八年级数学下册 1 三角形的证明小结与教学 （新版）北师大版.ppt

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1、小结与复习小结与复习第一章 三角形的证明知识知识归纳归纳合作合作探究探究课堂课堂小结小结随堂随堂作业作业公理公理公理公理:公公公公认认认认的真命的真命的真命的真命题题题题称称称称为为为为公理公理公理公理(axiom).(axiom).证证证证明明明明:除了公理外除了公理外除了公理外除了公理外,其它真命其它真命其它真命其它真命题题题题的正确性都通的正确性都通的正确性都通的正确性都通过过过过推理的方推理的方推理的方推理的方法法法法证实证实证实证实.推理的推理的推理的推理的过过过过程称程称程称程称为证为证为证为证明明明明.定理定理定理定理:经过证经过证经过证经过证明的真命明的真命明的真命明的真命题题

2、题题称称称称为为为为定理定理定理定理(theorem).(theorem).推推推推论论论论:由一个公理或定理直接推出的定理由一个公理或定理直接推出的定理由一个公理或定理直接推出的定理由一个公理或定理直接推出的定理,叫做叫做叫做叫做这这这这个公理个公理个公理个公理或定理的或定理的或定理的或定理的推推推推论论论论(corollary).(corollary).推推推推论论论论可以当作定理使用可以当作定理使用可以当作定理使用可以当作定理使用.知识归纳知识归纳定定定定义义义义:对对对对名称和名称和名称和名称和术语术语术语术语的含的含的含的含义义义义加以描述加以描述加以描述加以描述,作出明确的作出明确

3、的作出明确的作出明确的规规规规定定定定,也也也也就是就是就是就是给给给给出出出出 它它它它们们们们的的的的定定定定义义义义(definition).(definition).命命命命题题题题:判断一件事情的句子判断一件事情的句子判断一件事情的句子判断一件事情的句子,叫做叫做叫做叫做命命命命题题题题(statement).(statement).每个命每个命每个命每个命题题题题都由都由都由都由条件条件条件条件(condition)(condition)和和和和结论结论结论结论(conclusion)(conclusion)两部两部两部两部分分分分组组组组成成成成.条件是已知事条件是已知事条件是已

4、知事条件是已知事项项项项,结论结论结论结论是由已事是由已事是由已事是由已事项项项项推断出的事推断出的事推断出的事推断出的事项项项项.正确的命正确的命正确的命正确的命题题题题称称称称为为为为真命真命真命真命题题题题(true statement),(true statement),不正确的的命不正确的的命不正确的的命不正确的的命题题题题称称称称为为为为假命假命假命假命题题题题(false statement).(false statement).证证证证明命明命明命明命题题题题的一般步的一般步的一般步的一般步骤骤骤骤:(1)(1)理解理解理解理解题题题题意意意意:分清命分清命分清命分清命题题题题

5、的条件的条件的条件的条件(已知已知已知已知),),结论结论结论结论(求求求求证证证证););(2)(2)根据根据根据根据题题题题意意意意,画出画出画出画出图图图图形形形形;(3)(3)结结结结合合合合图图图图形形形形,用符号用符号用符号用符号语语语语言写出言写出言写出言写出“已知已知已知已知”和和和和“求求求求证证证证”;(4)(4)分析分析分析分析题题题题意意意意,探索探索探索探索证证证证明思路明思路明思路明思路(由由由由“因因因因”导导导导“果果果果”,执执执执“果果果果”索索索索“因因因因”.);.);(5)(5)依据思路依据思路依据思路依据思路,运用数学符号和数学运用数学符号和数学运用

6、数学符号和数学运用数学符号和数学语语语语言条理清晰地写出言条理清晰地写出言条理清晰地写出言条理清晰地写出证证证证 明明明明过过过过程程程程;(6)(6)检查检查检查检查表达表达表达表达过过过过程是否正确程是否正确程是否正确程是否正确,完善完善完善完善.提示提示提示提示:要要要要说说说说明一个命明一个命明一个命明一个命题题题题是是是是假命假命假命假命题题题题,通常可以通常可以通常可以通常可以举举举举出一个例子出一个例子出一个例子出一个例子,使使使使之具之具之具之具备备备备命命命命题题题题的条件的条件的条件的条件,而不具而不具而不具而不具备备备备命命命命题题题题的的的的结论结论结论结论,这这这这种

