高三数学第3章 导数及其应用 第二讲 导数的应用 文.ppt

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1、目录Contents考情精解读考点1考点2A.知识全通关B.题型全突破C.能力大提升考法1考法2考法4考法3方法1方法2考点3考法5方法3考情精解读考纲解读命题趋势命题规律考情精解读1数学 第三章第二讲导数的应用考试大纲01011.了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题).考纲解读命题规律考情精解读2命

2、题趋势考点2016全国2015全国2014全国自主命题区域利用导数研究函数的单调性【50%】全国,21()全国,21()全国,21,12分2016天津,20()2016山东,20()2016四川,21()2015江苏,19,16分2015北京,19,13分2015天津,20,14分2015四川,21()2014山东,20,13分2014天津,19,14分数学第三章第二讲导数的应用考纲解读命题规律考情精解读2命题趋势数学第三章第二讲导数的应用考查内容2016全国2015全国2014全国自主命题区域利用导数研究函数的极值和最值【50%】全国,21,12分2016天津,20()()2016山东,20

3、()2015山东,20,13分2015浙江,20,15分2015北京,19,13分2014北京,20,13分2014天津,19,14分2014四川,21()生活中的优化问题和导数与方程、不等式的综合【40%】全国,21,12分全国,21,12分全国,21,12分2015浙江,20,15分2015天津,20,14分2015北京,19,13分2014江苏,19,16分考纲解读命题规律考情精解读3返回目录1.热点预测预计2018年高考对本讲内容仍将以考查函数单调性、极值及应用问题为主,以解答题的形式呈现的可能性极大.2.趋势分析导数已由解决问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具,利用导数解决函

4、数的单调性与最值的命题趋势较强,同时也应注意利用导数研究生活中的优化问题,2018年高考复习时应予以高度关注.命题趋势数学第三章第二讲导数的应用知识全通关知识全通关1考点一函数的单调性与导数继续学习函数单调性与导数符号的关系如下:函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,(1)若f(x)0,则f(x)在这个区间内是单调递增函数;(2)若f(x)0是不是y=f(x)为增函数的充要条件?继续学习【易错警示】数学第三章第二讲导数的应用f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件,这是因为f(x)0能推出f(x)为增函数,而f(x)为增函数能推出f(x)0,由上述分析还可得到f(x)0是f(x)为增函数

5、的必要不充分条件.同理,f(x)0是f(x)为减函数的必要不充分条件.知识全通关3考点二函数的极值、最值与导数1.函数的极值继续学习数学第三章第二讲导数的应用极大值极小值定义在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值,则称点x0为函数y=f(x)的极大值点,其函数值f(x0)为函数的极大值在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值,则称点x0为函数y=f(x)的极小值点,其函数值f(x0)为函数的极小值图象知识全通关4继续学习数学第三章第二讲导数的应用注意(1)函数的极值点一定出现在区间的内

6、部,区间的端点不能称为极值点;(2)在函数的整个定义域内,极值不一定是唯一的,有可能有多个极大值或极小值;(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即极大值未必大于极小值,极小值也未必小于极大值;(4)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝对不是单调函数,即在某区间上单调的函数在此区间内没有极值.知识全通关5【易错警示】极值点处的导数是否一定为0?可导函数的极值点必须是导数为0的点,但导数为0的点不一定是极值点,即f(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件.例如,函数y=x3在x=0处有y=0,但x=0不是极值点.此外,函数的不可导点也可能是函数

7、的极值点.继续学习数学第三章第二讲导数的应用知识全通关6继续学习数学第三章第二讲导数的应用最大值最小值定义函数y=f(x)在区间a,b上所有点的函数值都不超过f(x0),则称点x0为函数f(x)在区间a,b上的最大值点,f(x0)为函数f(x)的最大值函数y=f(x)在区间a,b上所有点的函数值都不小于f(x0),则称点x0为函数f(x)在区间a,b上的最小值点,f(x0)为函数f(x)的最小值图象2.函数的最值知识全通关7继续学习数学第三章第二讲导数的应用函数的极值函数的最值函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的

8、端点函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的函数的极值可能不止一个,也可能一个没有函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个函数的极大值不一定大于函数的极小值函数的最大值一定大于等于函数的最小值极值与最值的区别与联系【辨析比较】1.区别知识全通关8继续学习2.联系(1)当连续函数在开区间内的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数的最值点;(2)极值有可能是最值,但最值只要不在区间端点处取得,其必定是极值.数学第三章第二讲导数的应用考点三生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.利用导数解决生活中优

9、化问题的基本思路为:数学第三章第二讲导数的应用知识全通关9继续学习数学第三章第二讲导数的应用知识全通关10【名师提醒】继续学习1.在求实际问题的最大值、最小值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去.2.在实际问题中,如果函数在定义域内只有一个极值点,一般情况下,只要根据实际意义判定其是最大值还是最小值即可,不必再与端点处的函数值比较.题型全突破考法一利用导数研究函数的单调性继续学习题型全突破1考法指导1.利用导数求函数单调区间的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f(x);(3)由f(x)0(或0与f(x)0这两个不等式的解集问题来处理;(3)若可导函数f(x)

10、在指定区间D上单调递增(减),则应将其转化为f(x)0(f(x)0)来处理;(4)如果一个函数具有相同的单调性且单调区间不止一个,这些单调区间不能用“”连接,而只能用“,”或“和”连接;(5)涉及含参数的函数的单调性或单调区间问题,一定要弄清参数对导数f(x)在某一区间内的符号是否有影响.若有影响,则必须分类讨论.继续学习题型全突破6考法指导1.求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)求导数f(x);(2)求方程f(x)=0的根;(3)检验f(x)在方程f(x)=0的根的左右两侧的符号,具体如下表:考法二利用导数求函数的极值和最值数学第三章第二讲导数的应用xxx0f(x)f(x)0f(x)=0f

