三角恒等变换及应用--2025年新高考数学一轮复习含答案.pdf

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1、1三角恒等变换及应用(八大题型)三角恒等变换及应用(八大题型)目录：0101 两角和与差的三角函数0202 二倍角公式0303 半角公式0404 辅助角公式及应用0505 降幂公式0606 万能公式0707 积化和差与和差化积公式0808 三角恒等变换的应用0101 两角和与差的三角函数1(23-24高三上广东肇庆阶段练习)cos50cos70+sin50cos160=()A.-32B.32C.-12D.122(2023福建厦门模拟预测)已知sin+sin+23=sin3-，则sin=()A.0B.217C.22D.323(23-24高三上广东江门阶段练习)如图，是九个相同的正方形拼接而成的九

2、宫格中的两个角，则+=()A.6B.4C.3D.5124(2023四川宜宾二模)已知tan=13,tan=12，则tan(-)=()A.1B.43C.17D.765(2024广西模拟预测)已知 0,，若3 sin+sin2+cos-cos2=0，则sin+12=()三角恒等变换及应用-2025年新高考数学一轮复习2A.22B.32C.6+24D.6-240202 二倍角公式6(21-22高三上陕西汉中阶段练习)已知sin2x=sinx，x 0,，则cosx=()A.0B.2C.0.5D.0或27(20-21高三上吉林松原期末)若cos4+=12，则sin2=()A.-12B.-32C.12D.

3、328(23-24高三上福建宁德期中)已知是第一象限角，cos=2 55，则cos2-cossin=()A.-135B.-75C.135D.1109(2024江西模拟预测)若tan+4=3，则sin2+cos2=()A.85B.1C.65D.4310(2024辽宁一模)若tan2=43，则2+2cos2-3sin21-cos2=()A.-12或2B.-2或12C.2D.-1211(2024全国模拟预测)已知tancos4-cos4+=0，0,2，则sin24cos2+sin2=()A.2 3-2B.4 2-3C.2 2D.3-2 20303 半角公式12(2024全国模拟预测)已知角是第二象限

4、角，且终边经过点-3,4，则tan2=()A.3B.12C.2D.12或213(23-24高三下云南阶段练习)已知角的终边经过点P14,-154，则2cos22+sin=()A.5-154B.-15-54C.5+154D.15-5414(2023全国高考真题)已知为锐角，cos=1+54，则sin2=()A.3-58B.-1+58C.3-54D.-1+5415(22-23高三上河北石家庄期末)已知1+cossin=33，则tan2=.30404 辅助角公式及应用16(23-24高三下四川绵阳阶段练习)已知x 0,4,sinx+cosx=3 55，则tan x-34=17(2024新疆喀什二模)

5、已知函数 f x=sin x-cosx，其中00)，若存在x10,，使得 f(x1)=-2，则的最小值为.0505 降幂公式20(2022云南模拟预测)sin80+1sin25-1=()A.-22B.22C.-2D.221(22-23高三下安徽开学考试)已知sin+2cos22=54，则sin2=()A.-1516B.1516C.-34D.3422(2021四川巴中模拟预测)已知1-cos2+sin21+cos2+sin2=2，则tan=()A.1B.2C.3D.223(22-23高三上广西柳州阶段练习)已知的数 f(x)=2cos2x2-5(0)，若对任意的实数t，f(x)在区间(t,t+6

6、)上的值域均为-5,-3，则的取值范围为()A.0,3B.6,+C.3,+D.3,+0606 万能公式24(20-21高一下陕西西安期末)若tan=3，则sin2=()A.35B.-35C.-34D.3425(2022全国模拟预测)已知第二象限角满足tantan+4=23，则cos2=()A.-45B.45C.35D.-3526(2021河北邯郸一模)已知2sin-=3sin2+，则sin2-12sin2-cos2=()A.513B.-113C.-513D.11340707 积化和差与和差化积公式27(2021高三全国专题练习)求cos8+cos38-2sin4cos8的值；28(22-23高

7、三上广东汕头期末)设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=bcosA-acosB(1)求证：B=2A；(2)求b+ca的取值范围0808 三角恒等变换的应用29(2024山东二模)已知函数 f x=3sin2x-cos2x，则下列结论正确的是()A.函数 f x的最大值是3B.函数 f x在-6,3上单调递增C.该函数的最小正周期是2D.该函数向左平移6个单位后图象关于原点对称30(2024四川模拟预测)已知函数 f x=sinx+2cos2x2(0)在 0,上有且仅有4个零点则 f x图象的一条对称轴可能的直线方程为()A.x=20B.x=10C.x=-320D.