7、例子称种例子称种例子称种例子称为为为为反例反例反例反例(counter example).(counter example).2.2.推推推推论论论论:等腰三角形等腰三角形等腰三角形等腰三角形顶顶顶顶角的平分角的平分角的平分角的平分线线线线、底、底、底、底边边边边上上上上的中的中的中的中线线线线、底、底、底、底边边边边上的高上的高上的高上的高线线线线互相重合互相重合互相重合互相重合(三三三三线线线线合一合一合一合一).).本本章章知知识识要要点点回回顾顾本本章章知知识识要要点点回回顾顾1.1.定理定理定理定理:等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的

8、两个底角相等 简简简简称称称称:等等等等边对边对边对边对等角等角等角等角A A C CB BD D1 1 2 2结论结论4:等腰三角形等腰三角形腰上的高腰上的高线线与底与底边边的的夹夹角角等于等于顶顶 角的一半角的一半.3.3.等腰三角形有关知等腰三角形有关知等腰三角形有关知等腰三角形有关知识识识识要点要点要点要点:结论结论结论结论1:1:等腰三角形两等腰三角形两等腰三角形两等腰三角形两底角的平分底角的平分底角的平分底角的平分线线线线相等相等相等相等.结论结论结论结论2:2:等腰三角形等腰三角形等腰三角形等腰三角形两腰上的中两腰上的中两腰上的中两腰上的中线线线线相等相等相等相等.结论结论结论结

9、论3:3:等腰三角形等腰三角形等腰三角形等腰三角形两腰上的高相等；两腰上的高相等；两腰上的高相等；两腰上的高相等；4.4.等等等等边边边边三角形的判定：三角形的判定：三角形的判定：三角形的判定：(3).(3).有一个角是有一个角是有一个角是有一个角是60600 0的等腰三角形的等腰三角形的等腰三角形的等腰三角形是是是是等等等等边边边边三角形三角形三角形三角形.(1).(1).三条三条三条三条边边边边都相等都相等都相等都相等的三角形是的三角形是的三角形是的三角形是等等等等边边边边三角形三角形三角形三角形.(2).(2).三个角都相等三个角都相等三个角都相等三个角都相等的三角形是的三角形是的三角形

10、是的三角形是等等等等边边边边三角形三角形三角形三角形.结论结论5:等腰三角形等腰三角形底底边边上的任意一点上的任意一点到两腰的距离到两腰的距离 之和之和等于一腰上的高等于一腰上的高.5.5.定理定理定理定理:在直角三角形中在直角三角形中在直角三角形中在直角三角形中,如果一个如果一个如果一个如果一个锐锐锐锐角等于角等于角等于角等于30300 0,那么那么那么那么 这这这这个个个个锐锐锐锐角所角所角所角所对对对对直角直角直角直角边边边边等于斜等于斜等于斜等于斜边边边边的一半的一半的一半的一半ABC30300 0它的逆命它的逆命它的逆命它的逆命题题题题:在直角三角形中在直角三角形中在直角三角形中在直

11、角三角形中,如果如果如果如果一条直角一条直角一条直角一条直角边边边边等于斜等于斜等于斜等于斜边边边边的一半的一半的一半的一半,那么那么那么那么这这这这条直角条直角条直角条直角边边边边所所所所对对对对的的的的锐锐锐锐角等于角等于角等于角等于30300 0.6.6.勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理:直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形两条直角两条直角两条直角两条直角边边边边的平方和等于斜的平方和等于斜的平方和等于斜的平方和等于斜 边边边边的平方的平方的平方的平方.它的逆定理它的逆定理它的逆定理它的逆定理:如果三角形如果三角形如果三角形如果三角形两两两两边边边边的平方和等于第三的平方和等于第三的

12、平方和等于第三的平方和等于第三边边边边的平方的平方的平方的平方,那么那么那么那么这这这这个三角形是个三角形是个三角形是个三角形是直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形.7.7.直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理:斜斜斜斜边边边边和一条直角和一条直角和一条直角和一条直角边对应边对应边对应边对应相等相等相等相等的的的的两个直角三角形全等两个直角三角形全等两个直角三角形全等两个直角三角形全等.(简简称称“HL”)8.8.写出命写出命写出命写出命题题题题：“等腰三角形的等腰三角形的等腰三角形的等腰三角形的两个底角相等两个底角相等两个底角相

