数学-2024届高考考前最后一卷（新课标II卷）（全解全析及评分标准）.pdf

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1、 数学 全解全析及评分标准 第 1 页（共 14 页）2024 届高考考前最后一卷（新课标 II 卷）数学全解全析及评分标准 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B C D A D C B A ABD AB BCD 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 B【解析】因为2|52400,1,2,3,4,8AxxxN,2,0,2,4,B 所以0,2,4AB 故选 B 2C【解析】令i(,)zab a bR，则i2(i)3i1abab，所以23bb，解得1b .故选 C 3D【解析】因为12ACCB，所以1(),

2、2OCOAOBOC 所以3115(1,2)(3,0)(,2)2222OCOAOB ,所以5 4(,)3 3OC，所以点 C 的坐标为5 4(,)3 3故选 D 4A【解析】用抽签的方式确定这四个节目的出场顺序有44A种方法，小提琴合奏与管弦乐合奏不相邻的排列有2223A A种方法，由古典概型，得小提琴合奏与管弦乐合奏不相邻的概率222344A A1A2P 故选 A 5D【解析】由题意，知3244aa a.由3a，10，62a成等差数列，得63202aa，所以632a，所以等比数列na的公比6332aqa，所以3121aaq，438aa q，47364aa q，所以14773aaa.故选 D 6

3、C【解析】设椭圆C的半焦距为(0)c c，因为点Q在x轴上，且1223PQPFPF ，所以13，所以114 由13，得121233PQPFPF ，所以1212()()33PQPFPFPQ ，即121233FQQF ,所以122FQQF，即12|2|FQQF.因为PQ平分12F PF，所以1122|2|1PFFQPFQF.又12|2PFPFa，所以14|3aPF，22|3aPF 在12PF F中，由余弦定理的推论，得222222221212122124220()()(2)4|1339cos42162|42339aaaccPFPFFFFPFaaaPF PF，#QQABKYIAggCAAJBAABh

4、CUwXyCEGQkBCCAIoOgFAEIAAAyAFABAA=#数学 全解全析及评分标准 第 2 页（共 14 页）化简，得2223ca，即椭圆C的离心率63e 故选 C 7B【解析】二次函数2yxx图象的对称轴是直线2x，当2x 时，2yxx单调递减，2exxy也单调递减，当2x 时，2yxx单调递增，2exxy也单调递增.因为2ennna中的自变量n为正整数，所以由*10,nnaa N，得1921222，所以2119，所以“21”是“*10,nnaa N”的必要不充分条件故选 B 8A【解析】1e1ln(0)xxmmm 等价于lne1ln(1)lnxmxm，令lnexmt，则1ln(1

5、)(ln)txtx，即lnln(1)1ttxx 而lnyxx在(0,)上单调递增，所以1tx，即e1xmx，即1exxm 令1()(1,)exxf xx，则2()exxfx，当(1,2)x时，()0,()fxf x单调递增，当(2,)x时，()0,()fxf x单调递减，所以()f x在2x 处取得极大值，即最大值为21(2)ef，所以21em 故选 A 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9ABD【解析】由题图，得这 9 天最高气温数据从小到大排列为7,7,8,9,

6、10,10,12,15,16,所以平均数7789101012151610 49x，所以 A 正确；因为90.87.2，所以第 80 百分位数为第 8 个数据，为 15，所以 B 正确；因为数据 7 和 10 都出现 2 次，所以众数为 7 和 10，所以 C 错误；因为这 9 天最高气温数据的最大值为 16，最小值为 7，所以极差为1679，所以 D 正确 故选 ABD 10AB【解析】由题意，知点(1,0)C,圆C的半径为6.对于 A，点 Q 与圆 C 上一点距离的最大值为|QC加上圆 C 的半径，所以点 Q 与圆 C 上一点距离的最大值为56，故 A 正确；对于 B，因为6sin2|APB

7、PC，所以要使APB最大，则 PC 的长最小，此时22|13|2 211PC，所以120APB，故 B 正确；#QQABKYIAggCAAJBAABhCUwXyCEGQkBCCAIoOgFAEIAAAyAFABAA=#数学 全解全析及评分标准 第 3 页（共 14 页）对于 C，由题意，知 P，A，C，B 四点在以 PC 为直径的圆上，设(,3)P aa,则该圆方程为222213(1)(3)()()224aaaaxy，即22(1)(3)xyaxa ya0.又圆 C：22(1)6xy，所以公共弦 AB 所在直线的方程为(1)(3)50axa ya，即(1)350a xyxy.由10350 xyx

