浅谈初等数学与高等数学的结合.doc

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1、(设计)浅谈初等数学与高等数学的结合XVII摘 要随着时代的发展，数学渗透到人类生活的各个领域，数学学科也越来越受到重视。我国新一轮的基础教育改革，把初等和高等数学教育联系起来是改革的主要方向之一。这也显露出， 初等数学与高等数学，看似是升学阶段不同的学习内容，实质是数学学习的提升与范围的扩延，是对立统一相互渗透的关系，做好初等数学与高等数学结合的研究，对促进教育改革和教学学习有重大意义。本文采用了比较分析，演绎的研究方法，通过研究初等数学与高等数学的结合现状，结合前人的理论性研究和教育学理论，试图更具体展现初高等数学在数学内容，数学思想，教学方法几方面的结合，揭示两者在发展过程中互相渗透互相

2、推动的实质。并针对两者在发展过程中存在过渡与衔接、结合的必要性等问题上，提供了更直接的观点支撑和促进结合的相关建议。关键词： 初等数学；高等数学 ；结合现状；结合建议AbstractWith the development of the times, mathematics has penetrated into all areas of human life, and the subject of mathematics has become more and more important. Chinas new round of basic education reform, linkin

3、g primary and higher mathematics education, is one of the main directions of reform. This also reveals that primary mathematics and advanced mathematics seem to be different learning content in the advanced stage. The essence is the improvement and extension of the scope of mathematical learning. It

4、 is the unity of opposite and unified penetration. It is a good combination of primary mathematics and advanced mathematics. Research is of great significance to promoting education reform and teaching and learning. This article adopts a comparative analysis and deductive research method. By studyin

5、g the current situation of the combination of elementary mathematics and advanced mathematics, combining previous theoretical research and pedagogical theories, this article attempts to show more specifically the content of mathematics, mathematical ideas, and teaching methods The combination of sev

6、eral aspects reveals the essence of mutual penetration and mutual promotion in the development process of the two. It also provides more direct perspective support and relevant suggestions to promote the integration of the two during the development process, such as the need for transition and conve

7、rgence, and the necessity of combination.Key Words: elementary mathematics；advanced mathematicscombining the status quo；combining suggestions 目 录一 前言数学教育是贯穿在从幼儿园开始到大学教育的每一个阶段，但每个阶段是紧密相连和相互依存的。 所有阶段的联系都是一个非常重要的问题，特别是中学与大学之间的联系问题。随着时代的发展，数学渗透到人类生活的各个领域，数学学科也越来越受到重视。随着我国进行新一轮的基础教育改革，把初等和高等数学教育联系起来是改革的主

8、要方向之一。 作为一系列新的基础教育改革，初等教育采用了新的标准，其中许多大学基础知识已经纳入初等数学课程。但由于教育资源的限制，大学教育的改革仍然无法与基础教育的改革达到步伐一致。 因此，大学的教学方法、学习方法和学习内容存在着和中学学习不能顺利接轨的问题。 若想深化教育改革让数学教育跟上时代发展步伐，让学生具备全面的认识，实现高中数学和谐过渡到高等数学的学习，就必须对中学数学与大学之间的联系进行深入分析，并找到内在的联系。本文将从下列范围进行分析，根据初等数学与高等数学的结合现状出发，以高等数学对初等数学的渗透，以初等数学向高等数学的延伸展开讨论。基于数学改革理论，基于比较和分析的方法，以

9、及基于学者专家的结论。 从教学内容、教学方法、教学思想等方面来看。 对初等数学教育与高等数学教育之间的关系进行更全面的分析，并在新课改背景下，就如何更好地开展关于促进初等数学与高等数学结合，以及针对目前存在的问题，就如何促进教师教学以及帮助大学新生适应学习转换，提出相关建议以及观点。从而为提高教育质量，改善教育质量，贯彻素质教育理念和创新型教育做出贡献。（一）已有研究综述 1.1国内研究范围国内对初等数学与高等数学两者的研究，主要从数学思想、解题方法、涵盖的同层次知识点等方面切入，并以实际数学题为例子，阐述说明二者的区别、分析初等数学蕴含的高等数学思想、运用高等数学原理解决初等数学习题等，考察

