第七章 多元函数积分学.doc

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1、第七章 多元函数积分学7.1 二重积分(甲) 内容要点一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题模型I：设有界闭区域 其中在上连续，在 上连续，则模型II：设有界闭区域 其中在上连续，在上连续 则 关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II，把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域D如果既不符合模型I中关于D的要求，又不符合模型II中关于D的要求，那么就需要把D分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I或模型II中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。在直角坐标系

2、中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D，然后根据D再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。二、在极坐标系中化二重积分为累次积分在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定对进行积分，然后再对进行积分，由于区域D的不同类型，也有几种常用的模型。模型I 设有界闭区域 其中在上连续，在上连续。则 模型II 设有界闭区域其中在上连续，在上连续。则 （乙） 典型例题一、二重积分的计算例1 计算，其中D由y=x,y=1和y轴所围区域解： 如果那么先对求原函数就不行，故考虑另一种顺序的累次积分。 这时先对x积分，当作常

3、数处理就可以了。原式=例2 计算 解：原式= 例3 求 解一： 解二： 由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知二、交换积分的顺序例1 交换解 原式=其中D由和以及所围的区域由 因此按另一顺序把二重积分化为累次积分对三块小区域得原式例2 设证明：交换积分次序令 三、二重积分在几何上的应用1、求空间物体的体积例1 求两个底半径为R的正交圆柱面所围立体的体积解 设两正交圆柱面的方程为，它们所围立体在第一卦限中的那部分体积其中D为 因此 而整个立体体积由对称性可知 例2 求球面所围（包含原点那一部分）的体积解 其中D为xy平面上与x轴所围平面区域用极坐标系进行计算2、求曲面的面积（数学一）7.2 三重

4、积分(甲) 内容要点一、三重积分的计算方法1、直角坐标系中三重积分化为累次积分（1）设是空间的有界闭区域 其中D是xy平面上的有界闭区域，在D上连续函数上连续，则 （2）设其中D(z)为竖坐标为z的平面上的有界闭区域，则2、柱坐标系中三重积分的计算相当于把(x,y)化为极坐标（）而z保持不变3、球坐标系中三重积分的计算（乙） 典型例题一、有关三重积分的计算例1 计算，其中由曲面所围的区域解 例2 计算,其中由曲面所围的区域解 令 则 例3 计算 所围的区域解 用球坐标例4 计算解 二、在物理上的应用例1 求 椭圆锥面解 设重心坐标（）物体所占空间区域为由对称性可知由锥体体积公式可知令 而 因此

5、，重心坐标例2 设有一半径为R的球体，是球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到的距离平方成正比（比例系数k0）,求球体重心的位置解一：设球面方程为为 (R, 0,0)，球体的重心坐标为（）由对称性可知由区域的对称性和函数的奇偶性，则有于是 因此 解二： 设球面坐标， (0,0,0)，重心坐标（）由对称性可知 于是 7.3 曲线积分（数学一）(甲) 内容要点一、第一类 曲线积分（对弧长的曲线积分）参数计算公式我们只讨论空间情形（平面情形类似）设空间曲线L的参数方程 则 （假设）这样把曲线积分化为定积分来进行计算二、 第二类 曲线积分（对坐标的曲线积分）参数计算公式我们只讨论空间情形（平面

6、情形类似）设空间有向曲线L 的参数方程这样把曲线积分化为定积分来计算。值得注意：如果曲线积分的定向相反，则第二类曲线积分的值差一个负号，而第一类曲线积分的值与定向无关，故曲线不考虑定向。三、两类曲线积分之间的关系空间情形：设L=为空间一条逐段光滑有定向的曲线，在L上连续，则四、格林公式关于平面区域上的二重积分和它的边界曲线上的曲线积分之间的关系有一个十分重要的定理，它的结论就是格林公式。定理1、（单连通区域情形）设平面上有界闭区域D由一条逐段光滑闭曲线L所围的单连通区域，当沿L正定向移动时区域D在L的左边，函数在D上有连续的一阶偏导数，则有五、平面上曲线积分与路径无关的几个等价条件设P，Q在单

7、连通区域D内有一阶连续偏导数，则下面几个条件彼此等价1任意曲线L=AB 在D内 与路径无关2D内任意逐段光滑闭曲线C，都有3成立4D内处处有（乙） 典型例题一、用参数公式直接计算例 计算曲线积分 ，其中L是曲线，从Z轴正向往负向看L的方向是顺时针方向。解：曲线L是圆柱面和平面的交线，是一个椭圆周，它的参数方程（不是唯一的选法）最简单可取 ，根据题意规定L的定向，则从变到0，于是 二、用格林公式等性质来计算曲线积分例1、求，其中，b为正的常数，L为从点沿曲线到点（0，0）的弧解一：用格林公式，但L不是封闭曲线，故补上一段，它为从（0，0）沿y0 到的有向直线。这样构成封闭曲线，为逆时针方向于是

