山东省青岛市2024届高三年级第三次适应性检测考试(青岛三模)数学含答案.pdf

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1、山东省青岛市2024届高三年级第三次适应性检测考试(青岛三模)数学2024年高三年级第三次适应性检测数学试题2024.05本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.只有一一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的是符

2、合题目要求的.项1.已知复数z满足,则z的虚部为A.-iB.iC.-1D.I,则-p2.已知命题B.A.C.D.3.为了得到y=sin2x+cos2x的图象，只要把y=2cos2x的图象上所有的点A.向右平行移动个单位长度B.向左平行移动个单位长度个单位长度C.向右平行移动个单位长度D.向左平行移动4.某校高一有学生980人，在一次模拟考试中这些学生的数学成绩X服从正态分布N(100,g),已知P(90X100)=0.1,则该校高一学生数学成绩在110分以上的人数大约为A.784B.490C.392D.2945.定义x表示不超过x的最大整数.例如：1.2=1,-1.2=-2,则A.x+y=x+

3、yB.VnZ,x+n=x+nC.f(x)=x-x是偶函数D.f(x)=x-x是增函数6.在母线长为4,底面直径为6的一个圆柱中挖去一个体积最大的圆锥后，得到一个几何体，则该几何体的表面积为A.33B.39C.48D.57数学试题第1页共4 页四个选项中,公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君1学科网（北京）股份有限公司2024 青岛三模数学试题青岛三模数学试题一、选择题一、选择题:本题共本题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分.在每

4、小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题只有一项是符合题 目要求的目要求的.1.已知复数 满足 11=i,则 的虚部为（）A.i B.i C.-1 D.12.已知命题:0,2,sin B.0,2,sin C.0,2,sin D.0,2,sin 3.为了得到 =sin2+cos2 的图象,只要把 =2cos2 的图象上所有的点（）A.向右平行移动 8 个单位长度 B.向左平行移动 8 个单位长度C.向右平行移动 4 个单位长度 D.向左平行移动 4 个单位长度4.某校高一有学生 980 人,在一次模拟考试中这些学生的数学成绩 服从正态分布(100,2),已知(90 100)

5、=0.1,则该校高一学生数学成绩在 110 分以上的人数大约为（）A.784 B.490 C.392 D.2945.定义 表示不超过 的最大整数.例如:1.2=1,1:2=2,则（）A.+=+B.+=+C.()=是偶函数 D.()=是增函数6.在母线长为 4,底面直径为 6 的一个圆柱中挖去一个体积最大的圆锥后,得到一个几何体,则 该几何体的表面积为（）A.33 B.39 C.48 D.577.已知函数()=(2 2)(e1+e1),则满足不等式(2)0)的左,右焦点分别为 1,2,左、右顶点分 别为,焦距为 2,以 12 为直径的圆与椭圆 在第一和第三象限分别交于,两点.且 =2 3,则椭圆

6、 的离心率为（）A.22 B.2 C.33 D.632学科网（北京）股份有限公司二、选择题二、选择题:本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 6 分分,共共 18 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要有多项符合题目要 求求.全部选对的得全部选对的得 6 分分,部分选对的得部分分部分选对的得部分分,有选错的得有选错的得 0 分分 9.某新能源车厂家 2015-2023 年新能源电车的产量和销量数据如下表所示年份201520162017201820192020202120222023产量(万台)3.37.213.114.818.723.736.644.343.

7、0销量(万台)2.35.713.614.915.015.627.129.731.6记“产销率”=销量 产量 100%,2015 2023 年新能源电车产量的中位数为 ,则（）A.=18.7B.2015-2023 年该厂新能源电车的产销率与年份正相关C.从 2015-2023 年中随机取 1 年,新能源电车产销率大于 100%的概率为 29D.从 2015-2023 年中随机取 2 年,在这 2 年中新能源电车的年产量都大于 的条件下,这 2 年中新能源电车的产销率都大于 70%的概率为 1610.已知动点,分别在圆 1:(1)2+(2)2=1 和 2:(3)2+(4)2=3 上,动点 在 轴上

8、,则（）A.圆 2 的半径为 3B.圆 1 和圆 2 相离C.|+|的最小值为 2 10D.过点 做圆 1 的切线,则切线长最短为 311.若有穷整数数列:1,2,(3)满足:+1 1,2(i=1,2,1),且 1=,=0,则称 具有性质 .则（）A.存在具有性质 的 4B.存在具有性质 的 5C.若 10 具有性质 ,则 1,2,9 中至少有两项相同D.存在正整数 ,使得对任意具有性质 的 ,都有 1,2,1 中任意两项均不相同三、填空题三、填空题:本题共本题共 3 个小题个小题,每小题每小题 5 分分,共共 15 分分.12.已知等差数列 的公差 0,首项 1=12,4 是 2 与 8 的

