福建省福州市六校联考2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题含答案.pdf

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1、试卷第 1页，共 4页20232024 学年第二学期高二年段期中六校联考数 学 试 卷学年第二学期高二年段期中六校联考数 学 试 卷2024.4.本试卷共 4 页，考试时间 120 分钟，总分 150 分命题校：福清第三中学班级_座号_姓名_一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合3AxN x，240Bx x，则AB（）A 2B2,0,1,2,3C2 2，D22复数2i1 2iz，则z等于（）A0B5C1D553已知

2、等差数列 na的前n项和为nS，2184S，则11a（）A22B10C8D44已知在 R 上可导的函数()f x的图像如图所示，则不等式()()0f x fx 的解集为（）A(3,0)B(,3)(1,0)C(,3)(0,)D(3,1)(0,)5.已知向量(2,4)a，(3,1)b则“2k”是“()()kkabab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知直线ykxb既是曲线xye的切线，也是曲线xye 的切线，则（）A.,0ke bB.1,0kbC.,1ke b D.1,1kb#QQABKQIAogCAQoBAAAhCEwUwCACQkAAAA

3、agORBAAIAIBAQFABAA=#福建省福州市六校联考2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题试卷第 2页，共 4页7中国饮食文化历史悠久，博大精深，是中国传统文化中最具特色的部分之一，其内涵十分丰富，根据义务教育课程方案，劳动课正式成为中小学一门独立的课程，“食育”进入校园.李老师计划在实验小学开展一个关于“饮食民俗”的讲座，讲座内容包括日常食俗，节日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗 6 个方面.根据安排，讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序），则节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的概率为（）A15B415C13D258已

4、知()1010cosxxf xx，则不等式(21)(4)0fxfx的解集为（）A(,5)B(,1)C(5,1)D(1,)二二、多项选择题多项选择题：本本大大题共题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的全部选对的得有多项是符合题目要求的全部选对的得 6 分，部分选对的得分，部分选对的得部分部分分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9已知626012623xaa xa xa x，则下列选项正确的是（）A3360a B2202461351aaaaaaaC612623aaaD展开式中系数最大的为2a10从含有

5、3 个红球，2 个白球的口袋中随机取出一个球，记下颜色后放回，并加进一个同色球，如此共取 i 次.记事件iA：“第 i 次取出的球是红球”，事件iB：“第 i 次取出的球是白球”，则（）A125P BB1215P ABC1215P B AD32135P A11设函数 lnf xx x，fxg xx，给定下列命题，正确的是（）A不等式 0g x 的解集为1,e；B函数 g x在0,e单调递增，在,e 单调递减；C若120 xx时，总有 2212122mxxf xf x恒成立，则1m；D若函数 2F xf xax有两个极值点，则实数0,1a.#QQABKQIAogCAQoBAAAhCEwUwCAC

6、QkAAAAagORBAAIAIBAQFABAA=#试卷第 3页，共 4页三、三、填空题：本大题共填空题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上12已知12nx展开式中第 3 项与第 6 项的二项式系数相等，则展开式中含3x项的系数为.13函数()lnf xxx的单调递减区间是.14.已知数列 na满足15a 12,()32(nnnanaan为奇数，为偶数).则3a _；设nS为 na的前n项和，则2024_S.（结果用指数幂表示）四、解答题四、解答题：本题共本题共 5 5 小题，共小题，共 7777 分分.解答应写出文

7、字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13 分分)已知函数3()3f xxaxb在1x 处有极小值2(1)求函数()f x的解析式；(2)若函数mxfxg)()(在2,0只有一个零点，求m的取值范围16.(15 分分)今年是我国建国 75 周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答是否正确互不影响.已知甲回答正确的概率为23，甲、丙两人都回答正确的概率是12，乙、丙两人都回答正确的概率是14.(1)若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙

