湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024届高三年级高考考前素养(测试)卷(最后一卷)数学含答案.pdf

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1、 1 学科网（北京）股份有限公司 华师一附中华师一附中 2024 届高三高考考前素养卷届高三高考考前素养卷 数数 学学 试试 题题 一一.选择题选择题:本题共本题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分.在每小题给出的在每小题给出的 4 个选项中个选项中,只有一项是符合题只有一项是符合题目要求的目要求的.1.设复数 =2+13,则 的虚部是 A.1 B.-1 C.D.2.设双曲线:2222=1(0,0)的右焦点为 ,过 作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为 ,若 =2(为坐标原点),则双曲线 的离心率为 A.3 B.3 C.2 D.2 3.若命题“1,3,2+(2)2 0”是假

2、命题,则 不能等于 A.-1 B.0 C.1 D.23 4.函数()=sin(2+)(0 )向左平移 个单位后在区间 0,2 单调递增,则 =A.3 B.2 C.6 D.23 5.已知数列 的前 项和为 ,若 是等差数列,且 10=0,6=23+18,则 1=（）A.1 B.-9 C.10 D.-10 6.如图,在 中,=90,=1,是 边的中点,过点 作 于点 ,延长 交 于点 ,则 =(第 6题图)A.34 B.32 C.23 D.53 2 学科网（北京）股份有限公司 7.29012+29123+29234+29293031=A.23031930 B.23132930 C.23031870

3、 D.23132870 8.如图所示是一个以 为直径,点 为圆心的半圆,其半径为 4,为线段 的中点,其中,是半圆圆周上的三个点,且把半圆的圆周 分成了弧长相等的四段,若将该半圆围成一个以 为顶点的圆锥的侧面,则 在该圆锥中下列结论正确的是 (第 8题图)A.为正三角形 B.平面 C./平面 D.点 到平面 的距离为 23 二二.选择题选择题:本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 6 分分,共共 18 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中,有多有多 项符合题目要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分分,部分选对的得部分分部分选对的得部分分,有选错的得有选错的得 0 分

4、分.9.设函数()=123 22+2,则下列结论正确的是(A.存在实数 0 使得(0)=(0)B.方程()=3 有唯一正实数解 C.方程()=1 有唯一负实数解 D.()=1 有负实数解 10.已知随机事件,满足 =14,(+)=1,则下列结论正确的是()A.()=()B.()=34 C.()=()D.=13 11.设点(1,1)(1 0)是抛物线 2=4 上任意一点,过点 作抛物线 2=4 的两条切 线,分别交抛物线 2=4 于点(2,2)和点(3,3),则下列结论正确的是()A.(1+2)12=8 B.1+2+3=0 C.123=16 D.直线 与抛物线 2=4 相切 三三.填空题填空题:

5、本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 15 分分.12.已知曲线()=ln+2 在点 1,(1)处的切线的倾斜角为 3,则 的值为 _.13.已知 0 ,0 ,若有且只有一组数对(,)满足不等式 2+2+()2+2+2+()2+()2+()2 22,则实数 的取 值集合为_.3 学科网（北京）股份有限公司 14.在三棱锥中 ,=22,且 ,记直线,与平面 所 成角分别为,已知 =2=60,当三棱锥 的体积最小时,则三棱锥 外接球的表面积为_.四.解答题:本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本题满分 13 分)在等差数列()中,1+

6、2=11,3=10.（1）求 的通项公式;（2）若=1+1+2,数列 的前 项和为 ,证明:0)的半长轴的长度与焦距相等,且 过焦点且与 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为 3,（1）求椭圆 的方程;（2）已知直线 0:+2 2=0 与椭圆 C 交于 A,B 两点,过点(2,3)的直线交椭圆 C 于,两点(在靠近 的一侧).(i)求|的取值范围;(ii)在直线 0 上是否存在一定点 ,使 =恒成立?若存在,求出 点的 坐标;若不存在,请说明理由.19.(本小题满分 17 分)泊松分布是一种重要的离散型分布,用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量 的所有可能取值为 0,1,2,且(=)=!,=0,

