正定矩阵和半正定矩阵的性质及应用.docx

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1、摘 要本文主要针对正定矩阵和半正定矩阵进行讨论，归纳和总结了正定矩阵和半正定矩阵的性质，通过实例介绍了正定矩阵（半正定矩阵)的判别方法诸如：定义法、主子式法、特征值法等，并且给出了它们在不等式的证明问题中以及多元函数极值问题中的一些应用.关键词：正定矩阵；半正定矩阵；二次型；主子式；特征值ABSTRACTThis paper mainly discusses positive definite matrices and positive semi-definite matrix,the properties of positive definite matrix and semi-positi

2、ve definite matrix are summarized.Through examples, the judgment methods of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are introduced, such minor method, master type method, eigenvalue method, etc. Some applications of positive definite matrices and semi-positive definite matrix in t

3、he proof of inequality extreme value problems of multivariate functions are given.Keywords：positive definite matrix; positive semi-definite matrix; quadratic form; principal minor determinant;characteristic value目录第1章 正定矩阵和半正定矩阵的定义及性质11.1. 相关概念11.2. 正定矩阵和半正定矩阵的等价命题21.2.1. 正定矩阵的等价命题21.2.2 半正定矩阵的等价命题6

4、1.3. 正定矩阵和半正定矩阵的性质81.3.1. 正定矩阵的性质81.3.2. 半正定矩阵的性质13第2章 正定矩阵和半正定矩阵的判定方法152.1. 定义法152.2. 主子式法152.4. 与单位矩阵E合同法18第3章 定矩阵和半正定矩阵的应用203.1. 在不等式问题中的应用203.2. 在多元函数极值问题中的应用21参考文献25致谢26第1章 正定矩阵和半正定矩阵的定义及性质1.1. 相关概念定义11 设aij(i=1，2，n，ij)都是实常数，则关于n个实变量x1，x2，xn的二次齐次多项式函数fx1，x2，xn=a11x12+a22x22+annxn2+2a12x1x2+2a12

5、x1x3+2an-1，nxn-1xn，称为n元实二次型.9定义21 实二次型f(x1，x2，xn)为正定的，如果对于一组不全为零的实数c1，c2，cn都有fc1，c2，cn0，如果都有fc1，c2，cn0，k=1，2，n.从而A的各阶顺序主子式都大于零.(1)(3) 用反证法，若A的特征根1，2，n不都大于零.不妨设10，取A的属于i的单位特征向量0，就有TA=10，这与A为正定矩阵相矛盾，所以A的特征值全大于零。(3)(1) 设A的特征值为1，2，则存在正交矩阵T,使TTAT=diag1，2，n，A=Tdiag(1，2，n)TT，任意取x0，则XTAX=XTTdiag1，2，nTTX=YTd

6、iag1，2，nY，其中Y=XTT=(y1，y2，yn)0，于是XTAX=1y12+2y22+nyn20，即A为正定矩阵.(3)(4) 设A的特征值为1，2，n，则存在正交矩阵T，使得TTAT=diag1，2，n.于是A=Tdiag1，2，nTT=Tdiag1，2，nT-1Tdiag1，2，nT-1=B2，其中B=Tdiag1，2，nT-1，因为B为实对称矩阵且特征值i0i=1，2，n，故B为正定矩阵.(4)(5) 由A=B2=BTB=BTEB，且B为正定矩阵，从而为可逆矩阵，也即AE.(5)(1) 由AE，即存在可逆矩阵C，使得A=CTEC=CTC.任意取X0，令CX=Y=(y1，y2，yn

7、)T，则Y0，于是XTAX=XTCTACX=YTY=y12+y22+yn20，故A是正定矩阵.(1)(6) 设A是正定矩阵，且Ak为其任意k(1kn)阶主子式对应的k阶实对称矩阵（设取自A的第i1，i2，ik行和列），从而g=XkTAkXk(Xk=xi1，xik为k元实二次型.设ci1，cik为任意一组不都为零的实数，则0，0，ci1，0，0，cik，0，0.（即ci1，cik以外的变量全取0）不全为0，又f=XTAX是正定二次型，故gci1，cik=f0，0，ci1，0，0，cik，0，00.于是，g是k元正定的，Ak正定，从而A的主子式Ak0.(6)(7) 设Ai1i2i3i4i1i2i3