8、三名同学中至少1人回答正确的概率.(2)若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为25，乙抢到答题机会的概率为15，丙抢到的概率为25，求这个问题回答正确的概率.#QQABKQIAogCAQoBAAAhCEwUwCACQkAAAAagORBAAIAIBAQFABAA=#试卷第 4页，共 4页17.(15 分)在ABC中，内角A,B,C的对边分别是,a b c，且sin3 sin2BbCc.(1)求角B的大小；(2)若6b，且ABC的面积为237，求AC边上的中线长.18.(15 分)已知一个由正数组成的数阵，如下图各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，且公比都相等，121433

9、2,4,12aaa.第一行111213141,naaaaa第二行212223242,naaaaa第三行313233343,naaaaa第n行1234,nnnnnnaaaaa(1)求数列2na的通项公式；(2)设121 22,1,2,3,11nnnnbnaa，求数列 nb的前n项和nS.19.(19 分)已知函数xaxxxfln214)(2（0a）(1)当3a时，讨论函数)(xf的单调性.(2)若)(xf有两个极值点)(,2121xxxx求a的取值范围证明：axfxfln10)()(21#QQABKQIAogCAQoBAAAhCEwUwCACQkAAAAagORBAAIAIBAQFABAA=#答

10、案解析第 1页，共 15页20232024 学年第学年第二二学期学期高高二二年段年段期中期中六校联六校联考考数数 学学 答答 案案一、一、单项选择题：本大题共单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的1已知集合3AxN x，240Bx x，则AB（）A 2B2,0,1,2,3C2 2，D2【答案】A【分析】利用集合的并运算即可求解.【详解】因为0,1,2,3A，2402,2Bx x，所以 2AB.故选：A.2复数2i1 2iz，则z等于（）A0B5C1D55

11、答案：C【分析】利用复数的除法化简复数z，利用复数的模长公式可求得z的值.【详解】2i12i2i4312i12i12i5iz，所以1z.故选：C.3已知等差数列 na的前n项和为nS，2184S，则11a（）A22B10C8D4答案：D【分析】利用等差数列求和公式和下标和性质可直接求得结果.#QQABKQIAogCAQoBAAAhCEwUwCACQkAAAAagORBAAIAIBAQFABAA=#答案解析第 2页，共 15页【详解】na是等差数列，12121112121842aaSa，解得：114a故选：D4已知在 R 上可导的函数()f x的图像如图所示，则不等式()()0f x fx 的解

12、集为（）A(3,0)B(,3)(1,0)C(,3)(0,)D(3,1)(0,)答案：B【分析】根据函数图象判断()fx、()f x的不同区间上的符号，再由()()0f x fx 求解集即可.【详解】由图知：(,3)、(1,)上()0fx，(3,1)上()0fx，又(,3)、(3,0)上()0f x，(0,)上()0f x，()()0f x fx 的解集为(,3)(1,0).故选：B5.已知向量(2,4)a，(3,1)b则“2k”是“()()kkabab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：A【详解】因为(2,4)a，(3,1)b，所以(23,

13、4)kabkk，(23,4)kabkk当()()kkabab时，()()0kkabab即(23)(23)(4)(4)0kkkk解得2k#QQABKQIAogCAQoBAAAhCEwUwCACQkAAAAagORBAAIAIBAQFABAA=#答案解析第 3页，共 15页所以“2k”是()()kkabab的充分不必要条件，故选 A6.已知直线ykxb既是曲线xye的切线，也是曲线xye 的切线，则（）A.,0ke bB.1,0kbC.,1ke b D.1,1kb 答案：A【详解】设曲线xye上的切点为11(,)xx e，曲线xye 上的切点为22(,)xxe(),()xxxxeeee121122

14、12xxxxxxeekex eex eb 解得0bke故选 A7中国饮食文化历史悠久，博大精深，是中国传统文化中最具特色的部分之一，其内涵十分丰富，根据义务教育课程方案，劳动课正式成为中小学一门独立的课程，“食育”进入校园.李老师计划在实验小学开展一个关于“饮食民俗”的讲座，讲座内容包括日常食俗，节日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗 6 个方面.根据安排，讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序），则节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的概率为（）A15B415C13D25答案：B【分析】根据排列组合知识和古典概型的概率公式可求出结果.【详解】

