2024届襄阳四中押题卷高三数学试题含答案.pdf

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1、数学答案第 1 页（共 8 页）数学答案第 2 页（共 8 页）2024 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（四）数学参考答案数学参考答案一、单选题：1、C2、B3、D4、D5、B6、A7、A8、B6、【答案】A【解析】因为，所以，又因为，构成等比数列，所以，所以，解得或显然数列的公比，所以不合题意，舍去，故7、【答案】A【分析】利用中位线定理，结合截直线1PF的弦长为3b求出2PFb，再结合椭圆定义和勾股定理得到,a b c的关系，从而得解.【解析】如图，取弦AB的中点 D，连接OD，则ODAB，即1PFOD，因为12PFPF，所以2/ODPF，因为O为12FF的中点，所以D是1PF的中

2、点，所以22 ODPF，因为12PFPF，所以OD垂直平分弦AB，因为rb，32BCb，所以223122ODbbb，所以2PFb，由椭圆定义可得12122,2PFPFa FFc，所以22222224abbcabc，解得35,22ab cb，所以离心率为53，故选：A.8、【答案】B【解析】记至少有两个球颜色相同的事件为A，两球颜色不同的事件为B，因此212244348CC C264 3 427()C7035P A ，1224348C C24 3 424()C7035P AB，所以有两个是同一颜色的球，则另外两个球不是同一颜色的概率为()8(|)()9P ABP B AP A二、多选题：9、BD

3、10、CD11、ACD11、【答案】ACD【解析】设直线AB与直线12,l l分别交于G、H，由题可知2GAAF，3FBBH，所以10GHMN，5AB，故 A 正确；如图以A为原点建立平面直角坐标系，则2,0F，1:2lx ，所以抛物线1的方程为28yx，连接PF，由抛物线的定义可知PFMP，PFNP，又10MN，所以5MP，所以3Px，代入28yx，可得2 6Py，所以4 6MTNS，又10MN，故四边形MNST的面积为40 6，故 B 错误；连接QF，因为QFQTQS，所以QFTQTF，QFSQSF，所以22QTFQFTQFSQSFTFSQFTQFS，故0FS FT ，故 C 正确；根据抛

4、物线的对称性不妨设点D在封闭曲线APBQ的上部分，设,C D在直线12,l l上的 射 影 分 别 为11,C D，当 点D在 抛 物 线BP，点C在 抛 物 线AQ上 时，11CDCCDD，当,C D与,A B重合时，CD最小，最小值为5CD，当D与P重合，点C在抛物线AQ上时，因为3,2 6,2,0PF，直线:2 62CD yx，与抛物线1的方程为28yx联立，可得2313120 xx，设1122,C x yD xy，则12133xx，所以122543CDxx，所以255,3CD当点D在抛物线PA，点C在抛物线AQ上时，设:2CD xty，与抛物线1的方程为28yx联立，可得28160yt

5、y，设3344,C x yD xy，则348yyt，则2343448888CDxxt yyt，当0t，即CDAB时取等号，故此时258,3CD；当点D在抛物线PA，点C在抛物线QB上时，根据抛物线的对称性可知，255,3CD；综上可得255,3CD，故 D 正确三、填空题：12、3513、37614、33314、【解析】在ABD中，22229ABBDADAD，cos3ADADADBBD，在ADC中，由余弦定理得，2222cosACADCDAD CDADC222cosADCDAD CDADB21 23ADADAD 2513AD，又因为ABAC，所以29AD2513AD，解得3AD，从而226AB

6、ACBDAD，3sin3ADABDBD.设ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得623 2sin33ACRABD，故3 22R.所以()AB AMABAOOM AB AOAB OM 6632AB OMAB OM ，当AB 与数学答案第 3 页（共 8 页）数学答案第 4 页（共 8 页）OM 同向时，AB AM 取得最大值为3 23633 33(31)2AB AM .四、解答题：15.【解析】()f x的定义域为0,1fxax,若0a,则 0fx,f x在0,是单调递增；若0a,则当10,xa时 0fx,当1,xa时 0fx,所以 f x在10,a单调递增,在1,a单调递减()由()知当0a 时

7、 f x在0,无最大值当0a 时 f x在1xa取得最大值,最大值为111ln1ln1.faaaaaa 因此122ln10faaaa 令 ln1g aaa，则 g a在0,是增函数，10g于是，当01a时,0g a，当1a 时 0g a，因此 a的取值范围是0,116.【解析】（）0.020.030.050.050.150.050.040.0121a，0.1a.（）由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在12,14，14,16，16,18三组的频率之比为0.05:0.04:0.015:4:1，10人中，周平均阅读时间在12,14的人数为510510人；在14,16的人数为410410人；在16,