8、i4是n阶正定矩阵A的主子阵，则Ai1i2i3i4i1i2i3i4也是实对称矩阵，又因为Ai1i2i3i4i1i2i3i4的k个顺序主子式均为A的k个主子式，由(6)知它们都大于零，从而为正定矩阵.(7)(1) 因为A本身也是它的一个主子矩阵，由(7)知A为正定矩阵.(1)(8) 任意取X0，则有CX0.（如果CX=0，则CTCX=0，而CTC为m阶可逆矩阵，所以X=0与假设X0矛盾）由于A为正定矩阵，因此XTCTACX=CXTACX0，从而CTAC为正定矩阵.(8)(9) 因为实可逆矩阵必然是实列满秩矩阵，由(8)知TTAT为正定矩阵.(9)(1) 设TTAT为正定矩阵，其中T为实可逆矩阵，

9、又A=(T-1)T(TTAT)T-1,由(9)知A正定的. (10)(1) 设存在秩为n的mn实矩阵C，使得A=CTC.则A为n阶实对称方阵且对于任意不全为零的实数x1，x2，xn，即X=(x1，x2，xn)T0都会有CX=(y1，ym)T0，因此fx1，x2，xn=XTAX=CXTCX=y12+ym20，也就是说二次型f=XTAX是正定的，于是A为正定矩阵.(1)(11) A为正定矩阵A合同于单位矩阵E存在可逆矩阵P，使得A=PTEP=PTP.(1)(12) 设A为正定矩阵，存在可逆矩阵P，有A=PTP，又P=QR（其中Q为正交矩阵，R为主对角元素全大于零的上三角形矩阵）从而A=PTP=RT

10、QTQR=RTR.(12)(1) 若A=RTR，其中R为主对角元素全大于零的上三角形矩阵，当然R可逆，因此A为正定矩阵.(1)(13) 证明过程可类同于(1)(12).1.2.2 半正定矩阵的等价命题定理22 设A是n阶实对称矩阵，则下列叙述等价：(1) A是半正定的.(2) A的所有特征值非负.(3) A的所有主子式非负.(4) A的行列式大于等于零.(5) 存在n阶实方阵B，使得A=BTB.(6) A主对角线的元素非负.(7) 存在秩为r的nr实矩阵B使得A=BTB.(8)A合同于主对角元素非负的对角矩阵.2证明 (1)(3)设A的k(1kn)阶主子式对应的方阵为Ak=ai1i1ai1ik

11、aiki1aikik，1i10,因此Ai0.(3)(1) 若A的主子式非负，令Bk=(aij)为A的k阶顺序主子式所对应的方阵，则Ek+Bk=+a11a12a1ka21+a22a2kak1ak2+akk，其中Pi为Bk中的一切i阶主子式之和，故Pi0.从而当0时，Ek+Bk0.即E+A的顺序主子式均为正，故E+A是正定矩阵. 若不是半正定的，则必有X0=(a1，an)0使X0TAX0=C0，则X0TE+AX0=X0TX0=X0TX0+X0TAX0=c-c=0.这与上面的结论矛盾.故A必为半正定的.(1)(5) 设A是半正定的，且秩为r，则存在实可逆方阵P，使得A=PEr000PT由上式得A=P

12、Er000Er000PT=BBT，其中B=PEr000.(5)(1) 设A=BBT(B为实方阵).则对任意x0，有f=XTBBTX=BXT(BX)0.故f是半正定的.因此，A是半正定的.(1)(7) 由等价条件(5)的证明过程中得A=PEr000PT. 令是的前列构成的秩为r（因为P满秩）的nr实矩阵，则A=B，CEr000BC=BBT.1.3. 正定矩阵和半正定矩阵的性质1.3.1. 正定矩阵的性质性质11 正定矩阵的行列式大于零.证明 设A是正定矩阵，则A与I(单位矩阵)合同，于是存在可逆矩阵C使A=CTIC=CTC.同时在两边取行列式，有A=CTC=C20.性质23 A=(aij)nn是

