高三数学第一篇六 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 理.ppt

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1、第第2 2讲讲 椭圆、双曲线、抛物线椭圆、双曲线、抛物线考情分析考情分析总纲目录考点一 圆锥曲线的定义及标准方程考点二 圆锥曲线的几何性质（高频考点）考点三 直线与圆锥曲线的位置关系考点一圆锥曲线的定义及标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|);(2)双曲线:|PF1|-|PF2|=2a(2ab0;(2)双曲线的标准方程为-=1,其中a0,b0;(3)抛物线的标准方程为x2=2py,y2=2px,其中p0.典型例题典型例题(1)(2017课标全国,5,5分)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的

2、方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1(2)(2017课标全国,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=.解析解析(1)由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为-=k(k0),即-=1,双曲线与椭圆+=1有公共焦点,4k+5k=12-3,解得k=1,故双曲线C的方程为-=1.故选B.(2)如图,过M、N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1、N1,设抛物线的准线与x轴的交点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为FN的中点,所以|MM1|=3,由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,从

3、而|FN|=2|FM|=6.答案答案(1)B(2)6方法归纳方法归纳圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”.(1)定型:就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程.(2)计算:即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法确定时,抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a0),椭圆常设为mx2+ny2=1(m0,n0),双曲线常设为mx2-ny2=1(mn0).跟踪集训跟踪集训1.已知椭圆中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的方程为()A.+=1B.+=

4、1C.+=1D.+=1答案答案A设椭圆的标准方程为+=1(ab0).由点P(2,)在椭圆上,得+=1.|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a=22c,=.又c2=a2-b2,a2=8,b2=6.即椭圆的方程为+=1.2.(2017湖北七市(州)联考)双曲线-=1(a,b0)的离心率为,左、右焦点分别为F1、F2,P为双曲线右支上一点,F1PF2的平分线为l,点F1关于l的对称点为Q,|F2Q|=2,则双曲线的方程为()A.-y2=1B.x2-=1C.x2-=1D.-y2=1答案答案BF1PF2的平分线为l,点F1关于l的对称点为Q,|PF

5、1|=|PQ|,而|PF1|-|PF2|=2a,|PQ|-|PF2|=2a,即|F2Q|=2=2a,解得a=1.又e=c=b2=c2-a2=2,双曲线的方程为x2-=1.故选B.考点二圆锥曲线的几何性质(高频考点)命题点命题点1.求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围.2.由圆锥曲线的性质求圆锥曲线的标准方程.3.求双曲线的渐近线方程.1.椭圆、双曲线中,a,b,c之间的关系(1)在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为e=;(2)在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为e=.2.双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系.典型例题典型例题(1)(2017课标全国

6、,10,5分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.B.C.D.(2)(2017山东,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.答案答案(1)A(2)y=x解析解析(1)以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,该圆与直线bx-ay+2ab=0相切,=a,即2b=,a2=3b2,a2=b2+c2,=,e=.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2

7、).因为4|OF|=|AF|+|BF|,所以4=y1+y2+,即y1+y2=p.由消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0,所以y1+y2=.由可得=,故双曲线的渐近线方程为y=x.方法归纳方法归纳圆锥曲线的几何性质的应用确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围,其关键就是建立一个关于a,b,c的方程(组)或不等式(组),再根据a,b,c的关系消掉b得到关于a,c的关系式.建立关于a,b,c的方程(组)或不等式(组)时,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标等.跟踪集训跟踪集训1.(2017成都第一次诊断性检测)已知双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,双曲线上一点P满足P

8、F2x轴.若|F1F2|=12,|PF2|=5,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.3答案答案C由双曲线的定义,知|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=2a+|PF2|=2a+5.在RtPF2F1中,|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,即(2a+5)2=52+122,解得a=4.因为|F1F2|=12,所以c=6,所以双曲线的离心率e=,故选C.2.(2017兰州高考实战模拟)以F(p0)为焦点的抛物线C的准线与双曲线x2-y2=2相交于M,N两点,若MNF为正三角形,则抛物线C的方程为()A.y2=2xB.y2=4xC.x2=2yD.x2=4y答案答案D以F(p0)为焦点