8、18的人数为110110人；则X所有可能的取值为0,1,2,3，36310C2010C1206P X；2164310C C6011C1202P X；1264310C C3632C12010P X；34310C413C12030P X；X的分布列为：X0123P1612310130数学期望1131601236210305E X.（）用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取1名学生，周平均阅读时间在8,12内的概率10.150.120.52p；则 202020202020C11C1C222kkkkkkkP kpp，若 P k最大，则20Ck最大，当10k 时，P k取得最大值.17【解析】（）AB

9、为圆O的直径，C是圆O上异于,A B的点，故90,ACBCBAC，又30,6,tan2 3BACACMCMAACBCBAC，而2224 3,MBBCMCMBBCMC.,ACMCC AC MC平面MAC，BC平面MAC.BC 平面,MBC 平面MBC 平面MAC.（注：也可以由4 3,ABMB ACMC BCBC，证明ABCMBC，得出BCMC）（）设D为AC的中点，连接,DM DO，则MDAC，ODAC由（1）可知，BC平面MAC；所以BCDM,ACBCC AC BC平面ABC，DM平面ABC，如图以D为原点，分别以,DA DO DM所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系，由题意可得3,0,

10、0,3,0,0,3,2 3,0,0,0,3 3ACBMOO 平面,ABCDMOO，四边形ODMO为矩形，0,2 3,3 3N设平面MBC的一个法向量为1111,nx y z，3,0,3 3,0,2 3,0MCBC 由11111033 3002 30n MCxznBCy ，令11z ，可得113,0 xy，即13,0,1n，设平面NAB的一个法向量为2222,nxy z，6,2 3,0,3,2 3,3 3ABAN 由2200nABnAN 得2222262 3032 33 30 xyxyz，令23x，可得223,1yz，即23,3,1n .设平面MAC与平面NAB的夹角为则121230 12 13

11、cos1339 13 1n nn n 平面MAC和平面NAB夹角的余弦值为2 1313.18.【分析】（）由题意结合双曲线的性质，即可求得答案；（）方法一：设1,0A，11,M x y，22,N xy，设MN：ykxm，联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，进而求出,P Q两点的纵坐标，结合2pQyy，即可求得参数,m k之间的关系，代入ykxm，即可求得答案；方法二：设1,0A，1,1Pr，1,1Qr，11,M x y，22,N xy，利用AP，AQ的方程求出1y，1x，22,xy的表达式，即可得,M N的坐标，从而求出MN的方程，可推出过定点，即可求得答案；方法三：设1,0A，1,1Pr，

12、1,1Qr，11,M x y，22,N xy，可得1APAQkk，设MN：11m xny，联立双曲线方程化简得出221 21210mxn xyy，变形后利用根与系数的关系可得出12122111APAQyykknxx，求出 n，即可推出MN过定点，即可求得答案.数学答案第 5 页（共 8 页）数学答案第 6 页（共 8 页）【解析】（）（）由题意可知双曲线12yx的实轴在yx上，联立12yxyx，解得2222xy或2222xy ，即双曲线12yx的两顶点为2222(,),(,)2222，故实轴长为222222222222a；（）将曲线0C绕原点顺时针转4，得到曲线C，曲线C的方程为221xy；（

13、）方法一：设1,0A，11,M x y，22,N xy，显然直线MN的斜率存在，设MN：ykxm，联立C：221xy得2221210kxkmxm，所以22410mk，12221kmxxk，212211mx xk，因为MA：1111yyxx，令1x，则1121Pyyx，同理，2221Qyyx，依题意得2pQyy，由得，22222kmmkmk，所以20mkmk，即mk或2mk，若mk，则MN：1yk x过点 A，不合题意；若2mk，则MN：12yk x所以，MN恒过1,2G ，所以，max2dAG当且仅当MNAG，即0k 时取得，此时MN方程为2y ，结合221xy，解得5,2N，51Qy ，15