9、等比中项,记 为数列 的 前 项和,则 20=_.3学科网（北京）股份有限公司13.如图,函数()=3sin(+)(0,0 0,0)的左、右焦 点分别为 1,2,的离心率为 2 点 为 右支上一动点,直线 与曲线 相切于点 且与 的 渐近线交于,两点.当 2 轴时,直线 =1 为 12 的等线(1)求 的方程;(2)若 =2 是四边形 12 的等线,求四边形 12 的面积;(3)设 =13,点 的轨迹为曲线 ,证明:在点 处的切线 为 12 的等线19.(17 分分)已知 为坐标原点,曲线()=ln 在点(1,0)处的切线与曲线()=e+在点(0,1+)处的切线平行,且两切线间的距离为 2,其

10、中 0.(1)求实数,的值;(2)若点,分别在曲线 =(),=()上,求 与 之和的最大值;(3)若点,在曲线 =()上,点,在曲线 =()上,四边形 为正方形,其面 积为 ,证明:2e 122附:ln2 0.693.5学科网（北京）股份有限公司2024 青岛三模数学试题青岛三模数学试题数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.1-8:CDAC BCBD二、多项选择题二、多项选择题:本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 6 分分,共共 18 分分.9.ACD 10.BD 11.ACD

11、三、填空题三、填空题:本题共本题共 3 个小题个小题,每小题每小题 5 分分,共共 15 分分.12.105;13.()=3sin2+56;14.109.四、解答题四、解答题:本题共本题共 5 小题小题,共共 77 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤15.(13 分分)解:(1)因为,为 的内角,所以 sin(+)=sin 1 分因为 sin22=1 cos2.2 分所以 sin(+)=2 3sin22 可化为:sin=3(1 cos)3 分即 sin+3cos=3 4 分即 2sin +3=3 5 分因为 +33,43,解得:=3 6 分（2）由

12、三角形面积公式得 12 sin=123 217,所以 =72 9 分由余弦定理 2=2+2 2cos 得:2+4 12=0 11 分解得:=2 或 =6 舍去6学科网（北京）股份有限公司所以 的周长为 5+7 13 分16.(15 分分)解:(1)根据列联表中的数据,经计算得到:2=100(1535 545)260408020 3.278 2.706=0.1 3 分根据小概率值 =0.1 的独立性检验,可以认为性别与身高有关联 4 分（2）由题可知 的可能取值为 0,1,2,3,(=0)=C310C315=2491,(=1)=C15C210C315=4591,(=2)=C25C110C315=

13、2091,(=3)=C35C315=291,8 分所以 的分布列为:0123249145912091291所以()=0 2491+1 4591+2 2091+3 291=1,所以 的数学期望为 1 10 分(3)由题,18 名男生身高数据的平均数 =49 166.5+59 180=174 11 分18 名男生身高数据的方差 2=1188=1()2+10=1()2=1188=1(+)2+10=1(+)2=1188=1()2+8()2+10=1()2+10()2=49 12+()2+59 22+()2=597学科网（北京）股份有限公司所以,该中学男生身高数据的平均数约为 174,方差约为 59 1

14、7.(15 分分)解:(1)取,中点,连接,则 为 的中点,因为侧面 是等腰梯形,所以/,又/,所以/1 分 又 =,所以四边形 为等腰梯形因为点 为 的中点,所以所以 .2 分因为 是等边三角形,所以 3 分又 ,所以 平面 所以平面 平面 故 平面 (2)在梯形 中,=4,=2,=3,由勾股定理得 =2,取 中点 ,由(1)知,两两垂直,以 为原点,分别以,所在直线为 轴,轴,轴建立如图所示 空间直角坐标系,则(0,0,0),(0,0,2),(1,0,0),(1,1,0),(1,1,0)(1,1,0),(2,0,2)设平面 的法向量为 =(,),=(0,2,0),=(1,1,2),则 =2

15、=0 =+2=0,则令 =1,得 =(2,0,1)设 =(0 1),=+=+=(2 ,2)设直线 与平面 所成角为 ,所以 sin=|cos|=|=|2 2|3 424 4=2 4221.解得 =12(负值舍去),所以点 为棱 的中点,所以 的长为 1.18.(17 分分)解:(1)由题意知 ,2,1(,0),2(,0),显然点 在直线 =1 的上方,因为直线 =1 为 12 的等线,所以 2 1=2,=2,2=2+2 2 分 解得 =1,=3,所以 的方程为 223=1 4 分（2）设(0,0),切线:0=(0),代入 223=1 得:(3 2)2+2(0 0)220+20 200+3=0,

