的周长：1 2PF FC=，焦

29、点三角形的面积：1 2PF FS=（其中为12FPF）.4、ABC的一边AB过椭圆的一个焦点，且点,A B都在椭圆上，顶点C为椭圆的另一个焦点，则ABC的周长为 .学科网（北京）股份有限公司 第 25 页 共 33 四、四、双曲线双曲线 1、定义：平面内到两定点12,F F的距离的 等于常数（12FF）的点的轨迹为双曲线，其中两定点12,F F叫做双曲线的 ，两个焦点之间的距离叫做 .双曲线上任意一点P满足定义式：.注意：如没有注意：如没有绝对值绝对值，则轨迹只是双曲线的，则轨迹只是双曲线的 .2、标准方程和几何性质 标准方程 图形 几何性质 对称性 关于 、对称,x y的范围 顶点坐标 虚轴

30、端点 实轴、虚轴、焦距 实轴长：，虚轴长：，焦距 .焦点坐标 渐近线方程 通径 过焦点且垂直于长轴的弦称为通径，通径长度为 离心率 e=，范围：e ,a b c的关系 （几何意义：a为实半轴长，b为虚半轴长，c为半焦距）3、焦点到渐近线的距离为 ；4、焦点三角形的面积：1 2PF FS=（其中为12FPF）；5、等轴双曲线中,a b的关系为：，渐近线方程为：，离心率为e=；6、22221xyab=()0,0ab与 互为共轭双曲线，渐近线 ，焦距 .学科网（北京）股份有限公司 第 26 页 共 33 五、五、抛物线抛物线 1、定义：平面内到定点F的距离与到定直线（直线不过定点）的距离 的点的轨迹

31、为抛物线，其中定点F叫做抛物线的 ，定直线叫做抛物线的 ，焦点到准线的距离称为 （用 表示）.抛物线上任意一点P满足定义式：.2、标准方程和几何性质 标准方程 图形 几何性质 对称性 关于 对称 关于 对称,x y的范围 顶点坐标 焦点坐标 准线方程 焦半径公式 PF=PF=PF=PF=焦点弦公式 AB=AB=AB=AB=通径 过焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，通径长度为 3、过焦点F与抛物线22ypx=()0p 交于()11,A x y，()22,B xy两点，则12x x=，12y y=，AB=（其中直线AB的倾斜角为），11FAFB+=六、六、弦弦 1、有关弦长问题，应注意运用弦长公式及

32、韦达定理来解决；（注意斜率是否存在）直线与椭圆（或双曲线、抛物线）交于()11,A x y、()22,B xy两点，直线斜率不存在时，AB=；斜率存在时，设斜率为k，则弦长为（利用1212yykxx=的变形式来转化两点间的距离即弦长）：学科网（北京）股份有限公司 第 27 页 共 33 AB=2、点差法：主要适用中点问题，设而不求，化简依据：012122100210,22ABOPyxxyyyyxykkxxx+=做题过程：设点、作差、求斜率，椭圆、双曲线、抛物线都可以用.椭圆：22221xyab+=()0ab，弦AB的中点为P，O为坐标原点，则ABOPkk=；椭圆：22221yxab+=()0a

33、b，弦 AB 的中点为 P，O 为坐标原点，则ABOPkk=；双曲线：22221xyab=()0,0ab，弦 AB 的中点为 P，O 为坐标原点，则ABOPkk=；双曲线：22221yxab=()0,0ab，弦 AB 的中点为 P，O 为坐标原点，则ABOPkk=；抛物线：22ypx=()0p，弦 AB 的中点为 P()00,xy，O 为坐标原点，则ABk=；抛物线：22ypx=()0p，弦 AB 的中点为 P()00,xy，O 为坐标原点，则ABk=；抛物线：22xpy=()0p，弦 AB 的中点为 P()00,xy，O 为坐标原点，则ABk=；抛物线：22xpy=()0p，弦 AB 的中点

34、为 P()00,xy，O 为坐标原点，则ABk=.第十节第十节 计数原理计数原理 一、计数原理、排列组合一、计数原理、排列组合 1、分类加法计数原理：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有1m种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第n类方案中有nm种不同的方法那么完成这件事共有N=种不同的方法 2、分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有1m种不同的方法，做第2步有2m种不同的方法做第n步有nm种不同的方法.那么完成这件事共有 N=种不同的方法.3、排列数公式：nnA=；mnA=（m n,m、nN*），规定0!1=；5组合数公式：=mnC =（n，mN，且

35、mn）；6.组合数性质：=mnC ；=+1mnmnCC 二、二项式定理二、二项式定理 1、二项展开式：()nab+=学科网（北京）股份有限公司 第 28 页 共 33 特点：()nab+的二项展开式共有 项，从第 1 项到第1n+项，a的次方数从n到 0 依次降次，b的次方数从 0 到n依次升次，a和b的次方数之和始终为n.特别的：()1nx+=()1nx=2、二项展开式的通项公式（第 项）：1kT+=()0,1,2,.,kn=.3、二项式系数：()0,1,2,.,knCkn=叫做二项式系数；（1）()nab+展开式的各二项式系数的和：012.knnnnnnCCCCC+=；()nab+展开式的

