《皇极历》中的漏刻与昏去中星.docx

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1、皇极历中的漏刻与昏去中星刘杜的皇极历（公元604年）是中国历史上一部创新的历史事实。刘杜在编撰条例 中创造的二次插值算法对后一种历法的编纂模式产生了重大影响。不过，皇极历的这个天文数表，有不少的错讹，严敦杰与陈美东先生对此都有校正， 但是，仍然存在不少的问题。主要的原因是，目前的研究者虽然搞清楚了这个天文表的天 文意义，但是，对其数学结构均未曾考虑。因此，很难确认已经给出的校勘是否是合适的。 本文希望从这个天文表的构造原理入手，重新考察这个问题。1夜漏与神经营卫皇极历收录在隋书律历志卷十八，在1976年中华书局编辑出版的二十四史 中，严敦杰承担了隋书律历志的校勘，其中对皇极历夜半漏刻与昏去中星

2、表的 数据给出了8条校勘为了计算每日昼夜漏刻的长度、每日昏旦时刻太阳到中星的距离，皇极历设计了一张 24气的夜半漏刻与昏去中星度天文数表。利用这个天文数表，可以构造相应的分段插值公 式，以计算每日昼夜漏刻的长度与当日昏旦时刻太阳到中星的距离。所以，讨论这个天文 表的构造方法，是一件有意义的工作。为此，我们将隋书律历志中记录的皇极历 24气的夜半漏刻与昏去中星度的原文数据照录如表1所示。为方便醒目，我们将原文的数 字均改为阿拉伯数字。夜半漏的单位为刻，1刻=100分，例如，谷雨日，夜半漏为“二十刻三半”，即这一天夜 漏刻一半的长度为20. 035亥h昏去中星的单位为度，1度=52分，是“转分”的

3、分母。例如，春分日，昏去中星为“一 百度三十七半”，即这一天的昏去中星度为由于对称性，除冬至、夏至外，其余各气的数据应该成对出现，彼此相等，为了便于比较， 我们将彼此数据应该相等的两气并列一行，分别依次罗列出两气的夜半漏与昏去中星常数。例如:查表1大寒与小雪，大寒夜半漏为二十六刻七十六”，小雪夜半漏为二十六刻 九十六”；而大寒的昏去中星为“八十五度六”，我们用“同左”表示，小雪的昏去中星 也是“八十五度六”。因此，实际上，表1中共有两栏数字，其中“夜半漏”，是夜漏刻的一半；“昏去中星”， 是昏时刻太阳到中星的距离。表1中的夜半漏有4处不同、昏去中星有3处不同，严敦杰根据对称性，对这些数据以及

4、冬至夜半漏的数据给出了8条校勘。陈美东根据严敦杰的校勘结果，通过夜半漏来归算昏 去中星，对后者又给出了 8处新的校勘。这些校勘，采取的根据有二，其一，24气的对称 性;其二，昏去中星是根据夜半漏归算出来的。严敦杰和陈美东的假设是有道理的，不过，他们都忽略了一个事实，那就是，皇极历 24气的夜半漏常数，不仅满足对称性，而且可能构成了一个高阶的差分表。另外，在根据 夜半漏归算昏去中星常数时，陈美东没有考虑各气昏去中星常数之转分（余分）的取舍值的 累积效果，由此导致了昏去中星计算结果与原文多处不合，需要校改的现象为了搞清楚表1的构造方法，我们首先需要明确夜半漏与昏去中星的数学关系。假设某日 昏时刻太

5、阳的宿度为A、中星的宿度为B,令s表示恒星年的长度，则有由于夜刻二100-昼刻二2X夜半漏，推得:昼刻二100-2X夜半漏。因此有：所以，昏去中星，就是昏时刻太阳与中星的宿度差。按皇极历恒星年皇极历的昏去中星和夜半漏有如下的关系因此，昏去中星的数据，可以根据夜半漏归算出来。为此，需要考察皇极历24气夜半 漏刻的构造方法。通常，我们可以根据二分二至，将一个回归年划分为四个部分，对于漏刻表来说，冬至和 夏至前后，分别是对称的。因此，漏刻表，基本上可以按照冬至前后、夏至前后的6气数 据，分别讨论他们的构造方法。2皇极历东北部半表线中国传统数理天文学中的很多天文数表，都可以从差分表的角度来进行分析。例