8、x=51431(22-23高三上宁夏银川阶段练习)已知函数 f x=sin4x-cos4x+2 3sinxcosx-12xR R.(1)求 f x的最小正周期和单调递减区间；(2)若-2,2，且 f2+12=12，求cos 2+4的值.32(2024高三下全国专题练习)已知函数 f x=2sinxcosx-a sin2x-cos2x，若 f-x=f x-56，则直线24x-9y-8=0与 f x的图象的交点个数为()A.3B.4C.5D.6533(23-24高三下浙江宁波阶段练习)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sin A-BcosC=cosBsin A-C.(1)判断ABC的

9、形状；(2)若ABC为锐角三角形，sinA=1b，求2a2+12b+12c的最大值.一、单选题一、单选题1(2024福建厦门三模)已知 0,4，sin2=35，则sin+4=()A.525B.55C.2 55D.452(2024河北保定二模)已知tan=3cossin+11，则cos2=()A.-78B.78C.79D.-793(2024贵州模拟预测)已知2,，25cos2-10sin-1=0，则tan2=()A.3B.43C.34D.134(2024河南二模)已知sinx+cosx=13，则cos 2x-2=()A.-35B.35C.89D.-895(2024全国模拟预测)在平面直角坐标系x

10、Oy中，已知P,Q是单位圆上不同的两点，其中P在第一象限，Q在第二象限，直线OP,OQ的倾斜角分别为,，若点P,Q的横坐标分别为35,-12，则sin-=()A.4 3-310B.4 3+310C.3 3-410D.3 3+41066(2024江苏扬州模拟预测)若-44，且cossin=12，tantan=23，则cos-=()A.116B.-116C.356D.-3567(2024全国三模)当0 x0恒成立，则的取值范围为()A.12,512B.6,56C.6,3D.3,56二、多选题二、多选题9(2023全国模拟预测)若tan=34，(0,)，则()A.sincosB.0tan0)，下列判

11、断正确的是()A.若 f x1=f x2=0，且 x1-x2min=2，则=2B.=1时，直线x=6为 f x图象的一条对称轴C.=1时，将 f x的图象向左平移3个单位长度后得到的图象关于原点对称D.若 f x在 0,2上恰有9个零点，则的取值范围为5324,5924三、填空题三、填空题12(2024全国二模)已知tan=6cos7-sin，则cos2=.13(2024湖北三模)设函数 f(x)=sin(x+)+cos(x+)对任意的x(xR)均满足 f(-x)=f(x)，则tan=14(2024全国模拟预测)已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sinA2=3b-c

12、4b，则ab的取值范围是.7四、解答题四、解答题15(2024黑龙江二模)已知向量m=3sinx2,sinx2+cosx2，n=2cosx2,sinx2-cosx2，且函数f x=mn-a在xR R上的最大值为2-3(1)求常数a的值；(2)求函数 f x的单调递减区间16(2024江苏南京模拟预测)已知在ABC中，三边a,b,c所对的角分别为A,B,C，已知a cosA+cosBcosC=3bsinAcosC(1)求C；(2)若a=2,ABC外接圆的直径为4，求ABC的面积817(2023河南洛阳模拟预测)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且b=-2acosC(1)证明：t

