数学 第一章 集合 1.2 集合之间的关系与运算 1.2.2.2 补集与集合的综合运算 新人教B版必修1.ppt

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1、第2 2课时补集与集合的综合运算一二一、全集【问题思考】1.全集一定包含任何元素吗?提示:不一定.只要含有所有所要研究的对象即可做全集.换一句话说,所研究对象对应的集合一定为该全集的子集.2.填空.在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,通常用U表示.一二二、补集【问题思考】1.已知U=a,b,c,d,e,f,A=b,f,如果从全集U中去掉集合A中的元素,剩下的元素构成的集合是什么?提示:剩余元素构成的集合为a,c,d,e.2.上述问题中所求得的集合应该怎样命名?提示:集合a,c,d,e可称为子集A在全集U的补集.符号表示为:UA=a

2、,c,d,e.一二3.填写下表:一二4.做一做:若U=x|x0,A=x|x3,则UA=.答案:x|0 x35.做一做:如图所示的阴影部分表示的集合是()A.A(UB)B.B(UA)C.U(AB)D.U(AB)答案:B思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”.(1)对任意集合A,B,U为全集,均有U(AB)=(UA)(UB).()(2)对任意集合A,B,U为全集,均有U(AB)=(UA)(UB).()(3)A(RA)=R.()(4)若A=,则R=.()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二探究三思想方法集合的补集运算集合的补集运算【例1】已知全集U=R,集合A=

3、x|-3x3,集合B=x|x1.求:(1)UA,UB;(2)U(AB).分析:(1)根据补集的定义,借助于数轴写出;(2)先求AB,再根据补集的定义写出.解:(1)A=x|-3x3,B=x|x1.在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示.UA=x|x-3或x3,UB=x|x1.(2)AB=x|-3x1,如图阴影部分所示.U(AB)=x|x1或x-3.探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,再结合补集的定义来求解.另外针对此类问题,在解答过程中也常常借助于Venn图来求解.这样处理起来,相对来说比较直观、形象且解答时不易出错.2.如果所给集合是无

4、限集,则常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据补集的定义求解,这样处理比较形象直观,解答过程中注意端点值能否取得.探究一探究二探究三思想方法变式训练变式训练1求解下列各题:(1)设全集U=R,集合A=x|0 x3,则UA=;(2)设全集U=三角形,集合A=直角三角形,则UA=.解析:(1)由于全集U=R,画出数轴(如图所示),由补集的定义可得UA=x|x0,或x3.(2)U=三角形,A=直角三角形,UA=锐角三角形,或钝角三角形.答案:(1)x|x0,或x3(2)锐角三角形,或钝角三角形探究一探究二探究三思想方法【交集、并集、补集的综合运算交集、并集、补集的综合运算例2】已知

5、全集U=x|x4,集合A=x|-2x3,B=x|-3x3,求UA,AB,U(AB),(UA)B.分析:可借助数轴分析求解.解:把全集U和集合A,B在数轴上表示(如图所示),由图可知UA=x|x-2,或3x4,AB=x|-2x3,U(AB)=x|x-2,或3x4,(UA)B=x|-3x-2,或x=3.探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.对于无限集,常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据交、并、补的定义求解,这样处理比较形象直观,解答过程中注意端点的“取”与“舍”.2.对于有限集,应先把集合中的元素一一列举出来,再结合交、并、补集的定义来求解,另外针对此类问题,在解答过程中也常

6、常借助于Venn图来求解,这样处理起来,相对来说比较直观、形象,且解答时不易出错.探究一探究二探究三思想方法变式训练变式训练2集合A=x|-1x2,B=x|x1B.x|x1C.x|1x2D.x|1x2答案:D探究一探究二探究三思想方法补集运算中的含参数问题补集运算中的含参数问题【例3】(1)设全集U=2,3,a2+2a-3,A=|a+1|,2,UA=5,则a等于;(2)已知集合A=x|xa,B=x|1x2,且ARB=R,则实数a的取值范围是.解析:(1)由UA=5,知a2+2a-3=5,解得a=-4或a=2.当a=-4时,U=2,3,5,A=3,2,满足UA=5;当a=2时,U=2,3,5,A

