数学第三章 导数及其应用 3.2 利用导数研究函数的单调性 理.ppt

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1、第2讲利用导数研究函数的单调性考试要求1.函数单调性与导数的关系，A级要求；2.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)，B级要求知 识 梳 理1函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在某个区间内可导，(1)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内 ；(2)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内 单调递增单调递减2利用导数求函数单调区间的基本步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)由f(x)0(或0)解出相应的x的取值范围当f(x)0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f(x)0时，f(x)在相应的区间内是单

2、调递减函数一般需要通过列表，写出函数的单调区间3已知单调性求解参数范围的步骤为：(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f(x)；(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(x)0恒成立；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(x)0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f(x)0.若f(x)0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常数函数，舍去此参数值.诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性

3、()(3)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件()解析(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增一定有f(x)0，且不恒为0，故错(3)f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件如f(x)x3在R上为增函数，但f(x)0，故(3)错答案(1)(2)(3)3已知f(x)x3ax在1，)是增函数，则实数a的取值范围是_解析f(x)3x2a，由题意知3x2a0，即a3x2在x1，)恒成立又当x1，)时，3x23，a3，a的取值范围是(，3答案(，34(2017南京、盐城模拟)函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对 任 意 xR，f(x)2，则 f(x)2x 4的 解 集 为_解析设F(x)f(

4、x)(2x4)，则F(1)f(1)(24)220.F(x)f(x)2，对任意xR，F(x)0，即函数F(x)在R上是单调增函数，则F(x)0的解集为(1，)，故f(x)2x4的解集为(1，)答案(1，)规律方法用导数讨论(证明)函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求f(x)；(2)确认f(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f(x)0时为增函数；f(x)0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f(x)0，f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件4可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)，且f(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零