13、anC+3tanA=0；(2)若ABC的面积为2 3,b=2 2，判断ABC是否为等腰三角形，并说明理由18(2024江苏苏州模拟预测)已知函数 f(x)=2sin2x+3sinxcosx+cos2x+4+a(1)若xR R，求函数 f(x)的单调递减区间；(2)当x 0,2时函数 f(x)的最小值为2，求实数a的值919(2024安徽二模)在平面直角坐标系xOy中，利用公式x=ax+byy=cx+dy(其中a，b，c，d为常数)，将点P x,y变换为点P x,y的坐标，我们称该变换为线性变换，也称为坐标变换公式，该变换公式可由a，b，c，d组成的正方形数表abcd唯一确定，我们将abcd称为

14、二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A，B，表示(1)在平面直角坐标系xOy中，将点P 3,4绕原点O按逆时针旋转3得到点P(到原点距离不变)，求点P的坐标；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，将点P x,y绕原点O按逆时针旋转角得到点P x,y(到原点距离不变)，求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；(3)向量OP=x,y(称为行向量形式)，也可以写成xy，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式可以表示为：xy=abcdxy，则称xy是二阶矩阵abcd与向量xy的乘积，设A是一个二阶矩阵，m，n是平面上的任意两个向量，求证：A m+n=Am+An1三角恒等变换及应用三角恒等变换及应用(八大题型八

15、大题型)目录：0101 两角和与差的三角函数0202 二倍角公式0303 半角公式0404 辅助角公式及应用0505 降幂公式0606 万能公式0707 积化和差与和差化积公式0808 三角恒等变换的应用0101 两角和与差的三角函数1(23-24高三上广东肇庆阶段练习)cos50cos70+sin50cos160=()A.-32B.32C.-12D.12【答案】C【分析】利用三角函数的诱导公式与和差公式即可得解.【解析】cos50cos70+sin50cos160=cos50cos70+sin50cos 90+70=cos50cos70-sin50sin70=cos 50+70=cos120

16、=-12.故选：C.2(2023福建厦门模拟预测)已知sin+sin+23=sin3-，则sin=()A.0B.217C.22D.32【答案】A【分析】利用两角和差的正弦公式将题给条件化简，得到关于sin的方程，解之即可求得sin的值.【解析】sin+sin+23=sin+-12sin+32cos=12sin+32cos，sin3-=32cos-12sin，又sin+sin+23=sin3-，则12sin+32cos=32cos-12sin，则sin=02故选：A3(23-24高三上广东江门阶段练习)如图，是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则+=()A.6B.4C.3D.512【答

17、案】B【分析】求出,的正切值，即可得出+的正切值，进而求出+的度数.【解析】由题意及图得，tan=13，tan=12，tan(+)=tan+tan1-tan+tan=12+131-1213=1 0,2，0,2，+=4故选：B.4(2023四川宜宾二模)已知tan=13,tan=12，则tan(-)=()A.1B.43C.17D.76【答案】C【分析】根据正切的和差角公式即可代入求解.【解析】tan(-)=tan-tan1+tantan=12-131+1213=17，故选：C5(2024广西模拟预测)已知 0,，若3 sin+sin2+cos-cos2=0，则sin+12=()A.22B.32C

18、.6+24D.6-24【答案】A【分析】利用正弦两角和公式和正弦函数的性质求出，代入即可求解.【解析】因为3 sin+sin2+cos-cos2=0，所以32sin+12cos=12cos2-32sin2，所以sin+6=sin6-2，所以+6=6-2+2k，kZ或+6+6-2=2k+，kZ，3又 0,，所以=23，所以sin+12=sin23+12=sin34=22，故选：A0202 二倍角公式6(21-22高三上陕西汉中阶段练习)已知sin2x=sinx，x 0,，则cosx=()A.0B.2C.0.5D.0或2【答案】C【分析】由正弦的二倍角公式求解即可.【解析】因为x 0,，所以sin

19、x0，所以由sin2x=2sinxcosx=sinx得cosx=12，故选：C7(20-21高三上吉林松原期末)若cos4+=12，则sin2=()A.-12B.-32C.12D.32【答案】C【分析】利用和角的余弦公式展开，再平方即得解.【解析】解：由题得22cos-22sin=12,cos-sin=22，两边平方得1-sin2=12,sin2=12.故选：C8(23-24高三上福建宁德期中)已知是第一象限角，cos=2 55，则cos2-cossin=()A.-135B.-75C.135D.110【答案】B【分析】由同角三角函数关系式及二倍角公式化简求值.【解析】因为是第一象限角，cos=