13、等两个底角相等”的逆命的逆命的逆命的逆命题题题题：有有有有两个角相等两个角相等两个角相等两个角相等的三角形是的三角形是的三角形是的三角形是等腰三角形等腰三角形等腰三角形等腰三角形.定理：定理：定理：定理：线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点到这条线段两个端点到这条线段两个端点到这条线段两个端点 的距离相等的距离相等的距离相等的距离相等.9.9.线段的垂直平分线线段的垂直平分线线段的垂直平分线线段的垂直平分线它的逆命题它的逆命题它的逆命题它的逆命题:到一条线段两个端点距离相等到一条线段两个端点距离相等到一条线段两个端点距离相等到一条线

14、段两个端点距离相等 的点的点的点的点,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上.ACBPMN10.10.角平分线角平分线角平分线角平分线定理定理定理定理:角平分线上的点角平分线上的点角平分线上的点角平分线上的点到这个角两边的距离相等到这个角两边的距离相等到这个角两边的距离相等到这个角两边的距离相等.PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,PD=PEPD=PEPD=PEPD=PE 1=2(OP 1=2(OP 1=2(OP 1=2(OP是角平分线是角平分线是角平分线是角平分线或或或或P P P P在在在

15、在AOBAOBAOBAOB的平分线上的平分线上的平分线上的平分线上)在一个角的内部在一个角的内部在一个角的内部在一个角的内部,且且且且到角的两边距离相到角的两边距离相到角的两边距离相到角的两边距离相等的点等的点等的点等的点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上在这个角的平分线上在这个角的平分线上.OCB1A2PDE11.11.定理定理定理定理:三角形三条边的垂直平分线三角形三条边的垂直平分线三角形三条边的垂直平分线三角形三条边的垂直平分线相交于一点相交于一点相交于一点相交于一点,并且并且并且并且 这一点这一点这一点这一点到三个顶点的距离相等到三个顶点的距离相等到三个顶点的距离相等到三个顶点的距

16、离相等.12.12.定理定理定理定理:三角形的三条角平分线三角形的三条角平分线三角形的三条角平分线三角形的三条角平分线相交于一点相交于一点相交于一点相交于一点,并且并且并且并且 这一点这一点这一点这一点到三条边的距离相等到三条边的距离相等到三条边的距离相等到三条边的距离相等.(这一点叫做三角形的这一点叫做三角形的这一点叫做三角形的这一点叫做三角形的外心外心外心外心)(这一点叫做三角形的这一点叫做三角形的这一点叫做三角形的这一点叫做三角形的内心内心内心内心)A AB BC CP P例例例例1:1:在在在在 ABCABC中中中中,AB=2AC,AB=2AC,1=1=2,DA=DB2,DA=DB 求

17、求求求证证证证:DC:DCACAC2 21 1ACE EF证证证证明明明明:取取取取ABAB的中点的中点的中点的中点E,E,连结连结连结连结DEDEDA=DB,AE=BEDA=DB,AE=BEDEDEAB(AB(等腰三角形三等腰三角形三等腰三角形三等腰三角形三线线线线合一合一合一合一)AB=2AC,EAB=2AC,E为为为为ABAB的中点的中点的中点的中点AE=ACAE=AC在在在在 AEDAED和和和和 ACDACD中中中中,AE=AC,AE=AC,1=1=2,AD=AD2,AD=AD AEDAED ACD(SAS)ACD(SAS)AED=AED=ACD=90ACD=900 0即即即即ACA

18、CDCDC或用延或用延长长法法:延延长长AC至至F使使CF=AC,连结连结DFDB2 21 1C合作探究合作探究方法二方法二方法二方法二证证证证明明明明:延延延延长长长长ACAC至至至至F F使使使使CF=AC,CF=AC,连结连结连结连结DFDFAB=2AC,AC=CFAB=2AC,AC=CFAB=AFAB=AF1=1=2,AD=AD2,AD=AD ADBADB ADF(SAS)ADF(SAS)DB=BFDB=BFDA=DBDA=DBDA=DFDA=DFAC=CFAC=CFDCDCAF(AF(等腰三角形三等腰三角形三等腰三角形三等腰三角形三线线线线合一合一合一合一)即即即即DCDCACAC思