6、如，我们 曾经复原的大衍历辱影差分表，就是一个分段的高阶差分表对于皇极历的漏刻表，我们首先以冬至为中心，讨论秋分到春分各气夜半漏常数的构 成。根据表1的原始数据，如果进行一点点微调，我们发现，其中的冬至前后的夜半漏， 构成了一个完美的5阶差分表，如表2所示。其中“原文”一栏的数据录自表1中的“夜 半漏”，单位为“分”，若相应各气的夜半漏原文数据与表2第三栏的“夜半漏”数据相 同，则不予录写。例如，立冬的夜半漏原文数据为25.985亥U,与表2中的第三栏“夜半 漏”数据相同，故未录写。冬至夜半漏原文为27.42亥U,应为27.43亥办这个数据已经为严敦杰校改。实际上，根据 表1中的夏至昏去中星1

7、18度40分，可以验证皇极历的夏至夜半漏为17.57亥I，与 记载相符，由此可以很容易推出，冬至夜半漏为45-17. 57=27. 43亥人根据对称性，立春与立冬的夜半漏应该相等，显而易见，立春的25. 865亥I,出现了错误, 应与立冬的25.985刻一致。大寒与小雪的情形类似，两者的夜半漏也应该相等，严敦杰 校改为26.76亥U,接近正确。显而易见，皇极历冬至前后各气的夜半漏常数，构成了一个非常完整的5阶差分表。 现在的问题是，原文记录小寒与大雪夜半漏均为27. 26亥IJ,大寒夜半漏为26.76亥U，它们 与差分表的相应数据均只差0.005亥“，是否需要校改？为此，我们可以通过对冬至前后

8、各气昏去中星常数的归算，来进行验证。根据表2校改后的夜半漏数据，按照公式（1）,可以归算冬至前后相应各气的昏去中星常 数，如表3所示。第四栏“昏去中星”的1度二52转分，其中的“转分”，是将第三栏数 据的小数部分乘以52得来的。例如:冬至日昏去中星的计算第五栏的“累积分”是从冬至起，累加各气第四栏的“转分”，再减去各气第六栏的“取 整”数据得到的，这个结果相当于，本气第四栏的“转分”，加上前一行的“累积分”， 再减去其“取整”值，例如:立春与立冬的“累积分”第六栏的“取整”值是根据第五栏的数据的“累积分”，按四舍五入得到的。根据表3,原文记录的昏去中星，除了冬至日的“82度转分47”明显有误之

9、外，只有小寒 与大雪的转分15与原文的转分16稍有差异，其余结果，完全吻合。那么，如果我们对小寒与大雪、大寒与小雪等四气的两个夜半漏数据不进行校改，结果会 是怎样的呢?表4显示，小寒与大雪的夜半漏取27. 26刻时，归算的昏去中星为83度14 分,与原文（83度16分）不同;而大寒与小雪的夜半漏取26. 76刻时，归算的昏去中星为 85度7分，亦与原文（85度6分）不同。因此，此四气的昏去中星常数均需要校改，而此 时的夜半漏，不再符合表2所展示的完整的差分表。对于高阶差分表，数据的些微调整，就可能破坏整个差分表的完整性。因此，要构造一个 5阶差分表，绝非易事。构造出表2这样的5阶差分表，完全不

10、可能是一种巧合，一定是 人为的结果。由此可以判定，大寒与小寒等四气的两个夜半漏数据，应该按照表2第三栏 “夜半漏”的数据进行校改。另外，陈美东将冬至的昏去中星值校正为“82度转分34. 5（3,页47）,如此，则无论 是否对大寒与小寒等四气的两个夜半漏进行校改，都会影响到立春到春分、秋分到立冬等 各气的昏去中星的归算结果。例如，此时，立春与立冬的昏去中星的归算结果，均为87 度50分，与原文的87度49分不同，从汉语的叙述来说，“五十”与“四十九”是非常 不同的，出现这种讹误的可能性相对较小。综上所述，从数表构造的规范性、与原文的贴近程度、昏去中星的归算结果等方面考量， 皇极历冬至前后的夜半漏

11、与昏去中星的数据，都应该根据表3中第二栏的“夜半漏” 与第七栏的“计算结果”进行校正。3皇极历20气死中星的计算根据前面的论述，我们可以确认，皇极历冬至前后的夜半漏常数，是按照表2所示的 差分表构造出来的。按照漏刻的对称性，夏至前后各气的夜半漏常数，应该符合相同的构 造规律。由此，我们不难根据原始数据，推算出一个结果，如表5所示。与表2类似，表5中第二栏“原文”的数据，录自表1,单位为“分”。这一栏对应各气 的数据若与第三栏的“夜半漏”数据相同，则付之阙如。按照表5,除了处暑与白露两处明显的错误之外，原文中芒种与小暑的17.69亥（|、小满与 大暑的18.23亥U,都与差分表的数据不同。这两组