20、2 55，所以sin=1-cos2=1-2 552=55，所以cos2-cossin=2cos2-1-cossin=22 552-1-2 5555=-75，故选：B.9(2024江西模拟预测)若tan+4=3，则sin2+cos2=()A.85B.1C.65D.43【答案】A【分析】根据两角和的正切公式求出tan，再由二倍角公式公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.4【解析】因为tan+4=tan+tan41-tantan4=tan+11-tan=3，即tan=12，则sin2+cos2=2sincos+cos2sin2+cos2=2tan+1tan2+1=212+1122+1

21、=85故选：A10(2024辽宁一模)若tan2=43，则2+2cos2-3sin21-cos2=()A.-12或2B.-2或12C.2D.-12【答案】C【分析】根据已知条件，利用正切的二倍角公式求出tan，再利用正余弦二倍角公式和同角三角函数的商数关系化简要求值的式子，带值计算即可得到答案.【解析】tan2=432tan1-tan2=43tan=12或-2，2+2cos2-3sin21-cos2=2+2 2cos2-1-6sincos1-1-2sin2=4cos2-6sincos2sin2=2-3tantan2代入tan求得值均为：2.故选：C.11(2024全国模拟预测)已知tancos

22、4-cos4+=0，0,2，则sin24cos2+sin2=()A.2 3-2B.4 2-3C.2 2D.3-2 2【答案】D【分析】先利用诱导公式和差角公式求出正切值，再利用齐次式可求答案.【解析】因为tancos4-cos4+=0，所以tancos4-sin4-=0，又 0,2，所以cos4-0，所以tan-tan4-=0，即tan-1-tan1+tan=0，解得tan=2-1或tan=-2-1，因为 0,2，所以tan=2-1，所以sin24cos2+sin2=2sincos4cos2+2sincos=tan2+tan=2-12+1=3-2 2故选：D0303 半角公式12(2024全国

23、模拟预测)已知角是第二象限角，且终边经过点-3,4，则tan2=()5A.3B.12C.2D.12或2【答案】C【分析】根据已知条件求出sin和cos的值，再利用tan2=sin1+cos求解即可.【解析】角是第二象限角，且终边经过点-3,4，sin=45，cos=-35，tan2=sin2cos2=2sin2cos22cos22=sin1+cos=451+-35=2.故选：C13(23-24高三下云南阶段练习)已知角的终边经过点P14,-154，则2cos22+sin=()A.5-154B.-15-54C.5+154D.15-54【答案】A【分析】根据三角函数定义求出正弦和余弦，结合半角公式

24、求出答案.【解析】由三角函数定义得sin=-154，cos=14所以2cos22+sin=1+cos+sin=1-154+14=5-154.故选：A.14(2023全国高考真题)已知为锐角，cos=1+54，则sin2=()A.3-58B.-1+58C.3-54D.-1+54【答案】D【分析】根据二倍角公式(或者半角公式)即可求出【解析】因为cos=1-2sin22=1+54，而为锐角，解得：sin2=3-58=5-1216=5-14故选：D15(22-23高三上河北石家庄期末)已知1+cossin=33，则tan2=.【答案】3【分析】利用半角公式即可求解.【解析】因为1+cossin=2c

25、os222sin2cos2=cos2sin2=1tan2，且1+cossin=33，所以tan2=3，故答案为：3.0404 辅助角公式及应用616(23-24高三下四川绵阳阶段练习)已知x 0,4,sinx+cosx=3 55，则tan x-34=【答案】3【分析】借助辅助角公式与同角三角函数基本关系计算即可得.【解析】sinx+cosx=2sin x+4=3 55，故sin x+4=3 1010，由x 0,4，则x+44,2，故cos x+4=1-3 10102=1010，tan x-34=tan x-34+=tan x+4=sin x+4cos x+4=3 10101010=3.故答案为