8、y，得1232xy，所以直线 AB 恒过定点1 3(,)2 2D，点 H 在以DQ 为直径的圆上，其轨迹方程为22351()()448xy，故 C 错误；对于 D，根据题意，知点 Q 到直线 AB 的距离的最大值为22132|(1)(1)222DQ.又(1,1)Q,1 3(,)2 2D，所以直线QD的斜率为1，又直线,AB DQ互相垂直，所以直线AB的斜率为1，所以113aa，即13aa ，方程无解，所以取不到最大值，故 D 错误（因为AB所在直线的方程为(1)(3)50axa ya，所以当1a 时，点(1,1)Q在直线AB上，此时点(1,1)Q到直线AB的距离为 0，当1a 时，点(1,1)

9、Q到直线 AB 的距离 2222222|135|1|(1)(1)(3)(1)(3)(1)(3)aaaaadaaaaaa 2222222(1)(1)(1)219624102(1)8aaaaaaaaaa 212822(1)a.故 D 错误.）故选 AB.11BCD【解析】如图是圆台形台灯的轴截面ABCD和上、下两球形灯泡的截面大圆1O，2O，过点1O，2O分别作1O ECB于点 E，2O FCB于点F，再过点1O作12OGO F于点G.对于 A，设2CBA(0)4，则122OO G，在12RtOO G中，212914cos2915O GOO，所以3sin25，所以23，故 A 错误；对于 B，由2

10、2cos212sin2cos1，得10sin10，3 10cos10，所以1tan3.设圆台形台灯上、下底面半径分别为r，R，连接1O C，则在1RtCO E中，11 tan3rCE.连接2O B，在2RtBO F中，927tanRBF，所以9r R，故 B 正确；#QQABKYIAggCAAJBAABhCUwXyCEGQkBCCAIoOgFAEIAAAyAFABAA=#数学 全解全析及评分标准 第 4 页（共 14 页）对于 C，因为1123sin2(19)65EFOGOO，所以圆台形台灯的母线长110062733lCBrEFR，故 C 正确；对于 D，圆台形台灯的侧面积为10018200(

11、)(27)339lrR ，因为820090028009，故D 正确 故选 BCD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。122160【解析】因为8(3)x的展开式中kx的系数为88C(3)kk，0,1,8k，所以8()273()xxx的展开式中6x的系数为38857C(3)27C(3)2160 故填2160 1314【解析】因为抛物线2(0)ymxm旋转后对应的准线方程为32 333yx，且点(0,0)到直线32 333yx的距离为 1由21xym，知114m，解得14m 故填14 145(,32【解析】当,2xkkZ时，由()0f x，得1sin(sin)0cosxxx

12、,当1sin0cosxx时，得sin22x，与sin2yx在R上的值域为 1,1矛盾，所以1sin0cosxx,所以sin0 x.当,2xkkZ时，由()0f x，得sin1x ,所以()f x在0,)上的零点按照从小到大排列前 5 个依次为30,2,32,()f x在(,0)上的零点按照从大到小排列前 5个依次为5,2,322.因为()f x在区间(,)(0)a a a上恰有 8 个零点,则这 8 个零点为53,2,0,2222,所以53223aa ,所以532a.故填5(,32.说明：1.第 12 题没有化简为数字作答不给分；2.第 14 题写成532a或5|32aa，也给 5 分.#QQ

13、ABKYIAggCAAJBAABhCUwXyCEGQkBCCAIoOgFAEIAAAyAFABAA=#数学 全解全析及评分标准 第 5 页（共 14 页）四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13 分）【解析】（1）由3(sincossin)(cossinsin)sin2aACBcABCaC，得3sinsinsin(coscos)sin2aAcCB aCcAaC.（1 分）因为sinsin()BAC，所以sinsincoscossinBACAC，由正弦定理，得coscosbaCcA，所以3sinsinsinsin2aAcCbBaC（2 分）由