11、(x)0f(x)增极大值f(x0)减xxx0f(x)f(x)0f(x)减极小值f(x0)增继续学习题型全突破72.求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下:(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;(2)把函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.数学第三章第二讲导数的应用题型全突破8继续学习数学第三章第二讲导数的应用题型全突破9继续学习数学第三章第二讲导数的应用x(-,0)0f(x)-0+0-f(x)极小值极大值数学第三章第二讲导数的应用知识全通关10【突破攻略】继续学习一般地,在闭区间a,b上的连续函数f(

12、x)必有最大值与最小值,但在开区间(a,b)内的连续函数不一定有最大值与最小值.若函数y=f(x)在闭区间a,b上是单调递增函数,则f(a)是最小值,f(b)是最大值;反之,则f(a)是最大值,f(b)是最小值.考法三已知函数单调性、极值或最值求参数题型全突破11继续学习考法指导1.已知f(x)在区间D上是单调函数,求f(x)中参数的取值范围常用分离参数法:通常将f(x)0(或f(x)0)的参数分离,转化为求最值问题,从而求出参数的取值范围.特别地,若f(x)为二次函数,可以由f(x)0(或f(x)0)恒成立求出参数的取值范围.2.已知函数的极值求参数时,通常利用函数的导数在极值点处的取值等于

13、零来建立关于参数的方程.需注意的是,可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件,所以必须对求出的参数值进行检验,看是否符合函数取得极值的条件.3.已知函数的最值求参数,一般先求出最值,利用待定系数法求解.数学第三章第二讲导数的应用 题型全突破12继续学习数学第三章第二讲导数的应用题型全突破13继续学习数学第三章第二讲导数的应用题型全突破14继续学习数学第三章第二讲导数的应用题型全突破15继续学习数学第三章第二讲导数的应用题型全突破16继续学习数学第三章第二讲导数的应用考法指导1.导数与函数变化快慢的关系:如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得

14、快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.2.导数与函数单调性间的关系:(1)已知导函数的图象,一般看其函数值的正负变化,即导函数图象在哪个区间上位于x轴的上方,在哪个区间上位于x轴的下方;(2)已知原函数的图象,则看其在哪个区间上上升,在哪个区间上下降;(3)导函数图象与x轴的交点(过x轴)的横坐标为函数的极值点.考法四(导)函数图象与单调性、极值、最值的关系题型全突破18继续学习数学第三章第二讲导数的应用题型全突破19继续学习考法示例5f(x)是f(x)的导函数,若f(x)的图象如图3-2-2所示,f(x)的图象可能是图3-2-2ABCD思路分析解析由

15、导函数的图象可知,当x0,即函数f(x)为增函数;当0 xx1时,f(x)x1时,f(x)0,即函数f(x)为增函数.观察选项易知C正确.答案C数学第三章第二讲导数的应用考法示例6设函数f(x)在R上可导,图3-2-3其导函数为f(x),且函数y=(1-x)f(x)的图象如图3-2-3所示,则下列结论中一定成立的是A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)题型全突破20继续学习数学第三章第二讲导数的应用题型全突破21继续学习思路分析解析由图

16、3-2-3可知,当x0;当-2x1时,f(x)0;当1x2时,f(x)2时,f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.答案D数学第三章第二讲导数的应用考点五利用导数解最优化问题考法指导利用导数解最优化问题的一般步骤如下:(1)抽象出实际问题的数学模型,列出函数关系式y=f(x).(2)求函数f(x)的导数f(x),并解方程f(x)=0,即求函数可能的极值点.(3)比较函数f(x)在区间端点处的函数值和可能极值点处的函数值的大小,得出函数f(x)的最大值或最小值.(4)根据实际问题的意义给出答案.数学第三章第二讲导数的应用题型全突破23继续学习数学第三章第

17、二讲导数的应用题型全突破24继续学习图3-2-5数学第三章第二讲导数的应用题型全突破25继续学习数学第三章第二讲导数的应用题型全突破26继续学习数学第三章第二讲导数的应用题型全突破27继续学习能力大提升思想方法能力大提升1继续学习巧用导数妙解有关恒成立、存在性问题“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即f(x)g(a)对于xD恒成立,应求f(x)的最小值;若存在xD,使得f(x)g(a)成立,应求f(x)的最大值.在具体问题中究竟是求最大值还是最小值,可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值,这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值.特别需要注意等号是否成立问题,以免

18、细节出错.数学第三章第二讲导数的应用数学第三章第二讲导数的应用能力大提升2返回目录返回目录能力大提升3【技巧点拨】在恒成立问题中有时需要取交集,有时需要取并集,本题结果取交集.一般而言,在同一“问题”中,若是对自变量作分类讨论,其结果要取交集;若是对参数作分类讨论,其结果要取并集.数学第三章第二讲导数的应用数学第三章第二讲导数的应用能力大提升4继续学习数学第三章第二讲导数的应用能力大提升5继续学习返回目录能力大提升6【方法探究】切入点不同,构造的函数也不相同,本题也可以构造函数结合选项利用函数图象及排除法来完成.数学第三章第二讲导数的应用数学第三章第二讲导数的应用能力大提升7继续学习数学第三章第二讲导数的应用能力大提升8继续学习返回目录能力大提升9【温馨提示】如果一个问题的求解中既有“存在性”问题又有“恒成立”问题,那么需要对问题进行等价转化,一定要注意转化的等价性、巧妙性,防止在转化中出错而使问题的求解出错.数学第三章第二讲导数的应用