7、1,2,其中 0,则称 服从泊松分布,记作 ().（1）设 (),且(=1)=(=3),求(=2);（2）已知当 20,0 0,0)的右焦点为 ,过 作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为 ,若 =2(为坐标原点),则双曲线 的离心率为 A.3 B.3 C.2 D.2 3.若命题“1,3,2+(2)2 0”是假命题,则 不能等于 A.-1 B.0 C.1 D.23 4.函数()=sin(2+)(0 )向左平移 个单位后在区间 0,2 单调递增,则 =A.3 B.2 C.6 D.23 5.已知数列 的前 项和为 ,若 是等差数列,且 10=0,6=23+18,则 1=（）A.1 B.-9 C.10

8、D.-10 6.如图,在 中,=90,=1,是 边的中点,过点 作 于点 ,延长 交 于点 ,则 =(第 6题图)A.34 B.32 C.23 D.53 2 学科网（北京）股份有限公司 7.29012+29123+29234+29293031=A.23031930 B.23132930 C.23031870 D.23132870 8.如图所示是一个以 为直径,点 为圆心的半圆,其半径为 4,为线段 的中点,其中,是半圆圆周上的三个点,且把半圆的圆周 分成了弧长相等的四段,若将该半圆围成一个以 为顶点的圆锥的侧面,则 在该圆锥中下列结论正确的是 (第 8题图)A.为正三角形 B.平面 C./平面

9、 D.点 到平面 的距离为 23 二二.选择题选择题:本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 6 分分,共共 18 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中,有多有多 项符合题目要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分分,部分选对的得部分分部分选对的得部分分,有选错的得有选错的得 0 分分.9.设函数()=123 22+2,则下列结论正确的是(A.存在实数 0 使得(0)=(0)B.方程()=3 有唯一正实数解 C.方程()=1 有唯一负实数解 D.()=1 有负实数解 10.已知随机事件,满足 =14,(+)=1,则下列结论正确的是()A.()=()B.()=34 C.(

10、)=()D.=13 11.设点(1,1)(1 0)是抛物线 2=4 上任意一点,过点 作抛物线 2=4 的两条切 线,分别交抛物线 2=4 于点(2,2)和点(3,3),则下列结论正确的是()A.(1+2)12=8 B.1+2+3=0 C.123=16 D.直线 与抛物线 2=4 相切 三三.填空题填空题:本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 15 分分.12.已知曲线()=ln+2 在点 1,(1)处的切线的倾斜角为 3,则 的值为 _.13.已知 0 ,0 ,若有且只有一组数对(,)满足不等式 2+2+()2+2+2+()2+()2+()2 22,则实数 的取 值集合为

11、_.3 学科网（北京）股份有限公司 14.在三棱锥中 ,=22,且 ,记直线,与平面 所 成角分别为,已知 =2=60,当三棱锥 的体积最小时,则三棱锥 外接球的表面积为_.四.解答题:本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本题满分 13 分)在等差数列()中,1+2=11,3=10.（1）求 的通项公式;（2）若=1+1+2,数列 的前 项和为 ,证明:0)的半长轴的长度与焦距相等,且 过焦点且与 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为 3,（1）求椭圆 的方程;（2）已知直线 0:+2 2=0 与椭圆 C 交于 A,B 两点,过点(2,3)的直线交椭圆 C

12、 于,两点(在靠近 的一侧).(i)求|的取值范围;(ii)在直线 0 上是否存在一定点 ,使 =恒成立?若存在,求出 点的 坐标;若不存在,请说明理由.19.(本小题满分 17 分)泊松分布是一种重要的离散型分布,用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量 的所有可能取值为 0,1,2,且(=)=!,=0,1,2,其中 0,则称 服从泊松分布,记作 ().（1）设 (),且(=1)=(=3),求(=2);（2）已知当 20,0，0b）的右焦点为F，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若2FH FOa=uuu r（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（）A.3B.3C.2D.23.若命题“