14、正弦定理，得22232acbac，（3 分）由余弦定理的推论，得222cos2acbBac（4 分）33224acac（5 分）（2）由余弦定理，得2222cosbacacB，即22342acac，（6 分）所以223422acacac，当且仅当2 2ac时等号成立，所以8ac.（7 分）又1()2BDBABC ，（8 分）所以222211()(2)44BDBABCBABA BCBC （9 分）221(2|cos)4BABABCABCBC （10 分）2222113(2cos)()442cacABCaacac（11 分）131()()742432434acacac，（12 分）所以|7BD，所

15、以线段BD长度的最大值为7（13 分）说明：第一问：1.1 分段得出“3sinsinsin(coscos)sin2aAcCB aCcAaC”；2.2 分段利用射影定理化简，不给出射影定理（coscosbaCcA）的证明，扣 1 分；3.3 分段利用正弦定理化角为边；4.4 分段由余弦定理的推论，写出cosB；5.5 分段代入算出cosB的值.#QQABKYIAggCAAJBAABhCUwXyCEGQkBCCAIoOgFAEIAAAyAFABAA=#数学 全解全析及评分标准 第 6 页（共 14 页）第二问：1.6 分段由余弦定理得出,a c的关系；2.7 分段由均值不等式得出ac的取值范围，不

16、写等号成立条件2 2ac不扣分；3.8 分段写出BD；4.9 分段将向量式平方转化为数量积计算；5.10 分段利用数量积公式化简；6.11 分段化简得出2BD即用,a c表示的代数式；7.12 分段化简为关于ac的关系式，得出2BD 的取值范围；8.13 分段得出BD长度的最大值.另解：由余弦定理，得2222cosbacacB，即22342acac，（6 分）又22223344222acacac，（7 分）所以2216ac.（8 分）由2222|2)(BABCBABCBABC ，（9 分）得2222|2|2(|)|BDCABABC ，（10 分）所以2224|42()BDac，（11 分）所以

17、234|42|BD，即27|BD ，（12 分）所以|7BD ，所以线段BD长度的最大值为7（13 分）说明：1.6 分段由余弦定理得出,a c的关系；2.7 分段由均值不等式转化为22ac的不等式；3.8 分段得出22ac的取值范围；4.9 分段写出“2222|2)(BABCBABCBABC ”；5.10 分段写出“2222|2|2(|)|BDCABABC ”；6.11 分段得出2BD与22ac的关系；7.12 分段化简得出2BD的取值范围；8.13 分段得出BD长度的最大值；9.9 分段不写2222|2)(BABCBABCBABC ，直接写出2222|2|2(|)BDCABABC|不 扣分

18、.#QQABKYIAggCAAJBAABhCUwXyCEGQkBCCAIoOgFAEIAAAyAFABAA=#数学 全解全析及评分标准 第 7 页（共 14 页）16（15 分）【解析】（1）设,AC BD相交于点 O，因为2ABBCCDDA，所以四边形ABCD是菱形，（1 分）所以DBAC，且 O 为BD的中点.（2 分）连接PO，因为PDPB，所以DBPO.（4 分）因为AC，PO 平面PAC，ACPOO，所以DB 平面.PAC（6 分）因为PC 平面PAC，所以DBPC（7 分）（2）过点 O 作平面ABCD的垂线 Oz，以 OB,OC,Oz 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立

19、如图所示的空间直角坐标系，则(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0).BCD（8 分）因为DBPO,DBAC,所以POC是二面角PBDC的平面角，所以23POC（10 分）因为PO在平面yOz内，所以由已知及平面几何的性质，得3 3 3(0,)22P，所以53 333 3(0,),(333 3(3,),22)2222PCPPDB ，.（11 分）设平面PCD的法向量为(,)x y zn，则00PCPD nn,所以53 302233 33022yzxyz，（12 分）令3 3,y 则5,3zx，所以(3,3 3,5)n是平面PCD的一个法向量.（13 分）设直线PB与平面PCD所成的角为，