13、n阶正定矩,则A的主对角元全大于零.证明 设i是第i个分量为1而其余分量为零的n维列向量，由于A正定，则aii=iTAi0.i=1，2，n性质33 正定矩阵A=(aij)中绝对值最大的元素必在它的主对角线上.证明 鉴于A正定，故A的任一二阶主子式大于零，即aiiaijaijajj=aiiajj-aij20，即aij0.aij0.性质56 若A是正定矩阵，则A-1,A*是正定矩阵.证明 先证A-1是正定的.因为A是正定矩阵，所以A也是对称矩阵，即AT=A，因为(A-1)T=(AT)-1，从而有(A-1)T=A-1，即A-1是对称矩阵.因为矩阵A是正定的，则对于任何非零的n维实列向量X，恒有XTA

14、X0，由于XTA-1X=XTA-1AA-1X0，且A-1X不等于零；故(A-1X)T=AA-1X0，从而XTA-1X0，则A-1是正定矩阵.再证明A*也是正定矩阵.由于A是正定矩阵，且A*=AA-1则(A*)T=A*，A*是实对称矩阵.由于A*的特征值为A1，An0.所以A*是正定矩阵. 性质61 若A是正定矩阵，则对于任意整数k，Ak都是正定矩阵.证明 （1）当k=0时，Ak=I，Ak是正定矩阵.（2）当k0时，k=-k，即Ak=A-1k，根据正定矩阵的性质5可知，A-1也是正定的，故下面的k只要是正整数就行.当k为偶数时，由于AT=A，且Ak=Ak2TAk2，由正定矩阵的条件（6）可知，是

15、正定矩阵.当k为奇数时，由于.Ak=Ak-12AAk-12=Ak-12CTCAk-12=CAk-12TCAk-12.因此Ak是正定矩阵. 性质77 A是n阶正定矩阵，则0A0.设A=An-1aaTann式中An-1=a11a1，n-1an-1，1an-1，n-1，a=(a1n，a2n，an-1，n)T.因A是正定矩阵，故An-1是正定的，且An-1是可逆阵，对A进行广义初等变换，得An-1aaTannAn-1aaann-aTAn-1-1aAn-100aTAn-1-1a，于是In-10-aTAn-1-11An-1aaannIn-1-An-1-1a01=An-1a0ann-aTAn-1-1a，等式

16、两边同取行列式得，A=An-1ann-aTAn-1-1a.由An-1正定，得An-1正定，那么aTAn-1-1a0，An-10.因此AAn-1ann，同理可得，An-1An-2an-1，n-1其中An-1是A的n-2阶顺序主子式，一直这样下去，可得AAn-1annAn-2an-1，n-1anna11a22ann.性质85 若A是正定矩阵，m是任意正整数，则存在正定矩阵B，使得A=Bm.证明 A是正定矩阵，必存在正交矩阵Q，使QTAQ=100n.式中1，n0，于是A=Q100nQT，令B=Qn100nnQT.则A=Bm，结论得证.性质97 设A,B都是n阶正定矩阵，则AB是正定矩阵的充要条件是A

17、B=BA.证明 ）AB正定，下证AB=BA.因为AB正定，则AB必为实对称的，故由A,B正定得AB=(AB)T=BTAT=BA，)AB=BA,下证AB正定.AB是实对称矩阵.又A,B都正定，必存在实满秩方阵P,Q使得A=PTP，B=QTQ，这时AB=PTPQTQ与矩阵QPTPQT=QPTPQTQQ-1=Q(AB)Q-1相似，于是相同的特征根.但QPTPQT=(PQT)TPQT为正定矩阵，所以它的特征根全是正实数，故AB的特征根也都是正实数，从而AB是正定的.性质10 7 A为n阶实方阵，A正定的充要条件是存在秩为n的mn实方阵C，使得A=CTC.证明 ）若A正定，则根据正定矩阵的等价条件，结果

18、显然成立.)设存在秩为n的mn实方阵C，使得A=CTC，则A为实对称方阵，并且由齐次线性方程组的理论知识可知，对任意不全为零的实数x1，xn，即X=(x1，xn)0，必有CX=(y1，yn)0，且fx1，xn=XTAX=CXTCX=y12+yn20.即是f正定二次型，因而矩阵A正定的.性质117 若A，B都是同阶正定矩阵，则AB的特征值全大于零.证明 由于A是正定矩阵，则存在n阶可逆矩阵P，使得A=PTP，则AB=PTPB=PTPBPTPTT，这表明AB相似于PTBP，又(PBPT)T=PBTPT=PBPT，即PBPT,是实对称矩阵，它的特征根全部为实数，因为相似矩阵具有相同的特征根，则AB的