16、所以 =2(0 0)2+4(3 2)202+02 200+3=0,8学科网（北京）股份有限公司该式可以看作关于 的一元二次方程(02 1)2 200+02+3=0,所以 =00201=0012031=300,即 方程为 0 03=1()当 斜率不存在时,也成立 6 分渐近线方程为 =3,不妨设 在 上方,联立得=1003,=1003,故+=1003+1003=20,所以 是线段 的中点.7 分因为 1,2 到过 的直线距离相等,则过 点的等线必满足:,到该等线距离相等 且分居两侧,所以该等线必过点 ,即 的方程为 =2,由 =2223=1,解得:(3,6).9 分所以=3=3003=3300=

17、6+3,所以=3=3003=3300=6 3,所以|=6,所以=12|12|=2|=12 11 分（3）设(,),由 =13,所以 0=3,0=3,故曲线 的方程为 92 32=1(0)12 分由(*)知切线为 为 903 303=1,即 0 03=13 即 30 0 1=0 13 分易知 与 2 在 的右侧,1 在 的左侧,分别记 1,2,到 的距离为 1,2,3,由(2)知=1003,=3 1003=3003,所以 3=|30003300031|92020=|3030003003|92020=|20203003|92020=292020由 0 1 得 1=|601|92020=601920

18、20,2=|601|92020=60192020 15 分因为 2+3=60192020+292020=60192020=1,所以直线 为 12 的等线.17 分9学科网（北京）股份有限公司19.(17 分分)解:(1)因为()=,所以(1)=,又因为()=e,所以(0)=1,解得 =1 1 分所以()在(1,0)处的切线方程为:=(1)=1,所以()在(0,1+)处的切线方程为:=+1+,所以 2=|2|2=2 2,解得 =0 3 分（2）(法一)由（1）知：(1,0),(0,1),记直线,的倾斜角分别为,斜率分 别为 1,2,所以 =,设(,),0 且 1,所以 tan=tan()=121

19、 12=e 1e1e 1e=e2 e2 5 分令()=e2 e2(0,1),则()=e(23 1 e2)(2 e2)2,当 0 时,设函数()=e 1,则()=e 1 0,所以()在(0,+)单调递增,所以()(0)=0,即 e +1 1,所以 2 3+1 e2 2 3+1 (+1)2=5 0,所以()在(0,1),(1,+)均单调递减,且(1)=1e 1 6 分当 1 e2 0,所以()在(,0)单调递增,所以()(0)=1 8 分 当 =0 时,tan=1;当 =1 时,tan=1e,所以,当点 坐标为(0,1)时,最大为 4同理,函数()=ln 与()=e 的图象关于直线 =对称,且,也

20、关于直线 =对称,所以 最大为 4,所以 与 之和的最大值为 2 10 分(法二)由(1)知:(1,0),(0,1),点,在圆:122+122=12 上.5 分 下面证明:直线:=+1 与圆 和曲线 =()均相切,因为圆 的圆心到直线 的距离为 12=22,所以直线 与圆 相切,即,除点(0,1)外,圆 上的点均在直线:=+1 下方 6 分 又因为()=e(+1),则()=e 1,所以()在(,0)单调递减,在(0,+)单调递增,所以()(0)=0,10学科网（北京）股份有限公司即,除点(0,1)外,曲线 =()上的点均在直线:=+1 上方.8 分 所以,当点 坐标为(0,1)时,最大为 4同

21、理,函数()=ln 与()=e 的图象关于直线 =对称,且,也关于直线 =对称,所以 最大为 4,综上知:与 之和的最大值为 2 10 分（3）因为曲线 =(+1)+1 与与曲线 =()与有唯一交点,且关于 =+1 对称,并分居两侧,所以曲线 =()的上的点到曲线 =()上的点的最小距离 2,且此时 这两点只能为(1,0),(0,1),假设函数()=ln 与函数()=e 的图象关于直线 =+对称,则点(1,0)关于 =+的对称点 在()=e 上,点(0,1)关于 =+的对称点 在()=ln 上,因为|=|=2,所以 与 重合,与 重合,所以,=是函数()=ln 与函数()=e 的图象的唯一对称轴,所以,和,分别关于直线 =对称,12 分设(1,ln1),(2,ln2),(3,e3),(4,e4),其中 1 2,4 0)的零点为 1,因为()=e+1 2 +1+1 2=+1 1 2 1 1=1 0,所以()在(0,+)单调递增,故 12=e ln2 1 e 0.69 1=e 1.69 0,所以 12 1 0),则()=e 1 0,所以()在(0,+)单调递增,所以 =2(2 1)2=2(e1 1)2 2e 122 17 分