26、：3.17(2024新疆喀什二模)已知函数 f x=sin x-cosx，其中0，满足 f 0=f3，则=【答案】56【分析】根据 f 0=f3代入计算，化简可得关于的方程，解方程即可.【解析】因为 f x=sin x-cosx，f 0=f3，所以-sin-1=sin3-12，所以32cos-12sin+sin+12=0，即32cos+12sin=-12，所以sin+3=-12，又因为00)，若存在x10,，使得 f(x1)=-2，则的最小值为.【答案】116/156【分析】利用辅助角公式化简函数 f(x)，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即得.【解析】函数 f(x)=2sin x-3

27、，由x10,，得x1-3-3,-3，由存在x10,，使得 f(x1)=-2，得-332，解得116，所以的最小值为116.故答案为：1160505 降幂公式20(2022云南模拟预测)sin80+1sin25-1=()A.-22B.22C.-2D.2【答案】C【分析】利用诱导公式和降幂公式化简即得解.【解析】解：由题得sin80+1sin25-1=cos10+11-cos102-1=2cos10+1-cos10-1=-2.故选：C21(22-23高三下安徽开学考试)已知sin+2cos22=54，则sin2=()A.-1516B.1516C.-34D.34【答案】A【分析】先利用降幂公式，再利

28、用二倍角公式化简即得解.【解析】由已知sin+2cos22=54，化简得sin+1+cos=54,sin+cos=14平方得1+sin2=116，所以sin2=-1516故选：A22(2021四川巴中模拟预测)已知1-cos2+sin21+cos2+sin2=2，则tan=()A.1B.2C.3D.2【答案】B【解析】根据降幂公式和二倍角的正弦公式化简等式左边即可得解.【解析】因为1-cos2+sin21+cos2+sin2=2，所以2sin2+2sincos2cos2+2sincos=2，8所以sin(sin+cos)cos(cos+sin)=2，所以tan=2.故选：B【点睛】本题考查了降

29、幂公式，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题.23(22-23高三上广西柳州阶段练习)已知的数 f(x)=2cos2x2-5(0)，若对任意的实数t，f(x)在区间(t,t+6)上的值域均为-5,-3，则的取值范围为()A.0,3B.6,+C.3,+D.3,+【答案】D【分析】对 f x运用倍角公式作恒等变换求出周期，则其周期Tt+6-t=6，据此可以求解.【解析】f x=2cos2x2-5=cos x-4，其周期为T=2，由题意有：Tt+6-t=6,26,3.故选：D.0606 万能公式24(20-21高一下陕西西安期末)若tan=3，则sin2=()A.35B.-35C.-34D.34【答案

30、】A【分析】利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得sin2的值.【解析】sin2=2sincos=2sincossin2+cos2=2sincoscos2sin2+cos2cos2=2tantan2+1=2332+1=35.故选：A.25(2022全国模拟预测)已知第二象限角满足tantan+4=23，则cos2=()A.-45B.45C.35D.-35【答案】D【分析】由tantan+4=23结合正切和角公式化简，求得tan，利用万能公式即可求解.【解析】tantan+4=tantan+11-tan=23，3tan2+5tan-2=0，解得tan=-2或tan=13(舍去)，所以cos2=co

31、s2-sin2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=-35.故选：D26(2021河北邯郸一模)已知2sin-=3sin2+，则sin2-12sin2-cos2=()A.513B.-113C.-513D.113【答案】B9【分析】运用诱导公式及齐次化即可或解.【解析】由2sin(-)=3sin2+，得2sin=3cos，所以tan=32，从而sin2-12sin2-cos2=sin2-sincos-cos2sin2+cos2=tan2-tan-1tan2+1=-113故选：B0707 积化和差与和差化积公式27(2021高三全国专题练习)求cos8+cos38-2s