19、特征根也为实数.设为AB的任一特征根，那么必为实数为AB的属于的特征向量，即AB=，0.B=A-1，且TB=TA-1.则因为A正定，所以A-1正定.又B正定，故TB0，TA-10从而0.1.3.2. 半正定矩阵的性质性质11 若矩阵A是半正定矩阵，则对于任何非负实数k，kA也是半正定矩阵.证明 设fx1，xn=XTAX，因为A是半正定的，所以对任意的n维实向量X0，都有XTAX0，由已知XTkAX=k(XTAX)0，则有k0，故kA也是半正定的.性质28 可逆半正定矩阵的逆矩阵是半正定矩阵.性质37 设A=aij，B=bij都是n阶方阵.定义AB=(aijbij)若A,B都是半正定的，则AB也

20、是半正定的.证明 因为B=bij是半正定矩阵，故存在实方阵P=(pij)使B=PTP，即有.bij=pi1pj1+pinpjn，由于A，B都为实对称的，故AB也是实对称的，且XTABX=i，jaijbijxixj=i，jaiji，jpikpjkxixj=i，ji，jaij(pikxi)pjkxj=kYkTAYk，(1)其中X=(x1，xn)，Yk=(p1kx1pnkxn).因为A是半正定的，故对于任何实向量X，都有YkTAYk.再由(1)得XTABX0，故AB是半正定矩阵.性质47 若A,B都是半正定矩阵，则A+B也是半正定的，而且A+BA+B.性质58 若A是半正定矩阵，则对任意k=2m，m

21、Z*，有Ak也为半正定的.证明 因为A为半正定矩阵，且k=2m，m是正整数，那么Ak=A2m=AmAm=AmTAm，而Am为实矩阵，则由定理2可知Ak为半正定矩阵.26第2章 正定矩阵和半正定矩阵的判定方法2.1. 定义法例1 设A是mn阶正定矩阵，B是mn实矩阵.证明：BTAB正定rB=n.证明 ）反证法.由于A，BTAB分别是m阶，n阶正定阵.反设r(B)0，即TBTAB0，故BTAB为正定矩阵.2.2. 主子式法例2 判断矩阵A是否正定，其中A=303120031解 由于A的一阶顺序主子式为3=30，A的二阶顺序主子式为3012=6-0=60，A的三阶顺序主子式为303120031=6+

22、9=150，因此矩阵A是正定矩阵.例3 t为何值时矩阵A为正定矩阵？求出对应的t值.其中A=21011t20t20，解 因为A正定的充要条件是A的各阶顺序主子式均大于零，2=20，2111=2-1=10，21011t20t210，解得-2t2.因此，当-2t0，3=10.因此，矩阵A是正定矩阵.例5 设A，C，为n阶正定矩阵，B是矩阵方程AX+XA=C的唯一解.证明：(1) B是实对称矩阵；(2) B是正定矩阵.证明 (1)因为A，C为n阶正定矩阵，A，C必为实对称矩阵，故AT=A，CT=C，对AB+BA=C两边取共轭，得AB+BA=C，从而B也是AX+XA=C的解，又由于方程的解是唯一的，故

23、B=B，即B是实矩阵.对AB+BA=C两边取转置，得C=CT=(AB+BA)T=BTA+ABT，这表明B也是AX+XA=C的解，由解的唯一性可知B=BT，即B是实对称矩阵.设是B的任意特征根，为B的属于的特征向量，则B=，于是由于A，C为正定矩阵，故TA0，TC0，则B的特征根大于0，则B是正定矩阵.例6 设A是n阶正定矩阵，B是n阶半正定矩阵，并且满足A2=B2.证明：B是正定矩阵.证明 因为B是半正定的，必存在正交矩阵T，使得B=T-110000200000000n， 式中i0(i=1，2，n)，对照题设条件可知A2=B2=T-11200002200000000n2T，因A2是正定矩阵，于

