高三数学第四章 三角函数解三角形 第四讲 正、余弦定理及解三角形 理.ppt

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1、目 录 Contents考情精解读考点1A.知识全通关B.题型全突破C.能力大提升考法1考法2考法4考法3易混易错考点5考法6考点2考情精解读考纲解读命题趋势命题规律考情精解读1数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形考试大纲01 01 01 011.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.考纲解读命题规律考情精解读2命题趋势考点2016全国2015全国2014全国自主命题区域利用正、余弦定理解三角形【40%】全国,13,5分全国,8,5分全国,4,5分2016江苏,15,14分2016浙江,16

2、,14分2015江苏,15,14分2015北京,12,5分2014浙江,18,14分2014北京,15,13分数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形考纲解读命题规律考情精解读3命题趋势考点2016全国2015全国2014全国自主命题区域正弦定理和余弦定理的综合应用【60%】全国,17,12分全国,17,12分全国,16,5分2016四川,17,12分2016山东,16,12分2015浙江,16,14分2014江苏,14,5分2014浙江,17,4分2014天津,12,5分数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形考纲解读命题规律考情精解读4返回目录1.热点预测预计高考对本讲内容的考查以解三角形为主

3、,题型为选择题、填空题或解答题,分值4 12分.2.趋势分析预计2018年高考会以解三角形为载体,与三角函数、不等式、向量等相结合命题,复习时应予以关注.命题趋势数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形知识全通关知识全通关1考点一正、余弦定理及其应用继续学习数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形1.正弦、余弦定理 在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为ABC的外接圆半径,则定理正弦定理余弦定理内容a2=b2+c2-2bccos A;b2=c2+a2-2cacos B;c2=a2+b2-2abcos C知识全通关2继续学习数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形变形知识全通关3继续

4、学习数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形解决的问题(1)已知两角和任一边,求另一角和其他两条边;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角(1)已知三边,求各角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;(3)已知两边和其中一边的对角,求其他角和边注意 (1)利用余弦定理求边长,实质是解一元二次方程,得到方程的根即边长,然后根据已知条件对方程的根进行取舍;(2)在ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理时,会出现解的不确定性,一般可根据三角形中“大边对大角”的性质来取舍.知识全通关4继续学习数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形知识全通关5继续学习数学第四章第四讲正、余弦定理及

5、解三角形3.斜三角形的类型与解法正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素(三角形有三个角和三条边,三角形的边与角称为三角形的元素),如果其中三个元素是已知的(至少要有一个元素是边),那么这个三角形一定可解.关于斜三角形的解法,根据已知条件及适用的定理,可以归纳为以下四种类型(设三角形为ABC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c):基本类型一般解法已知两角及其中一角的对边,如A,B,a知识全通关5继续学习数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形已知两边和它们的夹角,如a,b,C已知三边 可以连续用余弦定理求出两角,常常是分别求较小两边所对的角,再由A+B+C=180,求出第三个角;

6、由余弦定理求出一个角后,也可以根据正弦定理求出第二个角,但仍然是先求较小边所对的角知识全通关6继续学习数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形已知两边及其中一边所对的角,如a,b,A知识全通关7考点二解三角形的实际应用继续学习数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形知识全通关8继续学习数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形说明有关测量中的几个术语如下:术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫作仰角,目标视线在水平视线下方的叫作俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫作方位角.方位角的范围是(0,360)知识全通关9继续学

7、习数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)例:(1)北偏东:(2)南偏西:坡角坡面与水平面的夹角知识全通关10数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形解三角形实际应用题的步骤返回目录【规律总结】题型全突破考法一利用正、余弦定理解三角形继续学习题型全突破1考法指导1.已知三角形任意两角及一边,用正弦定理求解时,只有一解.2.已知三角形任意两边与其中一边的对角,用正弦定理求解时,可能有一解,也可能有两解.如已知a,b及角A,解的情况如下:数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形A为锐角图形关系式 a=bsin A bsin Aab