8、，令，根据格林公式 这里D为由L和围成的上半圆区域。另外，在上，y0，故于是 解二：我们把所给曲线积分拆成两项在中，由于，故积分与路径无关又看出 因此 而在中，取L的参数方程 t从0到于是 因此，例2、计算曲线积分，其中L是以（1，0）为圆心，R（1）为半径的圆周,取逆时针方向.解 令当时, 成立因此,不能在L 的内部区域用格林公式设法用曲线C在L 的内部又包含原点在C的内部,这样在C与L围成的二连通区域内可以用格林公式今取曲线C: 从到0为顺时针方向令C与L围成区域为D(二连通区域)根据格林公式 (逆时针) (顺时针)于是 (顺时针) (逆时针)用C的参数公式代入后，得注：这里取C为上述椭圆

9、周，最后计算最简单，如果取C为的圆周，那么最后的积分就比较复杂例3、设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数。证明：对右半平面x0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有；求函数的表达式。证 如图，设C是半平面x0内的任一分段光滑简单闭曲线，在C上任意取定两点M,N，作围绕原点的闭曲线,同时得到另一围绕原点的闭曲线.根据题设可知 根据第二类曲线积分得性质，利用上式可得0解：设P，P,Q在单连通区域x0内具有一阶连续偏导数。由知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当x0时，总有。 ， (1) ， (2)比较(1)、(2)两式的右端，得 由(3)得 ，将代入(4)

10、得 所以三、应用例 在变力的作用下一质点由原点沿直线到椭球面上第一卦限的点 问取何值时，作功W最大，并求。解：设线段OM的参数方程 ，则在OM上作功用拉格朗日乘子法求条件极值。构造函数 （1） （2） （3） （4）得 （5）由得 代入（5）得 ，则 ，同理得 ，故原点到作功最大，最大功为7.4 曲面积分（甲） 内容要点一、第一类曲面积分（对面积的曲面积分）基本计算公式设曲面S的方程 在D上有连续偏导数，在S上连续，则这样把第一类曲面积分化为二重积分进行计算二、第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）基本计算公式如果曲面S的方程 上连续，在S上连续，则若曲面S指定一侧的法向量与Z轴正向成锐角取正号，

11、成钝角取负号，这样把这部分曲面积分化为xy平面上的二重积分，其它两部分类似地处理。三、两类曲面积分之间的关系其中处根据定向指定一侧的法向量的三个方向余弦四、高斯公式定理 设是由分块光滑曲面S围成的单连通有界闭区域，在上有连续的一阶偏导数，则(外侧) 其中为S在点处的法向量的方向余弦五、斯托克斯公式定理：设L是逐段光滑有向闭曲线，S是以L为边界的分块光滑有向曲面，L的正向与S的侧（取法向量的指向）符合右手法则，函数在包含S的一个空间区域内有连续的一阶偏导数，则有也可用第一类曲面积分六、梯度、散度和旋度1、梯度 设称为u的梯度 ，令是算子则 2、散度 设则 称为的散度高斯公式可写成（外侧）其中为外

12、侧单位法向量3、旋度称为的旋度。斯托克斯公式可写成 其中（乙） 典型例题一、用基本公式直接计算曲面积分例1、设S为椭球面的上半部分，点为 在点处的切平面，为原点到的距离，求解：先求出即 由S的方程，于是这样 区域D:所以原式二 用高斯公式计算曲面积分例1计算 （常数）其中解：令曲面于是为闭下半球面的内侧设其内部区域为，令D为xy平面上圆域例2 计算其中S是不通过点（1，1，1）的球面的外侧解：设（1） 当S的内部不包含点（1，1，1）时，根据高斯公式可知I = 0（2） 当S的内部包含点（1，1，1）时，作曲面选a充分大，使的内部，于是是二连通区域的边界曲面，现在根据高斯公式（二连通区域）于是

13、在，故积分可以化简令是以（外侧）为边界的空间区域再用高斯公式例3 设对x 0内任意光滑有向闭曲面S都有其中内有一阶连续导数，且求f (x)解：设S包围的空间区域，由题设和高斯公式得由于S的任意性，可知即微分方程：得出通解由得 ，则三、用斯托克斯公式例1设的上半部，求解：根据斯托克斯公式其中L为S的边界曲线 （逆时针方向）取L的参数方程则例2 计算的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向。解：记S为平面上L所围成部分的上侧，D为S在xy坐标平面上的投影，由斯托克斯公式得四、曲面积分的应用例设有一高度为h(t) (t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数0.9），问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少时间？解：记V为雪堆体积，S为雪堆的侧面积，则由题意知由因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时。五、梯度、散度和旋度例1设解：求出微分方程的通解为任意常数例2 设，计算（1）gradu（2）div(gradu) （3）rot(gradu)解：（1）（2） 于是