36、奇数项（或偶数项）的二项式系数的和：024135.nnnnnnCCCCCC+=+=；（2）二项式系数最大：n为偶数，则第 项的二项式系数 最大，n为奇数，则第 项和第 项的二项式系数 =同时最大.4、系数（1）注意区分二项式系数二项式系数与系数系数，例如：()712x+的第 4 项为()337 3333 177128TCxCx+=，第 4 项的二项式系数为3735C=，系数为37835 8280C =.（2）()nab+展开式的各项系数和：令变量等于 ；()nab+展开式的奇数项（或偶数项）的系数和：令变量等于 和 ，得到两个方程，联立求解；()nab+展开式的各项系数的绝对值的和与 展开式的

37、各项系数和相等；（3）系数最大：利用通项求出系数的通项表达式()f k，利用不等式组()()()()11f kf kf kf k+解出()*k kN，则()f k为系数最大值.第十一节第十一节 概率与统计概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：一组数据中，出现次数 的数；极差：最 值减最 值 2、中位数：从大到小或从小到大排列，最中间的那个数或最中间两个数的 ；3、平均数：常规平均数：x=，4、方差：2s=，刻画了数据与均值的平均偏离程度，也体现数据的集中分散程度，方差越小，数据越 ；方差越大，数据越 .标准差：s=；5、线性性质：当12

38、,.,nx xx的均值为x，方差为2s，标准差为s，学科网（北京）股份有限公司 第 29 页 共 33 则12,.,naxb axbaxb+的均值为 ，方差为 ，标准差为 .二、频率直方分布图中的频率二、频率直方分布图中的频率 1、频率：频率分布直方图中的矩形面积表示该组的 ,即：fSh=组距；频率频数/样本容量.2、频率之和：12nfff+=，即 12nSSS+=.三、频率直方分布图中的众数、平均数、中位数及方差（频率分布直方图的矩形中点为三、频率直方分布图中的众数、平均数、中位数及方差（频率分布直方图的矩形中点为 x1,x2,.,xn）1、众数：最 小矩形 ；2、平均数：x=（其中12,.

39、,nS SS为矩形面积，也是频率）;3、中位数：从左到右累加，面积等于 时x的值；4、第p百分位数：从左到右累加，面积等于 时x的值；5、方差：221()niiisxxS=（其中12,.,nS SS为矩形面积，也是频率）.四、经验回归直线方程：四、经验回归直线方程：ybxa=+其中：b=,aybx=b的两个公式中的分子、分母对应也相等，可以推导得到.（用这个公式求经验回归直线的方法叫最小二乘法）1、经验回归直线必过样本点的中心 ；2、,a b的几何意义：线性回归直线方程ybxa=+中，b为直线的 ，a为直线 ；3、0b 相关；0b：相关，0r：相关，r与b的符号 ；r的大小反映两个随机变量之间

40、的线性相关性的强弱，r越 ，则线性相关性越强.0.75r，线性相关性很强.2、残差：iiieyy=（残差观测值预测值），分析：ie越 ，预报越精准；3、残差平方和：222211221()()()()niinniyyyyyyyy=+分析：残差平方和越 ，拟合效果越好；残差平方和越 ，拟合效果越差.4、残差图：是指以残差为纵坐标，以其适宜的量为横坐标的散点图.分析：残差图中的点比较均匀的落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适.带状区域越 ，说明模 学科网（北京）股份有限公司 第 30 页 共 33 型拟合精度越高，拟合效果越好.5、决定系数（相关指数）：22121()1()niiiniiyyR

41、yy=，分析：范围：2R ，2R越 ，则残差平方和越小，模型效果越好.六、独立性检验六、独立性检验 1、22 列联表（填表）2、独立性检验公式 22()()()()()n adbcab cd ac bd=+临界值对照表（第一行为概率，第二行为临界值）3、独立性检验步骤 第一步：零假设为0H：X与Y ；第二步：计算2：22()()()()()n adbcab cd ac bd=+；第三步：对照小概率值查找临界值x：用2与x比较下结论：x2时的回答：根据小概率值的独立性检验，我们推断0H ，即认为X与Y ，此推断犯错误的概率不超过 ；x），X服从参数为,的正态分布，记作 ，其中为 ，2为 ，为 .

42、2、正态曲线的性质.（1）曲线在x轴 ，与x轴不相交，x轴为渐近线，向x轴无限的靠近；（2）曲线是单峰的，它关于直线 对称；（3）当=x时曲线处于最高点，峰值为 ，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线；（4）曲线与x轴所围成的面积为 ；（5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移.如何判断两个正态分布的的大小关系：，说明越大；（6）当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“”，表示总体的分布越 ；越小，曲线越“”，表示总体的分布越 .学科网（北京）股份有限公司 第 33 页 共 33 3、三个重要的概率：()0.6827PX+=，()220.9545PX+=，()330.9973PX+=4、3原则：可以看到，正态总体几乎总取值于区间()3,3+之内，而在此区间以外取值的概率只有 ，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布()2,N 的随机变量X只取()3,3+之间的值，并简称之为3原则.