8、解的个数一解继续学习题型全突破3数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形继续学习题型全突破4数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形继续学习题型全突破5考法指导判断三角形的形状,主要有如下两种方法:(1)化边.利用正弦、余弦定理把已知角转化为边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,如:若a=b,则三角形为等腰三角形;若c2=a2+b2,则三角形为以角C为直角的直角三角形;若c2a2+b2,则三角形为以角C为钝角的钝角三角形;若c2a2+b2,则只能得到三角形中角C为锐角,如果同时有a2c2+b2,b2a2+c2都成立,此三角形为锐角三角形;有时可能得到两个结论a=b,且c2=a2+b2,此

9、时三角形为等腰直角三角形.化简过程中不能随便约分,要把关系找充分,从而正确判断三角形的形状.考法二三角形形状的判断数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形继续学习题型全突破6数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形继续学习题型全突破7数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形继续学习题型全突破8数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形题型全突破9【突破攻略】继续学习三角形形状的判断要从角或边长之间的关系上来考虑,除了应用正弦定理外,还要注意三角函数中公式的灵活应用和性质的应用.数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形考法三与面积、范围有关的问题题型全突破10继续学习数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形题

10、型全突破11继续学习数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形题型全突破12继续学习数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形题型全突破13继续学习数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形题型全突破14继续学习数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形题型全突破15【突破攻略】继续学习在解三角形的问题中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号,防止出现增解或漏解.数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形考法四正、余弦定理在平面几何中的应用题型全突破16继续学习考法指导(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解;(2)寻找

11、各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果.做题过程中,要用到平面几何中的一些知识点,如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质,要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合,才能顺利解决问题.数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形 题型全突破17继续学习数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形图4-4-2题型全突破18继续学习数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形题型全突破19继续学习数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形图4-4-3考法五解三角形的实际应用题型全突破20继续学习考法指导1.测量距离问题分为三种类型:两点间不可达又不可视、两点间可视但不可达、两点都不可达.解决此问题的方法是:选

12、择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.2.测量高度问题一般涉及方位角、仰角、俯角等,因而所画图形常为立体图形.在画图时,要注意运用空间想象力.解题时要尽可能地寻找其中的直角三角形,利用直角三角形中的特殊关系解决问题,避免复杂的运算.3.与距离问题和高度问题不同,角度问题求解的方向为角,但解决角度问题的关键仍在于将实际问题转化为具体的解三角形问题,即确定所求角,找出三角形中已知的边和角,利用正、余弦定理将这些边、角联系起来求解.数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形 考法示例6某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立

13、即测出该渔轮在方位角为45,距离为10 n mile的C处,并测得渔轮正沿方位角为105的方向,以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢,我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.思路分析本题中所涉及的路程在不断变化,但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等,先设出所用时间t,找出等量关系,然后解三角形.图4-4-4题型全突破21继续学习数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形 题型全突破22继续学习数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形考法六三角形中的综合问题题型全突破23继续学习考法指导高考综合考查三角函数知识,常常以三角形为载体,在三角形中综合考查三角函

14、数的图象与性质,正、余弦定理及解三角形,正、余弦定理,向量等知识.数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形 题型全突破24继续学习数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形 题型全突破25继续学习数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形题型全突破26【突破攻略】在三角形边角关系相互制约的问题中,基本的解决思路有两种:一是根据正、余弦定理把边的关系都转化为角的关系,通过正、余弦定理及解三角形解决问题;二是根据正、余弦定理把角的关系都转化为边的关系,通过代数变换解决问题.数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形返回目录能力大提升能力大提升1继续学习代数式化简或三角运算不当致误数学第四章第四讲正、余弦定理及解

15、三角形示例8在ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断ABC的形状.易错分析(1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等,忽略两角互补情形;(2)代数运算中两边同除以一个可能为0的式子,导致漏解;(3)结论表述不规范.解析因为(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),所以b2sin(A+B)+sin(A-B)=a2sin(A+B)-sin(A-B).所以a2cos Asin B=b2sin Acos B.解法一由正弦定理知a=2Rsin A,b=2Rsin B,所以sin2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B.又sin Asin B0,所以sin Acos A=sin Bcos B,所以sin 2A=sin 2B.易混易错能力大提升2数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形继续学习能力大提升3返回目录易错提示 1.判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化,使之变为只含边或只含角的式子然后判断.注意不要轻易两边同除以一个式子.2.在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一,并注重挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A,B,C的范围对三角函数值的影响.数学第四章第四讲正、余弦定理及解三角形