32、in4cos8的值；【答案】0【分析】利用和差化积进行化简求值即可得解.【解析】cos8+cos38-2sin4cos8=2cos8+382cos8-382-2cos8=2cos4cos8-2cos8=2cos8-2cos8=0.28(22-23高三上广东汕头期末)设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=bcosA-acosB(1)求证：B=2A；(2)求b+ca的取值范围【答案】(1)证明过程见解析.(2)2+1,3+2【分析】(1)利用正弦定理及积化和差得到sinA=sin B-A，结合角的范围，得到B=2A；(2)利用正弦定理得到b+ca=4 cosA+142

33、-54，根据三角形为锐角三角形，得到A6,4，cosA22,32，从而求出取值范围.【解析】(1)a=bcosA-acosB，由正弦定理得：sinA=sinBcosA-sinAcosB，由积化和差公式可得：sinA=12sin B+A+12sin B-A-12sin A+B-12sin A-B=12sin B-A-12sin A-B，因为12sin A-B=-12sin B-A，所以sinA=sin B-A，因为三角形ABC为锐角三角形，故A,B 0,2，所以B-A-2,2，故A=B-A，即B=2A；(2)由(1)知：B=2A，由正弦定理得：b+ca=sinB+sinCsinA=sin2A+s

34、in B+AsinA=sin2A+sin3AsinA，其中sin3A=sin 2A+A=sin2AcosA+cos2AsinA=2sinAcos2A+cos2AsinA，10因为sinA0，所以b+ca=2sinAcosA+2sinAcos2A+cos2AsinAsinA=2cosA+2cos2A+cos2A=2cosA+2cos2A+2cos2A-1=4cos2A+2cosA-1=4 cosA+142-54，由B=2A 0,2得：A 0,4，由C=-A-B=-3A 0,2，解得：A6,3，结合A 0,2可得：A6,4，cosA22,32，故b+ca=4 cosA+142-54在cosA22,

35、32上单调递增，所以b+ca=4cos2A+2cosA-1 412+2-1,434+3-1，即b+ca2+1,3+2.0808 三角恒等变换的应用29(2024山东二模)已知函数 f x=3sin2x-cos2x，则下列结论正确的是()A.函数 f x的最大值是3B.函数 f x在-6,3上单调递增C.该函数的最小正周期是2D.该函数向左平移6个单位后图象关于原点对称【答案】B【分析】根据题意，化简函数 f x=2sin 2x-6，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【解析】由函数 f x=3sin2x-cos2x=2sin 2x-6，可得最大值是2，最小正周期是，所以选项A，C错误

36、；当x-6,3，可得2x-6-2,2，根据正弦函数的性质，可得函数 f x=2sin 2x-6在-6,3上单调递增，所以B正确；将函数 f x图象向左平移6得到函数 f x=2sin 2x+6，此时函数 f x的图象不关于原点对称，所以D错误.故选：B30(2024四川模拟预测)已知函数 f x=sinx+2cos2x2(0)在 0,上有且仅有4个零点则 f x图象的一条对称轴可能的直线方程为()A.x=20B.x=10C.x=-320D.x=514【答案】D【分析】化简 f x，由零点个数整体思想求出725，并求出对称轴判断其范围，结合赋值法判断各选项.【解析】f x=sinx+2cos2x

37、2=sinx+1+cosx=2sin x+4+1，令 f x=0，得sin x+4=-22，11因为x 0,，所以x+44,+4，若 f x在 0,上有且仅有4个零点，则154+4214，解得725，令x+4=k+2,kZ Z，得x=4k+4,kZ Z，因为725，所以4k+204k+44k+14,kZ Z当k=0，20 x14,当k=1，4x514,当k=-1,-320 x-314，只有D符合.故选：D31(22-23高三上宁夏银川阶段练习)已知函数 f x=sin4x-cos4x+2 3sinxcosx-12xR R.(1)求 f x的最小正周期和单调递减区间；(2)若-2,2，且 f2+