15、讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序）,一共有222642C C C 90种不同的安排方法，其中节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗有一个和节日食俗安排在第二次讲座的有122412C C 种，节日食俗安排在第二次讲座，日常食俗与祭祀食俗都不和节日食俗安排在第二次讲座且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的有122322C A A12种，故节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的有121224种，故所求概率为2449015P.故选：B#QQABKQIAogCAQoBAAAhCEwUwCACQkAAAAagORBAAIAIBAQFABAA=#答案

16、解析第 4页，共 15页8已知()1010cosxxf xx，则不等式(21)(4)0fxfx的解集为（）A(,5)B(,1)C(5,1)D(1,)答案：C【解析】判断出()f x为偶函数,且在(0,)上单调递增,将所求不等式利用函数性质转化为(21)(4)fxfx利用单调性解得答案.【详解】由()1010cosxxf xx得()1010cos1010cos=()xxxxfxxx f x所以函数()f x为偶函数,又因为 1010ln10sinxxfxx(0,)x当时，1010ln10sin0 xxfxx，(,)x当时1010ln101010ln102()0 xxfx所以 fx在(0,)上单调

17、递增,则不等(21)(4)0fxfx(21)(4)fxfx,即214xx解得:51x.所以不等式(21)(4)0fxfx的解集为(5,1).故选:C.二二、多项选择题多项选择题：本本大大题共题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的全部选对的得有多项是符合题目要求的全部选对的得 6 分，部分选对的得分，部分选对的得部分部分分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9已知626012623xaa xa xa x，则下列选项正确的是（）A3360a B2202461351aaaaaaaC612623aaaD展开式

18、中系数最大的为2a10从含有 3 个红球，2 个白球的口袋中随机取出一个球，记下颜色后放回，并加进一个同色球，如此共取 i 次.记事件iA：“第 i 次取出的球是红球”，事件iB：“第 i 次取出的球是白球”，则（）A125P BB1215P AB#QQABKQIAogCAQoBAAAhCEwUwCACQkAAAAagORBAAIAIBAQFABAA=#答案解析第 5页，共 15页C1212P B AD32135P A答案：ABD【分析】根据给定条件，利用古典概率计算判断 A；利用条件概率计算判断 B，C；计算互斥事件的概率判断 D 作答.【详解】依题意，第一次取到白球的概率125P B，A

19、正确；13()5P A，2121(|)63P BA，则有21112(|)1)5P A P BAP AB，B 正确在已知第二次取出 1 个红球的条件下，第一次取得 1 个白球，12122()1()5P B AP B AP A，故C 不正确；事件3A是以下 4 个互斥事件的和：123A A A，123AB A，123B A A，123B B A，1231231231233345324)()()()()56756(7P A A AP AB AP B A APP B B AA2342332156756735，D 正确.故选：ABD【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆

20、成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.11设函数 lnf xx x，fxg xx，给定下列命题，正确的是（）A不等式 0g x 的解集为1,e；B函数 g x在0,e单调递增，在,e 单调递减；C若120 xx时，总有 2212122mxxf xf x恒成立，则1m；D若函数 2F xf xax有两个极值点，则实数0,1a.答案：AC【解析】求出函数的导数，根据函数的单调性分别判断即可.#QQABKQIAogCAQoBAAAhCEwUwCACQkAAAAagORBAAIAIBAQFABAA=#答案解析第 6页，共 15页【详解】()lnf xxx的导数为()1 lnfxx，则 1

21、lnfxxg xxx，2ln xgxx,对于 A，0g x 即1ln0 xx，解得1xe，故正确；对于 B，2ln xgxx，当 x0,1时 0gxg x，在0,1单调递增，故错误；对于 C，2212122mxxf xf x可化为：22221122mmfxxfxx设 2()2mxf xx，又120 xx x在0，上单调递减，1 ln0 xxmx 在0，上恒成立，即1ln xmx，又 1ln xg xx在0,1单调递增，在1，上单调递减，11g，1m 故正确；对于 D，若函数 2F xf xax有两个极值点，则 1 ln2Fxxax 有两个零点，即1ln20 xax，1ln2xax，又 1ln