24、是I20，从而I0，因此B为正定矩阵.2.4. 与单位矩阵E合同法例7 A是n阶可逆矩阵，证明：ATA是正定的.证明 因为(ATA)T=(ATA)，则矩阵ATA对称的.又ATA=ATIA，同时A是可逆矩阵，于是ATAI，则矩阵ATA是正定的.例8 证明：分块矩阵Q=A00B是正定矩阵，其中A，B分别为m，n阶正定矩阵.证明 因为矩阵A，B为正定矩阵，则必存在可逆矩阵Cmm和Dnn，使cTAC=Im，DTBD=In，设P=C00D，那么PT=CT00DT，且矩阵P是m+n阶可逆的.pTQP=CT00DTA00BC00D=CTAC00DTBD=Im00In，所以QI，故分块矩阵Q=A00B是正定矩

25、阵.第3章 定矩阵和半正定矩阵的应用3.1. 在不等式问题中的应用 例9 设A，B，C是一个三角形的内角.证明：对任意实数x，y，z，都有x2+y2+z22xycosA+2xzcosB+2yzcosC.证明 fx，y，z=x2+y2+z2-2xycosA-2xzcosB-2yzcosC. =x，y，z1-cosA-cosB-cosA1-cosC-cosB-cosC1xyz，令上式中的三阶实对称矩阵为T，由于T的一阶顺序主子式为1=10，T的二阶顺序主子式为T的三阶顺序主子式为1-cosA-cosB-cosA1-cosC-cosB-cosC1=1-2cosAcosBcosB-(cosA)2-(c

26、osB)2-cosC2=0.故fx，y，z半正定，即fx，y，z0，从而结论成立.例10 设ABC的三条边分别为a，b，c面积为S.证明:a2+b2+c243S.证明 由于c2=a2+b2-2abcosC，s=12absinC.所以利用上述公式，可以将问题转化为fa，b=a2+b2+a2+b2-2abcosC-23absinC=2a2+2b2-2abcosC+3sinC=2a2+2b2-4absin(6+C). 二次型fa，b的矩阵为A=2-2sin(6+C)-2sin(6+C)2，由于A的一阶、二阶主子式满足20，A=41-(sin(6+C)20，故A半正定，即二次型fa，b半正定，从而结论

27、成立.3.2. 在多元函数极值问题中的应用定义74 设n元实函数f(X1，Xn)在X=x1，xnRn的某个领域内存在一阶、二阶连续偏导数.记Vfx=(XX1，XX2，XXn)，Vf(x)称为函数f(X)在点X=x1，xnT处的梯度.定义84 HX=(2fXXiXj)mn=2fXXi22fXX1X22fXX1n2fXXnX12fXXnX22fXXn2此矩阵称为函数在处的（Hessian）黑塞矩阵，则HX是由f(X)的n2个二阶偏导数构成的n阶实对称矩阵.定义94 （极值充分条件）设f(X)在点X0Rn的某个领域内存在一阶、二阶连续偏导数时，且VfX0=(X0X1，X0X2，X0Xn（1）当HX0

28、是正定矩阵时，f(X)在点X0处取得极小值；（2）当HX0是负定矩阵时，f(X)在点X0处取得极大值；（3）当HX0是不定矩阵时，f(X)在点X0处不取极值；定义104 （极值必要条件）设函数f(X)在点X0=(x10，xn0)T处可微，且X0为该函数的极值点，则1） X0必为f(X)的稳定点，即VfX0.2） 若f(X)在X0的某领域U(X0)存在连续二阶偏导数，则当f(X0)为极小值时，f(X)在X0的黑塞矩阵为正定或半正定；则当f(X0)为极大值时，f(X)在X0的黑塞矩阵为负定或半负定.例1 求多元函数fx，y，z=x2+y2+z2+2x+y-z的极值.解 先求f的驻点，由fx=2x+

29、2=0fy=2y+1=0fz=2z-1=0，解得x1=-1，x2=-12，x3=12.求得函数驻点为P0=(-1，-12，12).再求（Hessian）黑塞矩阵，因为fxx=2，fxy=0，fxz=0，fyx=0，fyy=2，fyz=0，fzx=0，fzy=0，fzz=2.故H=200020002.由于H的各阶顺序主子式全为零，故矩阵H是正定的.所以P0=(-1，-12，12)是fx，y，z的极小值点.且在点P0=(-1，-12，12)的极小值为f=-1，-12，12=-32.例2 求多元函数fx=x12+2x1x2+2x22+x32-4x2x3+3x1x3的黑塞矩阵，并根据结果判断该函数的极