19、路探究思路探究思路探究思路探究:除了截短法和延除了截短法和延除了截短法和延除了截短法和延长长长长法外法外法外法外,在等腰三角形中在等腰三角形中在等腰三角形中在等腰三角形中,我我我我们们们们通通通通常作底常作底常作底常作底边边边边的中的中的中的中线线线线或高或或高或或高或或高或顶顶顶顶角平分角平分角平分角平分线线线线,以便使用等腰三角形以便使用等腰三角形以便使用等腰三角形以便使用等腰三角形的性的性的性的性质质质质(三三三三线线线线合一合一合一合一).).2 21 1ACFDB2 21 1C例例2:如如图图,ABC,CDE是等是等边边三角形三角形(1)求求证证:AE=BDA AB BC CD DE

20、 E(2)若若BD和和AC交于点交于点M,AE和和CD交于点交于点N,求求证证:CM=CNMN(3)连结连结MN,猜想猜想MN与与BE的位置的位置 关系关系.并加以并加以证证明明思路探究思路探究思路探究思路探究:通通通通过证过证过证过证明三角形全等从而明三角形全等从而明三角形全等从而明三角形全等从而证证证证明明明明线线线线段相等或角段相等或角段相等或角段相等或角相等相等相等相等,这这这这是一种常是一种常是一种常是一种常见见见见的的的的证证证证明方法明方法明方法明方法.本本本本题题题题我我我我们应们应们应们应注意用到等注意用到等注意用到等注意用到等边边边边三角形的性三角形的性三角形的性三角形的性

21、质质质质以及平行法的判定方法以及平行法的判定方法以及平行法的判定方法以及平行法的判定方法.当当当当图图图图形形形形较较较较复复复复杂杂杂杂时时时时,注意分清条件与注意分清条件与注意分清条件与注意分清条件与图图图图形中的形中的形中的形中的对应对应对应对应关系关系关系关系角角的的平平分分线线角角的的平平分分线线通过探索通过探索通过探索通过探索,猜想猜想猜想猜想,计算和证明得到计算和证明得到计算和证明得到计算和证明得到定理定理定理定理与等腰三角形、等边三角形有关与等腰三角形、等边三角形有关与等腰三角形、等边三角形有关与等腰三角形、等边三角形有关的结论的结论的结论的结论与与 直直 角角 三三 角角 形

22、形 有有 关关 的的 结结 论论与与 直直 角角 三三 角角 形形 有有 关关 的的 结结 论论与与 一一 般般 的的 三三 角角 形形 有有 关关 的的 结结 论论与与 一一 般般 的的 三三 角角 形形 有有 关关 的的 结结 论论命命题题的的逆逆命命题题及及命命题题的的逆逆命命题题及及其其真真假假其其真真假假尺尺规规作作图图尺尺规规作作图图线线 段段 的的 垂垂 直直 平平 分分 线线线线 段段 的的 垂垂 直直 平平 分分 线线课堂小结课堂小结1、已知、已知:如如图图,D,E,F分分别别是是BC,CA,AB上的点上的点,DEBA,DFCA.求求证证:FDE=A.ABCDEF随堂训练随堂

23、训练2 2、已知、已知、已知、已知:如如如如图图图图,ADADCB,AD=CBCB,AD=CB.求求求求证证证证:ABCABCCDA.CDA.A AB BC CD D3 3、已知、已知、已知、已知:如如如如图图图图,AB=AC,AB=AC,ABD=ABD=ACEACE.求求求求证证证证:(1)OB=OC;(1)OB=OC;(2)BE=CD (2)BE=CD.A AB BC CE ED DOO4 4、已知、已知、已知、已知:如如如如图图图图,BD,CE,BD,CE是是是是ABCABC的高的高的高的高,且且且且BD=CE.BD=CE.求求求求证证证证:ABCABC是等腰三角形是等腰三角形是等腰三角形是等腰三角形.5 5、已知、已知、已知、已知:如如如如图图图图,AN,ANOB,BMOB,BMOA,OA,垂足分垂足分垂足分垂足分别为别为别为别为 N,M,N,M,且且且且OM=ON.OM=ON.求求求求证证证证:PM=PN.PM=PN.