10、了两者的区别、联系和应用，并从教师角度给出帮助大学新生快速适应高等数学思路的教学建议，以及对学生学习的教育建议，包括对促进初高等数学结合的教育改革措施建议。我国某些学者认为，高等数学是通过竞赛思想渗透到初等数学的。调查发现，我国大部分学生为了迈入高等学府门槛，在中学时就学习奥林匹克数学成为一种应试趋势，而奥林匹克数学题中很多需要用到高等数学视角去解答，高等数学思想就不知不觉中渗透到学生的学习中去。1.2教学内容的结合研究王菊韵先生指出，由于初等数学研究的对象是不变的，具体的和直观的变量，因此学习初等数学的思维方式与我们日常生活具备的思维相同。高等数学研究的是一般的抽象变量，所以我们不能依然用基

11、础数学的思维和学习方法来学习高等数学。教师应引导学生改变固有的思维方式和学习方法，并尝试使学生的思维多样化，以便他们能够理解和解释问题。刘先忠老师通过分析高观点下的初等数学，揭露其存在联系的本质，并用高等数学方法解初等数学题的例子加以证明。1.3数学思想和思维方式的研究2003年，侯为民老师从教学思想和思维方法等方面研究了初等数学与高等数学之间的联系和差异。他认为，大学数学是基础数学尤其是高中数学知识的延伸和发展，思维方法是数学思想的继承和发展。他的研究发现，高等数学和初等数学在教学思想上存在差异，大学的学习会更强调数学思想的应用，中学数学提及的函数与方程、化归和数形结合等思想，在高等数学里会

12、进一步应用和拓展，并且还增加了数学建模和极限等思想。2000年，季素月和钱琳曾经对大学生的数学思维方式和学习情况进行了调查。他们发现，学生通常很难学习高等数学，具体来说是很难将数学等同于解决问题的方法，还表现出学习动机薄弱，学习目标不明确和学习态度不端正等现象，以致于大学教师的教学方法产生了不协调感。而要克服这问题就要对学生有所要求，2007年，马俊文老师提出了一种有效的方法，即根据大学数学学习中存在的问题来改变数学学习方法：定期阅读，关注实践，与现实联系，自我反省等。1.4教育理论研究大多数西方学者认为，大学生从高中到大学的学习需经历: 分离、过渡和融合三个阶段，第二阶段尤为重要，大学生适应

13、性研究主要是指对过渡时期的研究。西方学者善于结合青少年发展理论，强调素质教育和以人为本为理念，分别从青少年认知，最近发展期，以及建构主义等教育理论，说明初等数学与高等数学的结合必要性和实际性。 近年来，“初等数学与高等数学的结合”问题越来越受到人们的重视。数学专家学者和国际教育组织最近几年召开会议探讨了初等数学与高等数学结合趋势和讨论建议，并落实到学科课程改革。1997年11月，国际数学教育理事会在英国举办了一次数学教育研讨会，探讨了如何从高中过渡到大学，高中与大学之间的差异和联系以及如何改善大学教师的教学方法，与中学教师保持良好的联系。“中学数学的性质和大学数学的性质一样吗？中学数学的教学方

14、法可以用于大学数学吗？”我们应该找到合适的教学方法，注意不同省份的学生基础，并根据自己的能力进行教学。” 1998年12月在新加坡举行的国际研讨会，讨论大学数学教学的模式以及实现从中学到大学数学的和谐过渡的措施。陈树枝老师总结了目前大学新生不能适应大学生活的原因，发现大学数学与中学数学在教师的教学和学生的学习方面存在很大的差异，中学数学直观易懂，高等数学抽象复杂，加上中学教师相当于手把手教学，而大学教师只是课堂传授，课后由学生自觉学习。 这已经导致了大学生在学习数学时感到迷踪困惑，感到吃力。 许多人认为，优秀的学生可以自己学习，并可以找到结合的方法。他们的学习习惯从小学数学适当过渡到高级数学，

15、但事实并非如此，相反，巴塞罗那大学C. 阿卡西纳的研究表明，面对陌生环境的新生将陷入学习混乱和不能及时找到原始的学习状态。1.5问题和现状著名学者袁本涛和温福祥认为，基础数学与高级数学的结合是界线讨论的热点。它不仅引起了中国的广泛关注，也引起了外国学者的广泛关注。他们还一致认为，基础数学和高级数学相结合的问题包括：一方面，高中数学课程增加了内容的难度，扩大了知识的范围，但学生们并没有真正掌握解决问题。另一方面，在教科书的内容中，我们必须充分考虑学生的现有知识储备和思想。法律允许学生逐步构建知识体系。为了促进数学的结合，它不能违反学生身心发展的特点。言而总之，数学教育者一直高度重视基础数学与高等

