高三数学第十三章 计数原理 第二讲 排列与组合 理.ppt

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1、目录Contents考情精解读考点1考点2A.知识全通关B.题型全突破C.能力大提升考法1考法2考法3易错1易错2易错3考情精解读考纲解读命题趋势命题规律考情精解读1考试大纲1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能解决简单的实际问题.数学 第二讲排列与组合考纲解读命题规律考情精解读2命题趋势数学 第二讲排列与组合考点2016全国2015全国2014全国自主命题区域排列与组合【60%】2016四川,4,5分2014北京,13,5分2014浙江,14,4分考纲解读命题规律考情精解读3返回目录1.热点预测利用排列、组合解决计数问题是高考考查本讲内容的热点,以选择

2、题、填空题为主,分值为5分.2.趋势分析预测2018年,仍以利用排列、组合知识解决计数问题为主,也可能与概率相结合进行考查.命题趋势数学 第二讲排列与组合知识全通关知识全通关1考点1排列与排列数继续学习数学 第二讲排列与组合1.排列与排列数:一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,所有不同排列的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示.2.排列数公式:=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n,mN*,且mn).n个不同元素全部取出的一个排列,叫作n个元素的一个全排列.这时公式中m=n,即有=n!=n(

3、n-1)(n-2)21.规定:0!=1.知识全通关2高考帮数学 第二讲排列与组合继续学习【名师提醒】知识全通关3数学 第二讲排列与组合继续学习1.组合与组合数:一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,所有不同组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示.【辨析比较】考点2组合与组合数排列与组合的异同点共同点:都是“从n个不同元素中取出m个元素”.不同点:前者与元素的顺序有关,为“将取出的元素按照一定顺序排成一列”,后者与元素的顺序无关,为“将取出的元素合成一组”.因此我们可以得到:区分某一问题是排列问题还是组合问题,

4、关键是看选出的元素是否与顺序有关.知识全通关4数学 第二讲排列与组合继续学习(1)对于组合数的第一个公式,它体现了组合数与相应排列数的关系,当n确定而m变化时,组合数与m是一种函数关系,一般在计算具体的组合数时,常用此公式.(2)第二个公式的主要作用有:当m,n较大时,利用此公式计算组合数较为简便;对含有字母的组合数的式子进行变形和证明时,常用此公式.3.组合数的性质:【注意】知识全通关6返回目录高考帮数学 第二讲排列与组合【名师提醒】组合数的性质的应用:性质(1)主要有两个方面的应用,一是简化运算,当m时,通常将计算转化为计算;二是列等式,由可得x=y或x+y=n.性质(2)主要应用于恒等变

5、形,简化运算.题型全突破考法1排列问题的求解继续学习数学 第二讲排列与组合题型全突破1考法透析求解排列问题的常用方法:直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法相邻问题捆绑处理,即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列,同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素的排列空中先整体,后局部“小集团”排列问题中,先整体后局部除法对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列间接法正难则反,等价转化的方法数学 第二讲排列与组合继续学习题型全突破2考法示例16名同学排成1排照相,要

6、求同学甲既不站在最左边又不站在最右边,共有多少种不同站法?【思想分析思想分析】由于最左边和最右边是特殊位置,可采用位置分析法;由于甲是特殊元素,也可采用元素分析法;还可以直接从反面考虑.数学 第二讲排列与组合继续学习题型全突破3【解析】解法一(位置分析法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边,再安排余下4人的位置,分为两步:第1步,从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边,有种站法;第2步,余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上,有种站法.由分步乘法计数原理可知,共有=480(种)不同的站法.高考帮数学 第二讲排列与组合继续学习题型全突破4【解析】解法二(元素分析法)先安排甲的位置(既不站在

7、最左边又不站在最右边),再安排其他5人的位置,分为两步:第1步,将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上,有种站法;第2步,余下5人站在剩下的5个位置上,有种站法.由分步乘法计数原理可知,共有=480(种)不同的站法.数学第二讲排列与组合继续学习题型全突破4解法三(间接法)6人无限制条件排队有种站法,甲站在最左边或最右边时6人排队有种站法,因此符合条件的不同站法共有=480(种).【点评】解法一和解法二进行排列时总体都进行了分步,体现了特殊元素优先处理的原则;解法三中用总数减去不符合要求的站法,体现了正难则反的数学思想,这是我们解决此类问题时常用的一种思想.考法2组合问题的求解继续学习数学 第二

8、讲排列与组合题型全突破5考法指导组合问题的常见题型:(1)“含”与“不含”的问题:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.(2)“至少”与“最多”的问题:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.数学 第二讲排列与组合继续学习题型全突破6考法示例2某学校为了迎接市春季运动会,从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛,要求男、女生都有,则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为A.85B.86C.91D.90【思路

9、分析】可直接求解,也可用间接法求解,注意题目中“至少”的含义.数学 第二讲排列与组合继续学习题型全突破7【解析】解法一(直接法)由题意,可分三类考虑:第1类,男生甲入选,女生乙不入选,则方法种数为第2类,男生甲不入选,女生乙入选,则方法种数为第3类,男生甲入选,女生乙入选,则方法种数为所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31+34+21=86.数学 第二讲排列与组合继续学习题型全突破8【解析】解法二(间接法)从5名男生和4名女生中任意选出4人,男、女生都有的选法有男、女生都有,且男生甲与女生乙都没有入选的方法有所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为120-34=86.【点评】考法