38、12=12，求cos 2+4的值.【答案】(1)最小正周期为，单调递减区间为3+k,56+kkZ Z(2)2-64【分析】(1)利用二倍角和辅助角公式化简得到 f x=2sin 2x-6-12，根据正弦型函数最小正周期和单调区间的求法可直接求得结果；(2)由 f2+12=12可求得sin，进而得到=6，利用两角和差余弦公式可求得结果.【解析】(1)f x=sin2x-cos2xsin2x+cos2x+3sin2x-12=-cos2x+3sin2x-12=2sin 2x-6-12，f x的最小正周期T=22=；令2+2k2x-632+2k kZ Z，解得：3+kx56+k kZ Z，f x的单调

39、递减区间为3+k,56+kkZ Z.(2)由(1)得：f2+12=2sin-12=12，sin=12，-2,2，=6，cos 2+4=cos3+4=cos3cos4-sin3sin4=2-64.32(2024高三下全国专题练习)已知函数 f x=2sinxcosx-a sin2x-cos2x，若 f-x=f x-56，则直线24x-9y-8=0与 f x的图象的交点个数为()A.3B.4C.5D.6【答案】C【分析】先将函数 f x化简得 f x=sin2x+acos2x，再结合 f-x=f x-56以及x的任意性求出a的值，从而求出 f x的解析式，再数形结合探究即可得出结果.【解析】由题

40、f x=2sinxcosx-a sin2x-cos2x=sin2x+acos2x，12由 f-x=f x-56知 f 0=f-56，所以a=sin-53+acos-53，解得a=3，所以 f x=sin2x+3cos2x=2sin 2x+3.对于24x-9y-8=0，令y=0，得x=3；令y=2，得x=1312，故直线24x-9y-8=0经过点3,0与点1312,2.易知 f x的图象也过点3,0与点1312,2，在同一平面直角坐标系中作出函数 f x的图象与直线24x-9y-8=0，如图所示：结合图象可知 f x的图象与直线24x-9y-8=0恰有5个交点，故选：C.33(23-24高三下浙

41、江宁波阶段练习)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sin A-BcosC=cosBsin A-C.(1)判断ABC的形状；(2)若ABC为锐角三角形，sinA=1b，求2a2+12b+12c的最大值.【答案】(1)ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形(2)2+1【分析】(1)利用三角恒等变换公式化简后分别讨论各项为0时的情况即可；(2)先根据(1)中的结论判断此时ABC为等腰三角形，再利用正弦定理将边化为角，构造关于角B的三角函数求值域，注意角B在锐角三角形中的范围即可.【解析】(1)由题意：sinAcosB-cosAsinBcosC=cosB sinAcosC-cos

42、AsinC，整理得cosA cosBsinC-sinBcosC=cosAsin C-B=0，故cosA=0或sin C-B=0，当cosA=0时，A=2，ABC为直角三角形，当sin C-B=0时，B=C，ABC为等腰三角形，当cosA=0且sin C-B=0时，A=2，B=C=4，ABC为等腰直角三角形.所以ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.(2)由(1)知，若ABC为锐角三角形，则一定为等腰三角形，b=c，由正弦定理asinA=bsinB得asinB=bsinA=1，a=1sinB，2a2+12b+12c=2a2+1b=2sin2B+sinA2sin2B+sinA=1-cos

43、2B+sin2B=1+2sin 2B-4，13因为ABC为锐角三角形，所以0B20A=-2B2，解得4B0，再利用整体思想结合诱导公式与二倍角公式计算即可得.【解析】由 0,4，则+44,2，则sin+40，sin2=sin 2+4-2=-cos2+4=2sin2+4-1=35，则sin2+4=45，由sin+40，故sin+4=2 55.故选：C.2(2024河北保定二模)已知tan=3cossin+11，则cos2=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin，再结合二倍角公式即可求解.【解析】因为sincos=3cossin+11，

44、所以4sin2+11sin-3=0，解得sin=14或sin=-3(舍去)，所以cos2=1-2sin2=78故选：B.3(2024贵州模拟预测)已知2,，25cos2-10sin-1=0，则tan2=()A.3B.43C.34D.13【答案】A【分析】由二倍角的余弦公式，同角三角形函数的平方关系及2,求出sin和cos，再根据二倍角的正弦公式及降幂公式化简tan2，代入计算即可【解析】由题设有25 1-2sin2-10sin-1=0，即25sin2+5sin-12=0，14解得sin=35或sin=-45，因为2,，所以sin=35，则cos=-1-sin2=-45，则tan2=sin2co

