高三数学第二篇 数学思想 四 转化与化归思想 文.ppt

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1、四、转化与化归思想四、转化与化归思想思想解读思想解读思想解读思想解读应用类型应用类型转化与化归思想,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而解决问题的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.1.在三角函数中,涉及三角式的变形,一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题,以起到化暗为明的作用,主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等.2.在函数,不等式等问题中常将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉

2、的函数、方程、不等式等.3.在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时,常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化.4.在解决数列问题时,常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解.5.在利用导数研究函数问题时,常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题,转化为其导函数f(x)构成的方程、不等式问题求解.6.在解决解析几何、立体几何问题时,常常在数与形之间进行转化.总纲目录应用一正与反的相互转化应用二变量与常量的转化应用三 函数、方程、不等式间的转化应用一应用一正与反的相互转化正与反的相互转化例例若对任意t1,2,函数g(x)=x3+x2-2x在区间(t,3)上

3、总不为单调函数,则实数m的取值范围是.答案答案-m-5解析解析由题意得g(x)=3x2+(m+4)x-2,若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数,则g(x)0在(t,3)上恒成立,或g(x)0在(t,3)上恒成立.(正反转化)由得3x2+(m+4)x-20,即m+4-3x在x(t,3)上恒成立,m+4-3t恒成立,则m+4-1,即m-5;由得m+4-3x在x(t,3)上恒成立,则m+4-9,即m-.函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为-m0”是真命题,可得m的取值范围是(-,1),而(-,a)与(-,1)为同一区间,故a=1.2.已知函数f(x)=alnx+x2+(a

4、-6)x在(0,3)上不是单调函数,则实数a的取值范围是.答案答案(0,2)解析解析f(x)=+2x+(a-6)=,设g(x)=2x2+(a-6)x+a,因为函数f(x)在(0,3)上不是单调函数,所以函数g(x)=2x2+(a-6)x+a在(0,3)上不会恒大于零或恒小于零.又g(0)=a,g(3)=4a,所以解得0a4x+p-3成立的x的取值范围是.答案答案(-,-1)(3,+)解析解析设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3,则当x=1时,f(p)=0.所以x1.f(p)在0p4上恒为正等价于即解得x3或x0成立的x的取值范围,再借助一次函数的单调性就很容易使问题得以解决.(2)在处理多

5、变元的数学问题时,我们可以选取其中的常数(或参数),将其看作是“主元”,实现主与次的转化,即常量与变量的转化,从而达到减元的目的.跟踪集训跟踪集训设f(x)是定义在R上的单调递增函数,若f(1-ax-x2)f(2-a)对任意a-1,1恒成立,则x的取值范围为.答案答案(-,-10,+)解析解析f(x)是R上的单调递增函数,1-ax-x22-a,a-1,1.可化为(x-1)a+x2+10,对a-1,1恒成立.令g(a)=(x-1)a+x2+1.则解得x0或x-1.即实数x的取值范围是(-,-10,+).应用三应用三函数、方程、不等式间的转化函数、方程、不等式间的转化例例已知e为自然对数的底数,若

6、对任意的x,总存在唯一的y-1,1,使得lnx-x+1+a=y2ey成立,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.解析解析设f(x)=lnx-x+1+a,当x时,f(x)=0,f(x)是增函数,所以x时,f(x);设g(y)=y2ey,则g(y)=eyy(y+2),则g(y)在-1,0)上单调递减,在0,1上单调递增,且g(-1)=g(1)=e.所以g(y)0,e.因为对任意的x,存在唯一的y-1,1,使得f(x)=g(y)成立,所以0,e,解得ae.答案答案A【技法点评】【技法点评】(1)函数与方程、不等式联系密切,解决方程、不等式的问题需要函数帮助.(2)解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般可将不等关系转化为最值(值域)问题,从而求参变量的范围.跟踪集训跟踪集训已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5,其中f(x)是f(x)的导函数.对任意a-1,1,都有g(x)0,则实数x的取值范围为.答案答案解析解析由题意,知g(x)=3x2-ax+3a-5,令(a)=(3-x)a+3x2-5,-1a1.由题意得即解得-x1.