20、所以|6 33 61sin61|2 361PBPB nn，即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为3 6161.（15 分）说明：第一问：1.1 分段得出四边形ABCD是菱形；#QQABKYIAggCAAJBAABhCUwXyCEGQkBCCAIoOgFAEIAAAyAFABAA=#数学 全解全析及评分标准 第 8 页（共 14 页）2.2 分段得出DBAC，且 O 为BD的中点，垂直和中点漏写一个都不给分；3.4 分段得出DBPO；4.6 分段得出DB 平面PAC，两个条件AC，PO 平面PAC，ACPOO都不写扣 1 分，写了其中一个不扣分；5.7 分段得出DBPC，不写PC 平面PAC不扣

21、分.第二问：1.8 分段建立空间直角坐标系并写出,B C D的坐标，能正确建立空间直角坐标系就给 1 分，左手系也给分，若详细说明建系过程但没有在图中画出坐标系，不扣分；2.10 分段由定义指出POC是二面角PBDC的平面角；3.11 分段写出 P 点和各向量的坐标，其中 P 点和 3 个向量的坐标中对 2 个或 2 个以上则给 1 分；4.12 分段写出平面PCD的法向量满足的关系式；5.13 分段求出平面PCD的一个法向量；6.15 分段求出PB与平面PCD所成的角的正弦值，若先正确求出,cos PB n，给 1 分,正确写出sin，给 1 分；7.8 分段坐标系建立错没有得分点时，能正确

22、写出c|s,|oPBPBPB nnn|，给 1 分；8.其他正确建立坐标系时也按相应步骤给分.17（15 分）【解析】（1）记事件iA“第i个球高一教师队得分”,B“高一教师队在前 3 个球中恰好获得 2 分”，则123123123()()()()P BP A A AP A A AP A A A（3 分）111111211322323332（5 分）14（6 分）（2）X的所有可能取值为 3,4,5，（7 分）3211225(3)()()22372P X，（9 分）3222111211225(4)()3()()()2=232323372P X，（11 分）252511(5)1727236P X

23、 ，（13 分）#QQABKYIAggCAAJBAABhCUwXyCEGQkBCCAIoOgFAEIAAAyAFABAA=#数学 全解全析及评分标准 第 9 页（共 14 页）所以X的分布列为 X 3 4 5 P 2572 2572 1136 （14 分）25251195()345=72723624E X （15 分）说明：第一问：1.3 分段将事件B通过iA表示，若用文字叙述为高一教师队在前 3 个球中恰好获得 2 分包含：第 1，2球得 1 分第 3 球得 0 分，第 1，3 球得 1 分第 2 球得 0 分，第 2，3 球得 1 分第 1 球得 0 分也给分；2.5 分段由概率公式得出(

24、)P B的计算式，分步写出高一教师队第 1，2 球得 1 分第 3 球得 0 分，第 1，3球得 1 分第 2 球得 0 分，第 2，3 球得 1 分第 1 球得 0 分的概率.3 个概率，全对给 2 分，有 1 个对给1 分；3.6 分段计算得出()P B.第二问：1.7 分段写出 X 的所有可能取值，有错不给分；2.9 分段写出(3)P X，列式对结果错给 1 分；3.11 分段写出(4)P X，列式对结果错给 1 分；4.13 分段写出(5)P X，列式对结果错给 1 分；5.14 分段写出分布列，分布列中有错不给分；6.15 分段求出()E X，结果错不给分，结果正确但没有化简不扣分，

25、没写过程不扣分.18（17 分）【解析】（1）设()P x y,，因为12|PFPOPF，成等比数列，所以212|PFPFPO，（1 分）即222222(4)(4)xyxyxy，（2 分）整理得228xy，所以动点 P 的轨迹 E 的方程为22188xy（4 分）（2）因为(,)(0)RRRR xyy 为轨迹E上一点，所以228RRxy.由题意，知直线1l的斜率存在，设直线1l的方程为ykxm，代入228,xy得222(1)280kxmkxm，（5 分）#QQABKYIAggCAAJBAABhCUwXyCEGQkBCCAIoOgFAEIAAAyAFABAA=#数学 全解全析及评分标准 第 10

26、 页（共 14 页）因为直线1l与轨迹E相切，所以222(2)4()()180mkkm 且210k，整理得2288mk.（6 分）因为(,)RRR xy在直线1l上，所以RRykxm，两边平方，得22()RRykxm，即222(8)280RRRRxkx y ky.又228RRxy，所以22220RRRRy kx y kx，解得RRxy k，所以RRxky，所以8Rmy （7 分）所以直线1l的方程为8RRRxyxyy，即为80RRx xy y（8 分）又22221|48168)|2(2|RRRRRRRFxyxxxx,（9 分）22222|481682|2()|RRRRRRRFxyxxxx,所以