13、1,3a$，2220axax+-”是假命题，则x不能等于（）A.1-B.0C.1D.234.若函数 sin 2f xxj=+（0j）向左正移j个单位后在区间0,2上单调递增，则j=（）A.3B.2C.6D.235.已知数列 na的前n项和为nS，若nSn是等差数列，且100S=，63218SS=+，则1a=（）A.1B.9-C.10D.10-6.如图，在ABC中，90ACB=，1ACBC=，D是CB边的中点，过点C作CEAD于点E，延长CE交AB于点F，则BF=（）A.34B.32C.23D.537.01229292929291 22 33 430 31CCCC+=（）A.30231930-B

14、.31232930-C.30231870-D.31232870-8.如图所示是一个以AB为直径，点S为圆心的半圆，其半径为 4，F为线段AS的中点，其中C，D，E是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成一个以S为顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列结果正确的是（）A.CEF为正三角形B.SA平面CEFC./SD平面CEFD.点D到平面CEF的距离为2 3二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，

15、部分选对的得部分分分，部分选对的得部分分.9.设函数 321222f xxxx=-+，则下列结论正确的是（）A.存在实数0 x使得00f xfx=B.方程 3f x=有唯一正实数解C.方程 1f x=-有唯一负实数解D.1f x=有负实数解10.已知随机事件A，B满足14P ABP AB=，1P AB+=，则下列结论正确的是（）A.P AP B=B.34P A=C.P B AP B=D.13P A B=11.设点11,A x y（10 x）是抛物线24yx=上任意一点，过点A作抛物线24xy=的两条切线，分别交抛物线24yx=于点22,B xy和点33,C xy，则下列结论正确的是（）A.12

16、128yyy y+=-B.1230yyy+=C.12316y y y=D.直线BC与抛物线24xy=相切三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.已知曲线 2lnxxaf x=+在点 1,1f处的切线的倾斜角为3，则a的值为_.13.已知0 xa，0ya，若有且只有一组数对;x y满足不等式222222222 2xyxayxyaxaya+-+-+-+-，则实数a的取值集合为_.14.在三棱锥中PABC-，2 2ABBC=，且ABBC.记直线PA，PC与平面ABC所成角分别为a，b，已知260ba=，当三棱锥PABC-的体积最小时，则

17、三棱锥PABC-外接球的表面积为_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13 分）在等差数列 na（*nN）中，1211aa+=，310a=.（1）求 na的通项公式；（2）若121nnnnba aa+=，数列的 nb前n项和为nT，证明1168nT）的半长轴的长度与焦距相等，且过焦点且与x轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为 3.（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线0l：220 xy+-=与椭圆C交于A，B两点，过点2,3P的直线交椭圆C于E，F两点（E在靠近P的一侧）（）求P

18、EPF的取值范围；（）在直线0l上是否存在一定点M，使EMAFMA=恒成立？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由.19.（17 分）泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量X的所有可能取值为 0，1，2，且!kP Xkekll-=，0,1,2,k=其中0l，则称X服从泊松分布，记作 XPl.（1）设 XPl，且12P XP X=，求2P X=；（2）已知当20n，00.05p时，可以用泊松分布P np近似二项分布,B n p，即对于,XB n p，YP np，当k不太大时，有P XkP Yk=.（）已知甲地区共有 100000 户居民，每户居民每天有 0.

