数学第四章 平面向量 第3讲 平面向量的数量积配套 理.ppt

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1、第3讲平面向量的数量积考纲要求考点分布考情风向标1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系2011年新课标第13题考查平面向量的垂直运算、单位向量；2012年新课标第15题考查平面向量的数量积及其运算法则；2013年新课标第13题考查平面向量的数量积等运算；2014年新课标第6题考查平面向量的运算；2015年新课标第2题考查平面向量的运算；2016年新课标第13题考查平面向量的垂直；2017年新课标第4题考查平面向量模的计算，

2、新课标第13题考查平面向量的垂直从近几年的高考试题来看，平面向量的数量积运算、平面向量的垂直等问题是高考的热点，既有选择题、填空题，又有解答题，属中低档题目，常与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题，主要考查运算能力及数形结合思想.预计2019年高考仍将以平面向量的数量积运算、平面向量的垂直为主要考点，以与三角函数、解析几何等知识交汇命题为考向1.两个向量的数量积的定义已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 ab，即 ab|a|b|cos.规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0a0.2.平面向量数量积的几何意义数

3、量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积.3.平面向量数量积的性质设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，为 a 与 b(或 e)的夹角，则：(1)eaae|a|cos.(2)abab0.(3)当 a 与 b 同向时，ab|a|b|；当 a 与 b_向时，ab|a|b|.(5)|ab|_|a|b|.反4.平面向量数量积的坐标运算设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量a与b的夹角为，则(1)abx1x2y1y2.1.(2017 年新课标)已知向量 a(2,3)，b(3，m)，且ab，则 m_.2解析：ab233m0，m2.2.(2013 年大

4、纲)已知向量 m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则()BA.4C.2B.3D.1解析：因为 mn(23,3)，mn(1，1)，由(mn)(mn)，可得(mn)(mn)(23,3)(1，1)260.解得3.3.已知向量 a(x，y)，b(1,2)，且 ab(1,3)，则|a|()CA4.(2015 年福建)设 a(1,2)，b(1,1)，cakb.若 bc，则实数 k 的值等于()考点 1 平面向量的数量积例1：(1)(2014年大纲)已知a，b为单位向量，其夹角为60，则(2ab)b()A.1B.0C.1D.2解析：(2ab)b2abb22|a|b|cosa，b|b|2211co

5、s 6010.故选 B.答案：B(2)如图 4-3-1，已知正六边形 P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是()图 4-3-1答案：A(3)(2017 年广东广州一模)已知向量 a(1，2)，b(x，-1)，若 a(ab)，则 ab_.考点 2 平面向量的夹角与垂直例 2：(1)(2017 年新课标)已知向量 a(1,2)，b(m,1).若向量 ab 与 a 垂直，则 m_.解析：ab(m1,3)，因为(ab)a0，所以(m1)230.解得 m7.答案：7(2)(2016 年新课标)设向量 a(x，x1)，b(1,2)，且a b，则 x_.则ABC()A.30B.45C.60 D

6、.120答案：A【互动探究】C考点 3 平面向量的模及应用例 3：(1)(2017 年新课标)已知向量 a，b 的夹角为 60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.解析：方法一，|a2b|2|a|24ab4|b|24421方法二，利用如图 D28，可以判断出a2b 的模长是以 2 为边长的菱形对角线图 D28(2)(2017 年浙江)已知向量a，b 满足|a|1，|b|2，则|ab|ab|的最小值是_，最大值是_.(3)(2011 年新课标)已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题：其中的真命题是()A.p1，p4 B.p1，p3 C.p2，p3 D.p2，p4答案：A答案：D

7、【规律方法】(1)求向量的模的方法：公式法，利用|a|把向量的模的运算转化为数量积运算；几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.(2)求向量模的最值(范围)的方法：代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.考点 4 平面向量的投影答案：A(2)已知向量 a(1，2)，|b|(ab)(a2b)1，则向量a 在向量 b 上的投影为()答案：D易错、易混、易漏向量中错误使用充要条件造成问题解答不全例题：已知向量 a(m2，m3)，b(2m1，m2).(1)若向量 a 与 b 的夹角为直角，求实数 m 的值；(2)若向量 a 与 b 的夹角为钝角，求实数 m 的取值范围.正解：(1)若 a 与 b 的夹角为直角，则 ab0.即(m2)(2m1)(m3)(m2)0.(2)若向量 a 与 b 的夹角为钝角，则 ab0，且 a 与 b 不共线.(m2)(2m1)(m3)(m2)0，且(m2)(m2)(m3)(2m1)0.【失误与防范】两个向量 ab0 等价于ab|a|b|0，相当于夹角的余弦值小于零，我们知道 cos10，所以 ab0 中包括了两个向量同向共线和夹角为锐角两种情况.这两点在解题中要特别注意.