14、Qry，综上所述，点 A 到直线MN距离的最大值为 2，此时圆E的半径为5；方法二：设1,0A，1,1Pr，1,1Qr，11,M x y，22,N xy，则AP：211xyr，AQ：211xyr，联立2210 xy，得22441011yyrr，0Ay 为此方程的一根，另外一根为1y，则124 141ryr，代入AP方程得，114821rx，同理可得224 141ryr，228141xr，即224 181,4141rMrr，224 181,4141rNrr，则2212154MNyyrkxx，所以直线MN的方程为222584(1)144141rryxrr25124rx，所以直线MN过定点1,2G

15、,所以max2dAG当且仅当MNAG，即2504MNrk时取得，解得5r,综上所述，点 A 到直线MN距离的最大值为 2，此时圆E的半径为5；方法三：设1,0A，1,1Pr，1,1Qr，11,M x y，22,N xy，则11122APAQrrkk，依题意，直线MN不过点 A，可设MN：11m xny，曲线C的方程221xy改写为22111xy，即221210 xxy，联立直线MN的方程得2212110 xxm xnyy，所以221 21210mxn xyy，若=1x，则0y，代入直线MN方程，无解；故1x ，两边同时除以21x得2221011yynmxx，则24840nm，12122111A

16、PAQyykknxx 得12n ，在直线MN：1112m xy中，令=1x，则=2y，所以，MN恒过1,2G ，所以，max2dAG，当且仅当MNAG，即0,0MNkm时取得，此时1 040 ，符合题意，且MN方程为2y ，解得5,2N，51Qy ，15Qry，综上所述，点 A 到直线MN距离的最大值为 2，此时圆E的半径为5【点睛】难点点睛：本题考查双曲线方程的求解以及直线和双曲线位置关系的应用，其中的难点是求解最值问题，解答时要注意利用直线方程和双曲线方程的联立，利用根与系数的关系式进行化简，难点就在于化简的过程十分复杂，计算量大，并且基本上都是有关字母参数的运算，需要有较强的计算能力.数

17、学答案第 7 页（共 8 页）数学答案第 8 页（共 8 页）19.解：（）4A：3，1，7，5，任意两项和的结果有 4，6，8，10，12 共 5 个，而45a，所以具有性质 P.5A：2，4，8，16，32，任意两项和的结果有 6，10，12，18，20，24，34，36，40，48 共10 个，而532a，所以不具有性质 P.4 分（）对于数列6A：2，4，8，16，32，m，任意两项和不同的取值最多有 15 个，所以15m.而5A：2，4，8，16，32 中任意两项和的结果有 10 个，且全是偶数.（i）当m为奇数时，15iami 都是奇数，与前 5 项中任意两项和的值均不相同，则6A

18、：2，4，8，16，32，m中所有16ijaaij 的值共有 15 个，所以15m.7 分（ii）当m为偶数时，15iami 都是偶数，所以1015m.所以10,12,14m.10m 时，103242在前5项中任两项和的结果中未出现，所以6A：2，4，8，16，32，m中任意两项和的不同值的个数大于10，即10m，矛盾.12m 时，123244，12 1628，12214这三个结果在前5项中任意两项和的结果中未出现，所以6A：2，4，8，16，32，m中任意两项和的不同值的个数大于12，即12m，矛盾.14m=时，6A：2，4，8，16，32，m中任意两项和的不同值有 6，10，12，16，1

19、8，20，22，24，30，34，36，40，46，48 共14个，成立.综上，14m=或15m.10 分（）2024a存在最小值，且最小值为4045.将2024A的项从小到大排列构成新数列2024B：122024,b bb，所以1213120242202420232024bbbbbbbbbb.所以12024ijbbij 的值至少有202320224045个.即12024ijaaij 的值至少有4045个，即20244045a.13 分数列2024A：1，3，5，4043，4047，4045 符合条件.2024A：1，3，5，4043，4047，4045 可重排成等差数列2024B：1，3，5

20、，4045，4047，考虑12024ijbbij，根据等差数列的性质，当2024ij时，11ijijbbbb；当2024ij时，ijij nnbbbb，因此每个12024ijbbij 等于122024kbbk中的一个，或者等于202412023lbbl 中的一个.所以2024B：1，3，5，4045，4047 中12024ijbbij 共有 4045 个不同值.即2024A：1，3，5，4043，4047，4045 中12024ijaaij 共有 4045 个不同值.综上，2024a的最小值是 4045，一个满足条件的数列2024A：1，3，5，4043，4047，4045.17 分【点睛】方法点睛：对于数列的新定义，可根据数列nA具有性质P，根据其定义1ijaaijn 中所有不同值的个数作为解题的思路进行分类讨论，从而即可求解.