数学第二章 函数、导数及其应用 第11讲 一元二次方程根的分布配套 理.ppt

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1、第11讲一元二次方程根的分布考纲要求考点分布考情风向标结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2011年新课标第10题考查函数的零点存在性定理；2013年新课标第2题考查函数的零点存在定理；2014年新课标第12题以函数零点为背景，考查导数的应用；2016年天津第8题根据根的分布求参数的范围高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是找函数零点个数；一种是判断零点的范围另外备考中应该特别注意运用导数来研究函数零点图 2111图 2112方程有两根(如图2113)：x2k，x1 k af(k)0；图 2113方程有且只有一根在区间(k1，k2)内

2、f(k1)f(k2)0(如图2114)；图 2114图 2115方程两根满足k1x1k2p1x2p2D2.若关于 x 的方程 x2axa10 有异号的两个实根，则 a的取值范围是_.a73.若方程 8x2(m1)xm70 有两个负根，则实数 m的取值范围是_.4.若关于 x 的方程 x2axa240 有两个正根，则实数 a的取值范围是_.考点 1 一元二次方程根的分布考向 1 零分布例1：当m取何实数时，方程2(m1)x24mx3m20.(1)有一正实数根和一负实数根；(2)有两个负实数根；(3)正根绝对值大于负根绝对值；(4)有实数根.(3)方程正根绝对值大于负根绝对值2m1，且 m1.综上

3、所述，2m1 时，方程有实根.考向 2 K 分布例2：(1)若方程x2(k2)x2k10的两根中，一根在0 和 1 之间，另一根在 1 和 2 之间，则 k 的取值范围为_.(2)已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比 1 小，求实数 a 的取值范围.图 D13解：方法一，设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0.x1x2(x1x2)10.由根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即a2a20，2a1.方法二，函数图象大致如图D13，则有f(1)0，即1(a21)a20，得a2a20.2a1.故实数a的取值范围是(

4、2,1).【互动探究】1.已知函数f(x)x2ax2，aR.(1)若不等式f(x)0的解集为1,2，求不等式f(x)1x2的解集；(2)若函数g(x)f(x)x21在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围.考点 2 一元二次方程根的分布的应用例 3：已知抛物线 yx2mx1 与以 A(3,0)，B(0,3)为端点的线段 AB 恰有一个公共点，求实数 m 的取值范围.【互动探究】2.若二次函数yx2mx1的图象与两端点为A(0,3)，B(3,0)的线段 AB 有两个不同的交点，求 m 的取值范围.解：线段AB的方程为xy3(0 x3).思想与方法运用分类讨论思想判断方程根的分布例题

5、：已知函数f(x)ax2x13a(aR)在区间1,1上有零点，求实数 a 的取值范围.解：方法一，当 a0 时，f(x)x1.令 f(x)0，得 x1，是区间1,1上的零点.当 a0 时，函数 f(x)在区间1,1上有零点分为三种情况：方程 f(x)0 在区间1,1上有重根.若函数 yf(x)在区间1,1上有两个零点，则【规律方法】(1)函数 f(x)ax2x13a(aR)在区间1,1上有零点，应该分类讨论：讨论 a0 与 a0；讨论有一个零点或有两个零点；如果只有一个零点还要讨论是否是重根；(2)函数 f(x)的零点不是“点”，它是一个数，是方程 f(x)0 的实数根；(3)准确理解根的存在

6、性定理：f(x)在a，b上连续；f(a)f(b)0；这是零点存在的一个充分条件，不是必要条件，并且满足 f(a)f(b)0 时，f(x)在a，b上至少有一个零点；不满足 f(a)f(b)0 时，f(x)在a，b上未必无零点，也可能有多个零点.【互动探究】3.已知二次函数f(x)x2(2a1)x12a.(1)判断命题：“对于任意的 aR(R 为实数集)，方程 f(x)1 必有实数根”的真假，并写出判断过程；a 的取值范围.解：(1)“对于任意的aR(R为实数集)，方程f(x)1必有实数根”是真命题.依题意，得f(x)1有实数根，即x2(2a1)x2a0有实数根.(2a1)28a(2a1)20对于任意的aR(R为实数集)恒成立，x2(2a1)x2a0必有实数根.f(x)1必有实数根.