数学第二章 函数概念与基本初等函数I 2.8 函数与方程 理.ppt

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1、第8讲函数与方程考试要求函数的零点与方程根的关系，一元二次方程根的存在性及根的个数的判断，B级要求知 识 梳 理1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)(xD)，把使 的实数x叫作函数yf(x)(xD)的零点(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与 有交点函数yf(x)有 f(x)0 x轴零点(3)零点存在性定理如果函数yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；则函数yf(x)在(a，b)上存在零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根f(a)f(b)02二次函数yax2bxc(a0)的图像与零点的关系b24ac00

2、0)的图像与x轴的交点无交点零点个数两个一个零个(x1,0)，(x2,0)(x1,0)诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时，函数y2x与yx2的图象有两个交点()解析(1)函数的零点是函数的图象与x轴交点的横坐标，故(1)错；(2)函数f(x)x2在区间(1,1)内有零点，且函数图象连续，但f(1)f(1)0.答案(1)(2)(3)(4)3(2015安徽卷改编)在函数ycos x；ysin x；

3、yln x；yx21中，既是偶函数又存在零点的是_(填序号)解析由于ysin x是奇函数；yln x是非奇非偶函数；yx21是偶函数但没有零点；只有ycos x是偶函数又有零点答案答案3答案(1)1(2)4规律方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)0，有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数规律方法已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数

4、范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解考点三二次函数的零点问题【例3】已知函数f(x)x2ax2，aR.(1)若不等式f(x)0的解集为1,2，求不等式f(x)1x2的解集；(2)若函数g(x)f(x)x21在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围规律方法解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组【训练3】已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，

5、一个零点比1小，求实数a的取值范围解法一设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，x1x2(x1x2)10，由根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即a2a20，2a1.法二函数图象大致如图，则有f(1)0，即1(a21)a20，得a2a20，2a1.故实数a的取值范围是(2,1).思想方法1判定函数零点的常用方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)0.2研究方程f(x)g(x)的解，实质就是研究G(x)f(x)g(x)的零点3转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题 易错防范1函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标2函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象