10、示例2是一个“至少”型问题,解法一在分类时,总体上分了三类,而在每一类中又分别分了三类;解法二中用了三次间接法.考法3排列与组合的综合应用继续学习高考帮数学 第二讲排列与组合题型全突破9考法指导先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法,利用先选后排法解答问题只需三步即可完成.第一步:选元素,即选出符合条件的元素;第二步:进行排列,即把选出的元素按要求进行排列;第三步:计算总数,即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算总数.数学 第二讲排列与组合继续学习题型全突破10考法示例3 从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为A.300B.21

11、6C.180D.162(2)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个.(用数字作答)【思路分析】(1)根据特殊数字0进行分类在每一类中利用分步乘法计数原理求得四位数的个数(2)根据题意分三个偶数和两个奇数、一个偶数两类再在每一类中根据是否含有0进行分类和分步综合利用两个基本计数原理求解数学 第二讲排列与组合继续学习题型全突破11(1)分两类:第1类,不取0,即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数,根据分步乘法计数原理可知,共有不同的四位数;第2类,取0,此时2和4只能取一个,再取两个奇数,组

12、成没有重复数字的四位数,根据分步乘法计数原理可知,共有不同的四位数.根据分类加法计数原理可知,满足题意的四位数共有72+108=180(个).故选C.【解析】数学 第二讲排列与组合继续学习题型全突破12(2)当个位、十位和百位上的数字为三个偶数时,若选出的三个偶数含有0,则千位上把剩余数字中任意一个放上即可,方法数是=72;若选出的三个偶数不含0,此时千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上,方法数是.故这种情况下符合要求的四位数共72+18=90(个).当个位、十位和百位上的数字为一个偶数、两个奇数时,若选出的偶数是0,则再选出两个奇数,千位上只要在剩余数字中选一个放上即可,方法数为;若选出的

13、偶数不是0,则再选出两个奇数后,千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上,方法数是.故这种情况下符合要求的四位数共有72+162=234(个).根据分类加法计数原理,符合要求的四位数共有90+234=324(个).返回目录数学 第二讲排列与组合题型全突破13.【技巧点拨】(1)仔细审题,判断是组合问题还是排列问题.要按元素的性质分类,按事件发生的过程进行分步.(2)以元素为主时,先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;以位置为主时,先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.(3)对于有附加条件的比较复杂的排列、组合题,要周密分析,设计出合理的方案,一般先把复杂问题分解成若干个简单的基本问题,然后应用分

14、类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决,一般遵循先选后排的原则.能力大提升均匀分组与不均匀分组相混淆致误继续学习数学 第二讲排列与组合能力大提升1分组分配问题是排列、组合问题的综合运用,解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配.关于分组问题,有整体均分、部分均分和不等分组三种,无论分成几组,都应注意只要有一些组中元素的个数相等,就存在均分现象.继续学习数学 第二讲排列与组合能力大提升21.整体均分问题【示例4】家教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教,有种不同的分派方法

15、.【思路分析】确定平均分组的方法数将3组毕业生分到3所学校由分步乘法计数原理求方法总数继续学习数学 第二讲排列与组合能力大提升3【解析】【点评】本题属于整体均分,解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以(n为均分的组数),避免重复计数.先把6个毕业生平均分成3组,有种方法,再将3组毕业生分到3所学校,有种方法,故6个毕业生平均分到3所学校,共有分派方法.继续学习数学 第二讲排列与组合能力大提升42.部分均分问题【示例5】将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人,每人至少1本的不同分法共有种.(用数字作答)【思路分析】把6本不同的书分成4组,相当于4个不同元素把4

16、个元素分给4个人由分步乘法计数原理求分法总数继续学习数学 第二讲排列与组合能力大提升5【解析】【点评】本题属于部分均分,解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!,一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数.把6本不同的书分成4组,每组至少1本的分法有2种.有1组3本,其余3组每组1本,不同的分法共有(种);有2组每组2本,其余2组每组1本,不同的分法共有(种).所以不同的分组方法20+45=65(种)然后把分好的4组书分给4个人,所以不同的分法共有(种).继续学习数学 第二讲排列与组合能力大提升63.不等分问题【示例6】将6名教师分到

17、3所中学任教,一所1名,一所2名,一所3名,则有种不同的分法.【思路分析】将6名教师分成3组,相当于3个不同元素将3个元素分给3所中学由分步乘法计数原理求分法总数继续学习数学 第二讲排列与组合能力大提升7【解析】【点评】本题属于不等分组,只需先分组,后排列,注意分组时任何组中元素的个数都不相等,所以不需要除以全排列数.将6名教师分组,分三步完成:第1步,在6名教师中任取1名作为一组,有种取法;第2步,在余下的5名教师中任取2名作为一组,有种取法;第3步,余下的3名教师作为一组,有种取法.根据分步乘法计数原理,共有(种)取法.再将这3组教师分配到3所中学,有（种)分法,故共有606=360(种)不同的分法.返回目录数学 第二讲排列与组合能力大提升8【通关秘籍】平均分组与不平均分组、无序分组与有序分组是排列组合中常见的题型,解决此类问题的关键是正确判断是不是平均分组、有序分组,无序平均分组要除以组数的阶乘,有序平均分组是无序平均分组的基础上乘以组数的阶乘.