16、数学之间的关系，并且已经取得了一些成果，但是没有进行深入而详细的研究。因此，有必要探索基础数学与高级数学之间的关系。近年来，随着中外数学教育研究的频繁交流和中国通识教育的积极推进，基础数学与高等数学教学关系的研究前景在计算机科学领域变得越来越广泛和清晰。数学。可以预见，随着研究的逐步深入，数学教育理论将更加完善，科学，严谨，数学教学理论将树立更多的里程碑。二 初等数学与高等数学的区别与联系（一）教学内容与研究对象不同初等数学研究的一般是常量，课程内容包含代数，平面几何，立体几何，导数，三角函数，概率论等。高等数学研究的是变量，课程内容包含空间解析几何，极限，无穷级数，微积分等。我们可以知道，平

17、面几何是解析几何的基础，微积分是导数的加深。由此也可以得出，初等数学是固定数学的基础，而固定数学是初等数学的拓展和延伸。两者研究对象不同，是由于知识背景和课程目标不同。例如，在中学阶段只要求会求定点之间的距离，而在高等数学中则要求会解不定点到定点的轨迹与距离函数；初等数学研究矩形的周长与面积，高等数学要求研究曲线的长度与曲面面积；初等数学研究导数，高等数学研究极限思想与极限求和。数学专业的学生，尤其是毕业后从事中学教学的学生，不免会发现，我们在教书时根本用不到大学学习的专业内容，反而要用中学学过的知识去讲授，难免产生困惑，究竟中学数学与大等数学有什么联系呢，我们学习大学数学的意义在哪。但是等我

18、们真正在课堂上教授时，大脑就会不知不觉地回忆大学老师的讲授方式去讲解中学知识点，殊不知，高等数学对初等数学有指导作用，只有掌握了高等数学的理论，才能讲授好初等数学的代数知识。这也说明，虽然初等数学与高等数学存在联系，但两者的教学内容与研究对象并不相同的合理性，理论的贯通并不拘束于内容层面的一致。（二）数学思想不同初等数学是用静止的观点研究常量，高等数学则是用运动的观点分析变量的存在性与可能性。例如，中学阶段求得的解定义在实数范围内，不在实数范围内则可舍去称无解。在大学阶段，学习高等数学，用复数域观点去解题，往往有多个解，解既有实数又有复数。又如，中等数学在求不规则平面面积时通常会分割成若干个规

19、则的单位面积然后求和，高等数学则利用极限思想，经过曲线的分割求和，得到近似面积。再比如，中学数学是用连续函数作为工具，高等数学则是用间断函数来求解问题，还要求会找间断点判断函数类型。总之，高等数学思想是初等数学的拓展与延伸，我们掌握了两者的联系，在学习时能灵活运用相关定义,促进教师的教与学生的学。三 初等数学与高等数学的教学内容结合研究在新一轮课程改革背景下，初等数学教学内容添加了大学需要学习到的基础内容，将线性规划、极限、概率论、数理统计等知识放入了高中课本中，而在大学数学课堂上，为了让学生跟上极限证明及推导的连续抽象理解，让学生在古典概型的基础上深入学习，又要回过头去回忆高中学过的预备知识

20、，从而有一种概念熟悉感和计算基础，进而对大学新内容的学习起来有一种预备心理，学习起来更加得心应手。 不仅如此，我们在大学阶段的学习会发现，很多题型我们在中学已经接触过甚至用初等数学的方法解过，而到了大学，老师则要求我们在已有的认识上，用大学的方法，即高观点来解决，达到一题多解。比如，研究常量的初等数学在解方程时：。由于都是常数，故未知数有解。但在大学内容中，我们却可以用矩阵来求解方程，将方程组系数列成增广矩阵，通过化解矩阵为阶梯型来得到方程的解，如,其中是矩阵，则。这便是初等数学和高等数学在例题中展现的契合点。又如，中学阶段求解不规则多边形面积时，需将所围面积分割成单位面积，再求和近似得到。而

