九年级数学下册 3.3 垂径定理 （新版）北师大版.ppt

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1、*3.3 垂径定理第三章 圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一 些简单的计算、证明和作图问题.（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）学习目标 赵州桥主桥拱的半径是多少？问题:你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？导入新课导入新课 可以发现：圆是轴对称图形.任何一条直径所在直线都是它的对称轴讲授新课讲授新课垂径定理及其推论一问题1 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什

2、么？由此你能得到什么结论？你能证明这个结论吗？问题2 如图,AB是 O的一条弦,直径CDAB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?为什么?线段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD 理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合 OABDECu垂径定理OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.CD是直径，CDAB，AE=BE,AC=BC,AD=BD.归纳总结u推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是

3、，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO DCABOC思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.u垂径定理的推论OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.归纳总结典例精析例1 如图，OEAB于E，若O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.OABE解析：连接OA，OEAB，AB=2AE=16cm.16一 垂径定理及其推论的计算二cm.例2 如图，O的弦AB8cm，直径CEAB于D，DC2cm，求半径

4、OC的长.OABECD解：连接OA，CEAB于D，设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得解得 x=5，即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2，你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?垂径定理的实际应用三ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.AB=37m，CD=7.23m.解得R27.3（m）.即主桥拱半径约为27.3m.=18.52+(R-7.23)2 AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.练一练：如图a、b

5、,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_.C DCBOADOAB图a图b2cm或12cm 在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.方法归纳涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系ABC DOhrd d+h=r OABC1.已知 O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .5cm2.O的直径AB=20cm,BAC=30则弦AC=.10 3 cm3.（分类讨论题）已知 O的半径为10cm，弦MNE

6、F,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .14cm或2cm当堂练习当堂练习 4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.OCDEF设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得R=545.这段弯路的半径约为545m.拓展提升：如图，O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .3cmOP5cmBAOP垂径定理内 容推 论辅助线一条直线满足:过圆心;垂直于弦;平分弦（不是直径）;平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两 条 辅 助 线：连半径，作弦心距构造Rt利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变 式 图 形课堂小结课堂小结