45、s2=2sin2cos22cos22=sin1+cos=351-45=3，故选：A4(2024河南二模)已知sinx+cosx=13，则cos 2x-2=()A.-35B.35C.89D.-89【答案】D【分析】对已知等式两边平方结合平方关系、二倍角公式以及诱导公式即可运算求解.【解析】sinx+cosx=13,(sinx+cosx)2=1+sin2x=19,sin2x=-89,cos 2x-2=sin2x=-89.故选：D.5(2024全国模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，已知P,Q是单位圆上不同的两点，其中P在第一象限，Q在第二象限，直线OP,OQ的倾斜角分别为,，若点P,Q的横坐标分别

46、为35,-12，则sin-=()A.4 3-310B.4 3+310C.3 3-410D.3 3+410【答案】D【分析】根据三角函数的定义，可得sin=45,sin=32,cos=35，cos=-12，即可利用和差角公式求解.【解析】单位圆的方程为x2+y2=1，将点P,Q的横坐标分别代入单位圆的方程，可求得P35,45,Q-12,32，根据三角函数的定义知sin=45,sin=32,cos=35，cos=-12，因此sin-=sincos-sincos=3 3+410故选:D6(2024江苏扬州模拟预测)若-44，且cossin=12，tantan=23，则cos-=()A.116B.-1

47、16C.356D.-356【答案】C【分析】利用切化弦可得sincos=13，再由两角和差公式先求sin-，最后由同角基本关系式求解.【解析】因为tantan=23，则sincossincos=23，则sincos=23cossin=13，15所以sin-=sincos-cossin=13-12=-16，而-44，则-2-0，所以cos-=1-sin2-=356.故选：C7(2024全国三模)当0 x2时，sin2x+3cos2x+3cosx的最大值是()A.2B.10C.0D.2 10【答案】D【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即得.【解析】原式=2sinx

48、cosx+32cos2xcosx=2sinx+6cosx=2 10sin(x+)，其中锐角由tan=3确定，由0 x2，得0 x+2+0恒成立，则的取值范围为()A.12,512B.6,56C.6,3D.3,56【答案】A【分析】令 f x=sin+cos+1x2-2sin+1x+sin，易得 f x的对称轴为x=sin+12sin+cos+10,1，则f 00f 10fsin+12sin+cos+10，进而可得出答案.【解析】令 f x=sin+cos+1x2-2sin+1x+sin，由题意可得f 00f 10，则sin0cos0，又因为 0,2，所以 0,2，函数 f x的对称轴为x=si

49、n+12sin+cos+1 0,1，则sin0cos0sin+cos+1sin+12sin+cos+12-2sin+1sin+12sin+cos+1+sin0，即sin0cos0(2sin+1)2-4sin sin+cos+10cos0sin212 ，结合 0,2，解得12cosB.0tan0，0,，可知为锐角，且sincos=34sin2+cos2=1，解得sin=35，cos=45且041，所以sincos，故A错误；选项B：因为0tan1，01，因此0tan0)，下列判断正确的是()A.若 f x1=f x2=0，且 x1-x2min=2，则=2B.=1时，直线x=6为 f x图象的一条

50、对称轴C.=1时，将 f x的图象向左平移3个单位长度后得到的图象关于原点对称D.若 f x在 0,2上恰有9个零点，则的取值范围为5324,5924【答案】BD【分析】利用二倍角公式化简 f(x)，利用余弦函数的图象和性质依次判断选项即可.【解析】f x=-cos2x+3-sin2x+3=-cos 2x+23,0，对于A，根据条件，可得T2=2,T=22,=1，故A错误；对于B，当=1时，f x=-cos 2x+23,f6=-cos3+23=-cos=1，所以直线x=6为 f x的一条对称轴，故B正确；对于C，当=1时，f x=-cos 2x+23，将 f x向左平移3个单位长度后可得y=-