9、的抛物线C的准线方程为y=-,M,N在直线y=-上,又MNF是正三角形,点F到MN的距离为-=p,设点M在双曲线x2-y2=2的左支上,点N在右支上,M,N,-=2,解得p=2,抛物线C的方程为x2=2py=4y,故选D.考点三直线与圆锥曲线的位置关系判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题的两种常用方法判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题的两种常用方法:(1)代数法:即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组,消去y(或x)得一元方程,此方程根的个数即为交点个数,由方程组的解得交点坐标;(2)几何法:即画出直线与圆锥曲线,根据图形判断公共点的个数.典型例题典型例题(2016

10、课标全国,20,12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求;(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.解析解析(1)由已知得M(0,t),P.又N为M关于点P的对称点,所以N,所以ON的方程为y=x,将其代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=.因此H.所以N为OH的中点,即=2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下:直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).将其代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y

11、2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.方法归纳方法归纳解决直线与圆锥曲线的位置关系问题的步骤(1)设方程及点的坐标;(2)联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程(注意二次项系数是否为零);(3)应用根与系数的关系及判别式;(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解.跟踪集训跟踪集训(2017贵州适应性考试)设F1,F2分别是椭圆E:+=1(ab0)的左,右焦点,E的离心率为,点(0,1)是E上一点.(1)求椭圆E的方程;(2)过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,且=2,求直线BF2的方程.解析解析(1)由题意知,b=1,且e2=,解得

12、a2=2,所以椭圆E的方程为+y2=1.(2)由题意知,直线AB的斜率存在且不为0,故可设直线AB的方程为x=my-1,设A(x1,y1),B(x2,y2).由得(m2+2)y2-2my-1=0,则y1+y2=,y1y2=-,因为F1(-1,0),所以=(-1-x2,-y2),=(x1+1,y1),由=2可得-y2=2y1,由可得B.则=或-,所以直线BF2的方程为y=x-或y=-x+.1.(2016课标全国,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k0)与C交于点P,PFx轴,则k=()A.B.1C.D.2随堂检测随堂检测答案答案D由题意得点P的坐标为(1,2).把点P的坐标代

13、入y=(k0)得k=12=2,故选D.2.(2017天津,5,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案答案B由离心率为可知a=b,c=a,所以F(-a,0),由题意可知kPF=1,所以a=4,解得a=2,所以双曲线的方程为-=1,故选B.3.已知抛物线y2=2px的焦点F与椭圆16x2+25y2=400的左焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且|AK|=|AF|,则点A的横坐标为()A.2B.-2C.3D.-3答案答案D16x2+25y

14、2=400可化为+=1,则椭圆的左焦点为F(-3,0),又抛物线y2=2px的焦点为,准线为x=-,所以=-3,即p=-6,则y2=-12x,K的坐标为(3,0).设A(x,y),则由|AK|=|AF|得(x-3)2+y2=2(x+3)2+y2,即x2+18x+9+y2=0,又y2=-12x,所以x2+6x+9=0,解得x=-3.4.(2016北京,12,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a=;b=.答案答案1;2解析解析由题意可知双曲线的焦点在x轴上,故渐近线方程为y=x,一条渐近线为2x+y=0,即y=-2x,=2,即b=2a.又该双曲线的一个焦点为(,0),c=.由a2+b2=c2可得a2+(2a)2=5,解得a=1,b=2.5.(2017郑州第二次质量预测)已知双曲线C2与椭圆C1:+=1具有相同的焦点,则两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最大时双曲线C2的离心率为.答案答案解析解析设双曲线的方程为-=1(a0,b0),由题意知a2+b2=4-3=1,由解得交点的坐标满足由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知,以它们的交点为顶点的四边形是长方形,其面积S=4|xy|=4=88=4,当且仅当a2=1-a2,即a2=时,取等号,此时双曲线的方程为-=1,离心率e=.