19、00010 的概率需要一名水电工.试估计某天需要至少 2 名水电工的概率；（）在（）的基础上，已知乙地区共有 200000 户居民，每户居民每天有 0.00004 的概率需要一名水电工.试估计某天两个地区一起至少需要 3 名水电工的概率.2024 届高三年级高考考前素养卷届高三年级高考考前素养卷数学试题参考答案数学试题参考答案总分：总分：150 分分 考试时间：考试时间：120 分钟分钟 命审题数学核心素小组命审题数学核心素小组一、单选题，本题共一、单选题，本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分、共分、共 40 分：在每小题给出的四个选项中，只有一分：在每小题给出的四个选项中，只有一个是

20、符合题目要求的个是符合题目要求的.1.【答案】A【解析】1 i 1 i1 ii1 i1 i 1 iz+=-=-+-+，则iz=，虚部是 1，选 A.2.【答案】D【解析】22cos,oscFH FOFHFOFH FOb cFH FOba=uuur uuu ruuuruuu ruuur uuu ruuur uuu r，222ca=，离心率2e=3.【答案】C【解析】淘汰法或写出真命题，然后根据王元思想求出x的取值范围.4.【答案】B【解析】函数 sin 2f xxj=+向左平移j个单位后为sin 23f xxjj+=+，当0,2x时，233,3xjjj+，sin 23f xxjj+=+单调递增，

21、且0j，332j=，2j=.5.【答案】B【解析】设数列nSn的公差为d，首项为1a，63218SS=+，两边同除以 6 得：63363SS=+，33d=，解得1d=，又100S=，即1019010Sad=+=，解得19a=-，故选：B.6.【答案】C【解析】（方法一）设AFABl=uuuruuru，ADCF，0AD CF=uuur uuu r，02ACABAFAC+-=uuuruuu ruuu ruuur，0ACABABACl+-=uuuruuu ruuu ruuur，2210AB ACABACll-+-=uuuuuruuu ruuru ru，1ACBC=，21AC=uuur，22AB=uu

22、u r，1AB AC=uuu r uuur，代入解得23l=，23AFAB=uuu ruuu r，1233BFAB=，故选 C.（方法二）因为90ACB=，ACBC=，所以ABC为等腰直角三角形，又因为1AC=，AD为中线，所以1BC=，12CDBD=，所以222215122ADACCD=+=+=.因为CEAD，所以90CED=，所以AD CEAC CD=，即1152552AC CDCEAD=，所以22221552510DECDCE=-=-.过点F作FHCB交CB于点H，所以90FHB=，因为tanDEFHFCBCECH=，设FHHBx=，则1CHx=-，所以510155xx=-，解得13x=

23、，23BF=.选 C.7.【答案】B【解析】2929!112!29!12kCkkkkkk=+-+23129!31!12!29!2!29!31 3031 30kCkkkk+=+-+-.其中0,1,229k=，01229292929291 22 33 430 31CCCC+310131233131313131312123230 3130 31930CCCCC-=+=，选 B.8.【答案】C【解析】选项 A，该半圆围成的圆锥，如图所示，设圆锥底面半径为r，则24r=，2r=，4CE=，F为AS的中点，O为AS的中点，/FO SD，且122SOCE=，90CFE=，CEF为等腰直角三角形，选项 A 错

24、误；选项 B，若SA平面CEF，则90AFO=，直角CEF中，2AOOFAF=，60AFO=，选项 B 错误；选项 C，/FO SD，/SD平面SAD，选项 C 正确；选项 D，CEAD，CESO，CE 平面SAD，平面CEF 平面SAD，D到直线FO的距离即为D到平面CEF的距离，又/FO SD，D到直线FO的距离等于O到直线SD的距离，为3，选项 D 错误；故正确选项为 C.二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分

25、选对的得部分分分，部分选对的得部分分.9.【答案】ABC【解析】由题意可知，函数 232211122442222f xxxxx xxx x=-+=-+=-，而 12322fxxx=-，结合图像易得.故正确选项为 ABC.10.【答案】ABD【解析】P AP ABP AB=+，P ABP AP AB=-，P BP ABP AB=+，P ABP BP AB=-，P ABP AB=，P AP ABP BP AB-=-，P AP B=，故 A 正确；1P ABP AP BP AB+=+-=，21P ABP A=-，又 14P ABP AP AB=-=解得 34P A=，12P AB=，故 B 正确；1