30、值点.解 先求驻点，由 fx1=2x1+2x2+3x3=0fx2=4x2+2x1-4x3=0fx3=2x3-4x2+3x1=0，解得x1=0，x2=0，x3=0.可得驻点为P0=(0，0，0).再求(Hessian)黑塞矩阵，因为fx1x1=2，fx1x2=2，fx1x3=3，fx2x1=2，fx2x2=4，fx1x3=-4，fx3x1=3，fx3x2=-4，fx3x3=2，故所求得(Hessian)黑塞矩阵为H=22324-43-42，由于H11=20，H22=2224=40，H33=22324-43-420，所以黑塞矩阵为不定矩阵，故P0不是极值点.参考文献1 王萼芳,石生明.高等代数M.

31、第四版.北京:高等教育出版社,2013.2 姜国.正定矩阵的判定及性质J.湖北师范学院学报(自然科学版),2006,26(1): 97-99.3 岳贵鑫正定矩阵及其应用J辽宁省交通高等专科学院学报，2008,10(5),31-334 华东师范大学数学系数学分析（第四版）M.高等教育出版社5 张丹，刘庆平正定矩阵的性质及相关问题J中南大学学报，2011,31（4）6 黄云美正定矩阵的性质及其应用J烟台职业学院学报，2011,17(3):85887 陈大新矩阵理论M上海：上海交通大学出版社8 刘畅正定矩阵性质的推广J沈阳师范大学学报，2009,27(3),2682719 何亚丽线性代数M科学出版社

32、7 杨子胥.高等代数M.高等教育出版社.8 张淑娜.半正定二次型及半正定矩阵J.通化师范学院学报，2003.24（6）.9 史秀英.正定矩阵的等价命题及其应用J.赤峰教育学院学报，2000（2）.致谢光阴似箭，日月如棱。四年的大学时光，在此时此刻显得那么短暂，但是，在大学校园里，我收获的不仅仅是知识，还有做人的道理，在这里，我结识的是最真诚的朋友，收获了真挚的友谊。今年是2020年，也是及其不平凡的一年，一切的一切都显得那么苍白无力，今年的春节本应该充满欢声笑语，然而事情并非如此，一场突如其来的疫情无情地打破了所有的欢乐。今年的3月份本该去榆中县城的小学实习的我们，却在家度过了整整五个多月，在

33、家经常陪着父母亲本是一件非常幸福美满的事，但在今年看来并不是一件好事，因为对于即将毕业的我们，面临着从未遇到过的压力，要找一份心仪的工作，还要面临对我们来说最大的挑战-撰写我们的毕业论文，在写论文的过程中，连资料都很难收集，没有可靠的书籍供我参考，也没有娴熟的计算机操作技术，我只能一次一次寻求指导老师和朋友们的帮助，是她们一次次不厌其烦的帮助我，鼓励我，帮我度过了最难忘的毕业季，每一次被压力压的没勇气继续写下去的时候，她们总会安慰我说：“相信自己，你一定行”。每一次都很暖心，哪怕是“加油”二字，我也会更加有信心去写下去。在这里，我首先要感谢我的论文指导xxx，她是一字一句批改的论文，连一个标点

34、符号都不放过，给我详细地指出来了，要求删除的和变换格式的，都用红色批改符号标的一清二楚，有时候我抱怨她不给我及时回复消息，解答问题，现在想想，原来是我错了，老师那么忙，哪有时间一天看消息；其次我要感谢父母亲的陪伴之恩和养育之恩，他们教诲我做人的原则和为人处事的道理，鼓励我别放弃，一定要用自己的行动证明我的实力；最后我要感谢学校对我们的栽培之恩，让我学会了很多知识和以前不明白的道理，没有学校的培养，哪有什么资本可以让我们在社会立足。通过几个月的努力，终于完成了我的学位论文，在这次毕业设计中，曾经无数次困难的技术难关困扰着我，但是在论文指导老师引导下以及朋友们的共同帮助下，一步一步突破了难关，解决了各种技术问题，每一次难关突破的喜悦，都让我更加坚定胜利的信念，但是论文中还有很多问题没有从本质上解决，虽然如此，我坚信，我一定会成功。