7、=3,2,满足UA=5.所以a的值为-4或2.(2)RB=x|x1,或x2,由于ARB=R,如图所示,所以a2.答案:(1)-4或2(2)a2探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.由集合补集求有关参数问题的思路流程:2.含参数问题一般要用到分类讨论思想、等价转化思想及数形结合思想来解决.探究一探究二探究三思想方法已知集合A=x|2a-2xa,B=x|1x2,且ARB,求实数a的取值范围.解:易知RB=x|x1,或x2.ARB,分A=和A两种情况讨论.若A=,此时有2a-2a,a2.a1.综上可知,实数a的取值范围为a|a1,或a2.探究一探究二探究三思想方法补集思想的综合应用【典例】已知集合A

8、=x|0 x2,B=x|axa+3.(1)若(RA)BR,求a的取值范围;(2)若ABA,求a的取值范围.分析:本题考查集合交集、并集的运算及补集思想的应用,求解时可先将不相等问题转化为相等问题,求出a的集合后取其补集.探究一探究二探究三思想方法解:(1)A=x|0 x2,RA=x|x2.设(RA)B=R,如图可知:a0,且a+32,即a0,且a-1,满足(RA)BR的实数a的取值范围是a0.(2)若AB=A,则AB,又A,当ABA时,a的取值范围为集合a|-1a0的补集,即a|a0.探究一探究二探究三思想方法方法点睛有些数学问题,若直接从正面解决,或解题思路不明朗,或需要考虑的因素太多,可用

9、补集思想考虑其对立面,即从结论的反面去思考,探索已知和未知之间的关系,从而化繁为简,化难为易,开拓解题思路,这就是补集思想的应用.(1)运用补集思想求参数范围的方法:否定已知条件考虑反面问题;求解反面问题对应的参数范围;将反面问题对应的参数范围取补集.(2)补集思想适用的情况:从正面考虑情况较多,问题较复杂的时候,往往考虑运用补集思想.探究一探究二探究三思想方法变式训练变式训练已知集合A=x|x3,B=x|k-1x-1k,若AB,求k的取值范围.分析:AB时对应的k的取值范围不好直接求解,可考虑问题的反面:先求AB=时对应的k的取值范围,再取其“补集”,即可得AB时k的取值范围.解:由已知可得

10、B=x|kxk+1,解得-6k2.令P=k|-6k2,则RP=k|k2.所以当AB时,k的取值范围是k2.1.设U=R,A=x|x4,则UA等于()A.x|x4B.x|2x4C.x|2x4D.x|x2,或x4答案:C2.设集合I=0,1,2,3,4为全集,集合A=0,1,2,3,B=2,3,4,则IAIB等于()A.0B.0,1C.0,1,4D.0,1,2,3,4答案:C3.有下列命题:若AB=U,则A=B=U;若AB=,则A=B=;若AB=U,则UAUB=;若AB=,则A=B=;若AB=,则UAUB=U;若AB=U,则A=B=U.其中不正确的有()A.0个B.2个 C.4个D.6个解析:若集

11、合A,B中有一个为U的真子集,那么ABU,所以A=B=U;若集合A,B中有一个不为空集,那么AB,所以A=B=;因为UAUB=U(AB),而AB=U,所以UAUB=U(AB)=;当集合A,B中只要有一个为空集或两个集合中没有共同的元素,就有AB=,所以不一定有A=B=;因为UAUB=U(AB),而AB=,所以UAUB=U(AB)=U;当AB=U时,有可能A=,B=U,所以不一定有A=B=U.所以不正确的为,共2个.答案:B4.设全集为U,用集合A,B的交集、并集、补集符号表示图中的阴影部分.(1)_(2)_答案:(1)U(AB)(或UAUB)(2)UAB6.设全集为U,已知集合A=1,3,5,7,9,UA=2,4,6,8,UB=1,4,6,8,9,求集合B.解:如图,借助Venn图,得U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,UB=1,4,6,8,9,B=2,3,5,7.