12、数据，究竟有没有问题，我们仍然通过 对昏去中星的归算来进行验算。根据表5中符合差分表的夜半漏，按照公式（1）,可以归算夏至前后相应各气的昏去中星 常数，结果如表6所示。其中各栏目的计算方法和意义，见上一节对表3的解释。在表6 中，昏去中星的计算结果，芒种与小暑为118度8分，转分8与原文的转分18不同；小满 与大暑为116度17分，转分17与原文的转分19也是不同的。那么，芒种等四气的两个数据的差异，究竟是原文的讹误，还是有别的原因呢？我们按照皇极历夜半漏的原始数据，重新归算夏至前后的昏去中星，结果如表7所示。 发现只有清明与白露的转分“21”与归算结果的转分“20”稍有误差，其余计算结果与原

13、 文完全吻合。这就说明，皇极历夏至前后的夜半漏常数，应该是没有完全采纳表5构 造的那个5阶差分表，而是对其中的两个数据进行了调整，其中小满与大暑的夜半漏 18.23刻,应该是从18.235刻约化而来;芒种与小暑的17.69刻,与差分表的17. 745刻差 别较大，应该是根据一些其他因素调整的结果。其余各气的夜半漏常数，照录表5中的5 阶差分表。通过这些计算，可以确定，皇极历夏至前后的夜半漏常数，应该是先按照冬至前后夜 半漏的5阶差分表（表2）的构造方法，构造了夏至前后各气的夜半漏常数，如表5所示， 然后，通过将小满与大暑的夜半漏调整为18. 23亥U,将芒种与小暑的夜半漏调整为17. 69 刻

14、，而得到皇极历夏至前后各气夜半漏的历取值。再根据这些夜半漏的历取值，归算 出皇极历夏至前后各气的昏去中星的历取值，如表7所示。表3与表7,分别给出了皇极历在冬至前后与夏至前后24气的夜半漏常数，以及据此 归算的皇极历24气昏去中星度的历取值。从这些计算可以发现，隋书律历志记 载的皇极历原文，除了冬至日昏去中星度的“转分47”明显有误之外，只有小寒与大 雪的转分“16”与归算结果的转分“15”，以及清明与白露的转分“21”与归算结果的转 分“20”稍有误差，其余数据则完全吻合。由此可以确证，表3与表7中记录的24气夜 半漏常数与其推算的昏去中星的“计算结果”，应该就是皇极历的历取值。至此，综合表

15、3与表7的结果，可以得到我们对皇极历24气的夜半漏与昏去中星常数 的校正，我们将这个新的校正结果按照原文的书写形式，罗列如表8所示。4半漏刻5阶差分表的党校系统本文发现了皇极历24气夜半漏刻常数表的构造形式。刘焯在确定冬至前后各气夜半漏 刻的历取常数时，构造了一个完整的5阶差分表，如表2所示。然后，根据对称性，可以 构造出夏至前后各气的夜半漏刻常数，如表5所示。不过，由于24气的昏去中星常数， 是由相应的夜半漏刻常数归算出来的，根据表7的计算可以证明，刘焯并没有完全照搬表 5的夜半漏刻常数，而是在表5的那个夜半漏刻5阶差分表的基础上，对芒种与小暑、小 满与大暑的两个夜半漏刻常数进行了调整，其余

16、则采用了表5的差分表的计算结果。我们 由此从算法的原理上，对皇极历的这个相关的天文数表进行了彻底的校勘。如表8所示，对原文的48个数据，我们共进行了 16处校勘。其中冬至、立春、处暑、白 露的夜半漏，雨水、秋分、立冬的昏去中星等7个数据，支持了严敦杰根据24气的对称 性所进行的校正结果。小寒与大雪的昏去中星等2个数据，支持了陈美东的校正结果。冬 至、清明、白露的昏去中星，与小寒、大雪、大寒、小雪的夜半漏等7个数据，是根据夜 半漏刻的5阶差分表而新作的校勘。本文的发现表明，刘焯在皇极历中，有意识地构造了一个5阶差分表，它应该是迄今 为止我们所见到数学史上最早的5阶差分表。在13世纪朱世杰创立高阶等差级数的求和 公式之前，构造一个高阶差分表，并不是一件容易的事。由此，从算法史的角度来看，这 是一项非常了不起的工作。刘焯是如何做到这一点的，我们尚不得而知。但是，隋唐以降, 中国数理天文学中涌现了大量的高阶差分表，这些差分表的应用，极大地提升了历法的计 算精度