22、xg xx在0,1单调递增，在1，上单调递减，11g，x 时，0g x ，即 2a0,1，a10,2，故错误；故选：AC【点睛】此题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于较难题.三、三、填空题：本大题共填空题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上12已知12nx展开式中第 3 项与第 6 项的二项式系数相等，则展开式中含3x项的系数为.答案：280【分析】先根据第 3 项与第 6 项的二项式系数相等求出7n，从而得到展开式的通项公式，得到答案.【详解】由题意得25CCnn，解得7n，#QQABK

23、QIAogCAQoBAAAhCEwUwCACQkAAAAagORBAAIAIBAQFABAA=#答案解析第 7页，共 15页故712x展开式通项公式为17C2rrrTx，令3r 得33347C2280Txx，故展开式中含3x项的系数为280.故答案为：28013函数()lnf xxx的单调递减区间是.【解析】先根据函数()ln()f xxx，求导，然后结合函数的定义域为(,0)，由()0fx求解.【详解】函数()ln()f xxx的定义域为(,0)()1 ln()fxx，由()1 ln()0fxx，解得10 xe，所以函数()lnf xxx的单调递减区间是1(,0)e，14已知数列 na满足1

24、5a 12,()32(nnnanaan为奇数，为偶数).则3a _；设nS为 na的前n项和，则2024_S.（结果用指数幂表示）答案：323a，10132 36079解析：由15a 得27a 得323a#QQABKQIAogCAQoBAAAhCEwUwCACQkAAAAagORBAAIAIBAQFABAA=#答案解析第 8页，共 15页2310132310132024(343434)(323232)S101210149(3124 10122 10123 136081）+四、解答题四、解答题：本题共本题共 5 5 小题，共小题，共 7777 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写

25、出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13 分分)已知函数3()3f xxaxb在1x 处有极小值2(1)求函数()f x的解析式；(2)若函数mxfxg)()(在2,0只有一个零点，求m的取值范围答案：（1)3()34f xxx；（2）|462mmm或解：（1）3()3f xxaxb2()33fxxa1 分由3()3f xxaxb在1x 处有极小值2#QQABKQIAogCAQoBAAAhCEwUwCACQkAAAAagORBAAIAIBAQFABAA=#答案解析第 9页，共 15页得(1)3 30(1)1 32fafab，2 分解得14ab，4 分此时2()33311fxxxx，1,1,

26、0,1,0,xfxxfx 满足 fx在1x 处取极小值，5 分3()34f xxx；6 分（2）由（1）得3()34f xxx，3()34g xxxm7 分函数mxfxg)()(在2,0只有一个零点()yf xym与在2,0只有一个交点8 分由（1）得2()33311fxxxx令()0fx得1x ，1x()f x在(0,1)上单调递减，在(1,2)单调递增10 分()f x在 x=1 处有极小值(1)2f(0)4f,(2)6fm的取值范围是|462mmm或13 分16.(15 分分)今年是我国建国 75 周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后

27、一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答是否正确互不影响.已知甲回答正确的概率为23，甲、丙两人都回答正确的概率是12，乙、丙两人都回答正确的概率是14.#QQABKQIAogCAQoBAAAhCEwUwCACQkAAAAagORBAAIAIBAQFABAA=#答案解析第 10页，共 15页(1)若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率.(2)若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为25，乙抢到答题机会的概率为15，丙抢到的概率为25，求这个问题回答正确的概率.16(1)1718(2)1930（1）解：设乙答题正

28、确的概率为1p，丙答题正确的概率为2p，则甲、丙两人都回答正确的概率是22132p，解得234p，2 分乙、丙两人都回答正确的概率是13144p，解得113p，4 分所以，若规定三名同学都需要回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率为21317111133418.7 分（2）解：记事件1A为“甲抢答这道题”，事件2A为“乙抢答这道题”，事件3A为“丙抢答这道题”，8 分记事件B为“这道题被答对”，则125P A，215P A，325P A，10 分123P B A，213P B A，334P B A，12 分由全概率公式可得 312211231953535430iiiP BP