21、高等数学则是运用线性规划的理论直接求得面积。同一类题，分别用不同的方法和视角来求解，发散了学生的思维，拓宽了学生的知识面，完善了数学教育理论。以此我们可以看出出高等数学两者在数学内容上的具体结合。（一）数学思想和解题方法结合研究初等数学与高等数学在内容上的结合可以从题的讲解和分析中概括出来，但是数学思想是潜移默化地互相渗透，解题方法是在建立知识体系的网格上，信手拈来地加以沿用。初高等数学蕴含着对立统一的规律，其中常量与变量直与曲，有限与无限，间断与联系等数学思想从概念上看是分离的，从思想方法上看又是互相渗透互相关联的。数学中最常用，也是分布在初等数学阶段和高等数学阶段的数学思想有，分类讨论法，

22、综合分析法，演绎归纳法，对比联想和化归法等。上述思想在高等数学中得到进一步强化和细致。学生在中学阶段只要求了解数学思想及会判断求解过程中运用到的思想，在高等数学中不仅要掌握数学思想的核心理念，还要会结合解答步骤回扣到数学思想的每个环节中。如归纳推理，归纳推理是从特殊到一般的理论，在初等数学中用来解决固定步骤的推理证明题，并且得出的结论一般与题干一致。在高等数学中，归纳推理要结合数学语句得到某个不能直接证明的的普遍解释，不仅仅只是停留在某个数学结论，而是从个别和特殊出发，推理概括出一般性的原则和原理，即从对个别的认识上升到对事物的一般性规律总结。中学学习的解题方法有：代数中的消元法，错位相消法和

23、判别式法。几何中的平移，旋转，割补法。换元法，参数法，反证法等等。因为高等数学是初等数学的拓展和延伸，所以高等数学在化归到最简时，必然会用到初等数学的计算规律。因此，初等数学的解题方法是直接地渗透到高等数学的学习中，从教育方面定义，初等数学和高等数学是两个学习阶段。高等数学可以为初等数学提供理论支持和指导，换言之，学习好初等数学就是为高等数学学习打下了坚实的基础。因此，研究初高等数学的结合是非常必要的，打通学生在两个阶段学习的关键任督二脉，便是阐释其中的联系以及给出准确的建议。促进初等数学与高等数学结合的措施。（二）结合现状及存在问题的研究在教育改革背景下，虽然课程内容改革如火如荼地进行，但只

24、是把大学要学习的预备知识简单加到中学教材中，并没有注意其中的联系，学生在学习时，总有从中学书本跳出去学习额外附加内容的错觉，加上中学老师在面对学生一知半解时，碍于学时和教学进度，就会点到为止，只要求学生了解，到了大学再进行深入学习，这样就把皮球踢到了大学课堂。而大学老师在讲解到这部分知识时 以为学生已经学会，并不再重复赘述，只是一笔带过要求学生课下自主去复习。由于教学没有做好衔接与过渡，所以，教育地大力改革下，初等数学与高等数学的结合依然存在问题。在应试教育背景下，中学家长和毕业学校都希望学生把注意力放在高考的内容上，学习的标准是高考考不考。这样就忽略了大学需要用到的知识学习，或者是只抽出重要

25、知识点断章取义地学习，不加以深入了解，导致学生学习高等数学基础时热情减退和学习态度淡漠，因此，虽然初等数学与高等数学在教材层面做到了结合与联系，但因为在应试教育压力下，学生和家长对于学习内容具有主观性和侧重性，故大学的基础知识在中学并没有起到后面学习的联系铺垫作用，反而是一个模糊地断层，学生要想从中学学习过渡到大学学习，失了坚实桥梁，只能进行一个跨越。四 促进教学和学习的建议（一）关于教学教育方面的建议普通高中数学课程标准提出：“高中数学课程要为我国公民适应现代化生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高水平的数学素养，为学生进入高一级学校提供必要的数学准备，同时把提高学生的数学思维