26、32243P ABP B AP BP A=，故 C 不正确；141433P ABP A BP B=，故 D 正确；综上，选 ABD11.【答案】BCD【解析】直线AB的斜率为121222121212444yyyykyyxxyy-=-+-，直线AB的方程为11124yyxxyy-=-+，即212112144yyyyy yxx+-=-，2114yx=，直线AB的方程为12124yyyy yx-=+，联立24xy=，消y得：212121640yyxxy y+-=，直线AB与抛物线24xy=相切，2121216160yyy y=+=，121216yyy y+=，选项 A 错误；同理可得131316yy

27、y y+=-，12121313yyy yyyy y+=+，10y，122133yyyyyy+=+整理得231230yyyyy-+=，23yy，1230yyy+=，选项 B 正确；由1230yy+=可得123yyy+=-，代入121216yyy y+=-得12316y y y=，选项 C 正确；将直线BC的方程与抛物线24xy=联立，同理可得222323123161616160yyy yy y y=+=-=，直线BC与抛物线24xy=相切，选项 D 正确：综上所述，正确选项为 BCD.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.【答案】

28、31a=+【解析】：函数 2lnxf xxa=+的导数 12xfxxa=+，函数f x在x=1处的倾斜角为 3，2113fa=+=，231a=-，31a=+13.【答案】1【解析】如图所示，0 xa，0ya，,0A a，,B a a，0,Ca，,P x y，22222222xyxayxyaxaya+-+-+-+-2 2POPAPCPBPOPBPAPCOBACa=+=+=有且只有一组数对,x y满足不等式，1a=，a的取值集合为 1b，且14.【答案】16【解析】设点P在平面ABC内的投影为P，因为直线PA，PC与平面ABC所成角分别为a，260ba=，则30a=，根据线面夹角关系可知3P PP

29、 C=，33P PP A=，所以3 P CP A=线，建立如图所示直角坐标系.令,P x y，由阿波罗尼斯圆可知，投影P在圆上运动，以AC为x轴，过AC的中点O作垂，由题可知2,0A-，0,2B，2,0C.则2222322xyxy-+=+，化简得225924xy-+=，可知P在以5,02为圆心，半径为32的圆上，当P C最小时，P P最小，即三棱锥PABC-的体积最小，此时1,0P，min352122P C=-=，min3P=，5P B=，P点在底面ABC上的射影P在AC上，且90APC=o，又90ABC=o此时三棱锥PABC-的外接球的球心为AC的中点，外接球的半径122RAC=，2244

30、216SR=球表面积四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）设等差数列 na的公差为d，因为1231110aaa+=即11211210adad+=+=解得143ad=，所以1143131naandnn=+-=+-=+.所以数列 na的通项公式为31nan=+（2）31nan=+，121131 3437nnnnba aannn+=+（方法一）121131 3437nnnnba aannn+=+111116 31 3434 37nnnn=-+11111111831343

31、437knknnTkkkk=-+化简得：1111118434737nTnn=-+1111686 3437168nTnn=-+（方法二）12111131 34373431 37nnnnba aannnnnn+=+1111111116 34 31376 31 3434 37nnnnnnn=-=-+11111111164 77 107 1010 1331 3434 37nTnnnn=-+-+-+1111111116 2834 371686 34 37168nnnn=-=-，g x单调递增；1,x+，0gx，g x单调递减；又x -，f x -；x +，0f x；11ef=；故112ea-，解得e02

32、a-时，0gx当xR时恒成立，g x在R上单调递增，因为121e102aga-=-，所以 g x有一个零点，即为 f x的一个极值点；当0a=时，0g x 当xR时恒成立，即 f x无极值点；当0a 时，当ln2xa-，0gx-，0gx，所以 g x在,ln2a-单调递减，在ln2,a-+上单调递增，故 minln222 ln2g xgaaaa=-=-+-，若 min0g x即e2a -.当0 x，当0 x 时，22ln242 ln222ln2gaaaaaaa-=+-=-，设 lns ttt=-，e2t，故 10ts tt-=，故 s t在e,2+上为增函数，故 eeeelnlln202222