29、 A P B A.15 分17.(15 分)在ABC中，内角,A B C的对边分别是,a b c，且sin3 sin2BbCc.(1)求角B的大小；(2)若6b，且ABC的面积为237，求AC边上的中线长.17.(1)3B(2)4#QQABKQIAogCAQoBAAAhCEwUwCACQkAAAAagORBAAIAIBAQFABAA=#答案解析第 11页，共 15页解（1）sin3 sin2BbCc，由正弦定理得：sin sin3sin sin2BBCC，1 分0,C，sin0C，2 分sin3sin2BB，即2sincos3sin222BBB，3 分0,22B，sin02B，4 分3cos2

30、2B，26B5 分3B6 分（2）1137 3sin2222ABCSacBac14ac8 分在ABC中，由余弦定理2222cosbacacB得2236acac，所以2250ac10 分设AC的中点为D，则2BDBCBA ，11 分两边同时平方得：22224()2BDBCBABCBABC BA =2264acac13 分#QQABKQIAogCAQoBAAAhCEwUwCACQkAAAAagORBAAIAIBAQFABAA=#答案解析第 12页，共 15页所以216BD 14 分所以 BD=4.15 分18.(15 分)已知一个由正数组成的数阵，如下图各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，且公

31、比都相等，1214332,4,12aaa.第一行111213141,naaaaa第二行212223242,naaaaa第三行313233343,naaaaa第n行1234,nnnnnnaaaaa(1)求数列2na的通项公式；(2)设121 22,1,2,3,11nnnnbnaa，求数列 nb的前n项和nS.18.(1)22nna(2)211222nnS（1）解：由题意，设第一行的公差为1d，第三列的公比为q，则由122a，144a，可得1141222daa，11d，2 分133a，3 分又3312a，331324aaq，#QQABKQIAogCAQoBAAAhCEwUwCACQkAAAAagO

32、RBAAIAIBAQFABAA=#答案解析第 13页，共 15页2q=，5 分112122 22nnnnaaq；7 分（2）解121 2211nnnnbaa1122121nnnnb9 分 1111212111122 21212121nnnnnn.11 分121223111111112 212121212121nnnnSbbb112111112 2121222nn.15 分19.(19 分)已知函数xaxxxfln214)(2（0a）(1)当3a时，讨论函数)(xf的单调性.(2)若)(xf有两个极值点)(,2121xxxx求a的取值范围证明：axfxfln10)()(21解答：（1）当3a时2

33、1()43ln2f xxxx，（0 x）2343(3)(1)()4xxxxfxxxxx 2 分令()01,3fxxx得#QQABKQIAogCAQoBAAAhCEwUwCACQkAAAAagORBAAIAIBAQFABAA=#答案解析第 14页，共 15页()f x在 0,1,3,上单调递减，在(1,3)上单调递增.4 分（2）()afx=4-x-x2244xxaxxaxx 5 分因为)(xf有两个极值点)(,2121xxxx即：240 xxa在0,有两个不相等的实根，所以1212440400axxx xa 6 分所以04a8 分由得12124,04xxx xaa且221211122211()

34、()(4ln)(4ln)22f xf xxaxxxaxx2212121214()(lnln)()2xxaxxxxln8aaa10 分要证axfxfln10)()(21即证：ln810lnaaaa，只需证(1)ln20aaa11 分令()(1)ln2,(0,4)g aaaaa11()ln1lnag aaaaa 12 分令1()lnm aaa则211()0m aaa 恒成立，所以()m a在(0,4)上单调递减13 分#QQABKQIAogCAQoBAAAhCEwUwCACQkAAAAagORBAAIAIBAQFABAA=#答案解析第 15页，共 15页又因为1(1)10,(2)ln202mm 14 分由零点存在性定理得：0(1,2)a，使得0()0m a，即001lnaa15 分所以0(0,)aa()()0m ag a，()g a单调递增。0(,4)aa时，()()0m ag a，()g a单调递减。16 分则max00000001()()(1)ln2(1)2g ag aaaaaaa0013aa17 分因为0013yaa在0(1,2)a 上单调递增所以00111323022aa 所以()0g a，即axfxfln10)()(21得证。19 分#QQABKQIAogCAQoBAAAhCEwUwCACQkAAAAagORBAAIAIBAQFABAA=#