26、能力作为数学教育的基本目标之一”因此初等数学教育工作要为学生提供坚实基础与走向高等数学的灯塔。一方面，教育部与各教育局要继续深入挖掘素质教育理念，根据学生掌握知识地规律和学生身心发展特点，按照循序渐进的原则，以及螺旋式地认识，积极地做好教育改革。落实好创新教育，根据课程改革内容密切做好初高等数学的联系。另一方面，要同步提高师资力量，重视增加到中学的内容。教师要有意识地引导学生，为学生以后学习高等数学买下伏笔，在课堂上引入高等数学思维，渗透思想。如，在学习曲线与坐标轴围成的面积时，就可以引入“以曲带直”，“化曲为直”等思想。在学习导数时适当引入极限的概念，拓宽学生思维。中学教师做好了高等数学的“

27、启后”工作，大学老师与做好初等数学的“承前”准备。大学新生进入大学学习数学时，需要转换数学思维，改变学习的方式，尤其是中学一味刷题巩固不加以思考的习惯，大一理科生普遍不适应学习生活。这就要求大学老师在讲解书本知识时，要结合学生已掌握基础，帮助学生找到高等数学与初等数学的结合点，帮助学生回忆与连接两者的学习。如果一笔带过而学生又云里雾里，不能达到在初等数学的基础上开展高等数学的学习新篇章。那高中课程的改革无疑白废心机，也不利于学生数学素养的提高和缺少了以后从事数学研究的关键启蒙。对于高等数学知识难度普遍较大，在教学时大学老师要根据来自不同省份学生的数学基础，适当变通，让讲课形式不限于口头讲授，尽

28、量将教材内容改编成学生易于理解和接受的形式，在推理证明时，要简化有难度的步骤，有的放矢的讲解。由于数学是来源于数学，应用于生活。因此在高等数学的教学中，既要重视理论知识的掌握，还要结合实际分析数学的实际应用，让学生能够学有所得，学以致用。加上，高考数学题受到了广泛关注，如果在教育改革中，能把高考数学中的函数题和几何题结合初等数学与高等数学的思想进行改编，别出心裁对题型进行创新，不仅能博得中学教师和学生包括家长的关注，还能引起教育界人士的关注，达到事半功倍的效果。让新课改最关心的数学衔接从试题中泛起涟漪，必然会有波浪推动初等数学与高等数学的结合。（二） 关于学生学习的建议学生在中学时期的学习不能

29、只注重知识点的学习，要发散自己的思维，掌握数学理论和数学思想。不应只限于知识框架和做题步骤，分析题型时要理清应用到的数学思想和数学思维，做一道题要用数学观点归纳一类题的共通点。在课余时间，有兴趣和精力的学生可以观摩学习奥林匹克数学竞赛题，从具体题目的求解中领略和感悟高观点下的数学。不仅如此，在平时解题时要追求一题多解锻炼发散思维，同时要培养严谨的治学态度，在对相关概念和定义的记忆上要牢固准确，对结论的得出要言之有据，进行严格地推导。在大学时期的学习，学生应及时复习和回顾中学阶段的理论方法和渗透的思想。掌握初等数学与高等数学的连接，并在已有的基础上进行大学课程的学习，深入探讨其中蕴含的思想，丰富

30、数学知识提高数学素养，以实现中学到大学学习的过渡。参考文献1教育部高等教育司，全国高等学校教学研究中心编.工科数学系列课程教学改革研究报告 M.北京:高等教育出版社,2002. 122中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验）M.人民教育出版社，2003. 43张艳,阿力非日.从高考数学谈高等数学与初等数学结合教学的必要性J.西昌学院学报(自然科学版),2019,33(01):117-120.4郑婷婷.由一道高考数学题来看中学数学与大学数学衔接问题J.大学数学, 2012, 28 (6) :139-141.5陈玮玮,刘陆军.用高等数学的思想解决初等数学中的问题J.高教学刊,2017

31、(07):86-87.6赵富.浅析初等数学与高等数学的衔接与发展J.黑龙江科学,2016,7(13):84-85.7周晨. 初等数学与高等数学衔接问题的研究D.南京师范大学,2018.8季素月、钱林.大学与中学数学学习衔接问题的研究J.数学教育学报.2000. 99王菊韵.从中学到大学数学学习思维的转换J.黑龙江高教研究.1994. 510张惠兰、童丽珍.大学数学教学与中学数学教学衔接问题研究J.荆州师范学院学报2001. 2411侯维民.从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系J.数学教育学报.2003. 1212袁本涛、文辅相.美、英、日中等教育与高等教育的衔接J.高等教育研究.1995

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