33、s ts=-=-+，故22ln20aaa-，故当ln20ga-，xj单调递增，00 xjj=，不符合题意；若0212a+，即1122a-时，则0,21xa+，0 xj，xj单调递增，2,x+，0 xj，xj单调递减，又 00j=，故令 2232217e42e222 1102eaaj-=-+-=，解得27e4a-，即27e142a-，若212a+，即12a 时，则0,2x，0 xj，xj单调递增，21,xa+，0 xj，xj单调递减故令3221121212121 112aaeaaaaj-+=+-+-2132112aeaa-+=+-记 2132112ah aeaa-+=+-，则 221e210ah

34、 aa-+=-恒成立，故当12a 时，214102eh ah=-时，可得3211 e2xxxax+-恒成立，设 3211 e2xxxh xx+-=，则 332233112e22e222xxxxxxxxxxh xxx-+-+-+-=2233112e12e22122xxxxxxxxxxxx-+-+-+=.可设 21e12xm xxx=-，可得 e1xm xx=-，设 e1xk xx=-，e1xkx=-，由0 x，可得 0kx恒成立，可得 k x在0,+递增，m x在0,+递增，所以 00m xm=，即 0m x恒成立，即 m x在0,+递增，所以 00m xm=，再令 0h x=，可得2x=，当0

35、2x，h x在0,2递增；2x 时，0h x，则0,2m）则 2121212122112121862333393yyyyy yPEPFyyPFPEyyyyy y-+-+=+=-+222222222222181218122736186234343421632273618123334933434mmmmmmmmmmmmmmmmm-+-+=-+-+-+设322,8mt+=，则22211016162,163332124PEPFtPFPEttt+=-+=-+-+-.则1,13PEPF.）设00,M xy，则0022xy=-.设直线EM，FM：100ykxxy=-+，200ykxxy=-+，由EMAFMA

36、=，则A到直线EM，FM的距离相等，即10020022122211kxykxykk-+-+=+.代入000122MAykx-=-，化简得12124340k kkk-+-=.则01020102010201024340yyyyyxyyxyxxxxxx-+-=-，通分并整理得 20012120001201243 223yyyyy yx yyxxmxyy-+-+-+212001212240my yxxxxx x+-+=.代入得222000000222181227361624432 2223343434mmmmmyyyyyymmmm-+-+-+222200222218122736162424481624

37、2222034343434mmmmmmmmyymmmm-+-+=+.化简得02530m my-=.故035y=.则4 3,5 5M.（注：其他解法对照给分）19.【解析】：（1）由13P XP X=得3ee6llll-=，解得6l=.故26662e3e2!P X-=.（2）（）设1X为甲地区某天需要的水电工数目，则10,1,2,X=，且1100000,0.00010XB.因为110000020n=，100.000100.05p=，11100000 0.0001010n p=，所以1 11110110ee!kkn pn pP Xkkk-=.那么，某天至少需要 2 名水电工的概率约为1010101

38、1121011 e10e1 11eP XP XP X-=-=-=-=-（）设2X为乙地区某天需要的水电工数目，则20,1,2,X=，且2200000,0.00004XB.因为220000020n=，200.000040.05p=，22200000 0.000048n p=，所以2222828ee!kkn pn pP Xkkk-=.于是 12121200,kkiiP XXkP Xi XkiP Xi P Xki=+=-=-11810800!108eee108!ikkkik iiikkiikikiki-=-=-1818180ee18108108e!kkkiik ikiCkkk-=+=.那么，某天两个地区一起至少需要 3 名水电工的概率约为1212121231012P XXP XXP XXP XX+=-+=-+=-+=181818181 e18e162e1 181e-=-.