27、12|2|2|RRRFxRFx（10 分）设(,0)TT x,因为T为直线18:0RRlx xy y上一点，所以令0y，得8TRxx，（11 分）所以128|4|4|2|8|4|4|2|TRTRRRTFxxxTFxxx,（12 分）所以1122|RFTFRFTF,所以RT平分12F RF，即直线1RF和2RF关于直线1l对称（13 分）设(,0),QQ x因为直线2l垂直于直线1l，所以RQRRRyyxxx，所以2QRxx，（14 分）因为12|4|4|QQxQFQFx（15 分）4|2|4|22|2|RRRRxxxx,（16 分）所以1122|TFQFTFQF,即,T Q调和分割1F，2F（

28、17 分）说明：第一问：1.1 分段写出212|PFPFPO；#QQABKYIAggCAAJBAABhCUwXyCEGQkBCCAIoOgFAEIAAAyAFABAA=#数学 全解全析及评分标准 第 11 页（共 14 页）2.2 分段将212|PFPFPO化为坐标表示；3.4 分段化简得出点 P 的轨迹 E 的方程，写成228xy不扣分.第二问：1.5 分段设出直线1l的方程，与双曲线方程组成方程组，化简为一元二次方程；2.6 分段由0且210k得出,m k的关系；3.7 分段求出 m 与点 R 坐标的关系；4.8 分段得出直线1l的方程；5.9 分段写出1|RF，直接由焦半径公式写出1|R

29、F不扣分；6.10 分段写出2|RF，算出12|RFRF，直接由焦半径公式写出2|RF不扣分；7.11 分段求出 T 点横坐标；8.12 分段求出12|TFTF；9.13 分段由1122|RFTFRFTF,得出直线1RF和2RF关于直线1l对称；10.5-8 分段直接写出切线方程为80RRx xy y，没有证明只给 1 分.第二问：1.14 分段由直线2l垂直于1l，得2QRxx；2.15 分段计算12|QFQF；3.16 分段将12|QFQF转化为用Rx表示；4.17 分段得出1122|TFQFTFQF，证出,T Q调和分割1F，2F.19（17 分）【解析】（1）因为2()lnmf xxx

30、1()2m ，定义域为(0,)，所以(1)fm，232()xmfxx，所以(1)12,fm （1 分）所以()f x的图象在点(1,(1)f处的切线方程为(12)(1),ymm x（2 分）所以131()(),()13,122ma mmb mmm （3 分）#QQABKYIAggCAAJBAABhCUwXyCEGQkBCCAIoOgFAEIAAAyAFABAA=#数学 全解全析及评分标准 第 12 页（共 14 页）所以2132(341)()()13.1212mmma mb mmmm（4 分）令2341()12mmz mm，则22(64)(12)2(341)()(12)mmmmz mm（5 分

31、）222(331),(12)mmm（6 分）由()z m0，得23310.mm 因为30,所以该方程无解，即()0z m，又12m ，所以()()a mb m的单调递增区间为11(,),(,)22，没有单调递减区间.（7 分）（2）因为232()xmfxx，所以当0,()0mfx时，此时函数()f x在(0)，上单调递减，不可能有两个零点，舍去；（8 分）当0,m 时由()0,2fxxm得，由()0fx，2xm得，由()0fx，02xm得，所以函数()f x的单调递增区间为(0,)2m，单调递减区间为()2,m，（9 分）所以要使函数()f x有两个零点，必须0m 且(2)0fm，即102em

32、.（10 分）由()0f x，得2lnmxx，令2()lng xxx 设函数()f x的两个零点为12,x x，且120 xx，则12()()0g xg xm（11 分）求导，得()(2ln1)g xxx，令()0g x，得1ex，所以当1ex 时，()0g x，()g x单调递增，当10ex时，()0g x，()g x单调递减，所以min11()()2eeg xg （12 分）又(1)0g，所以当01x时，()0g x，当1x 时，()0g x，所以12101exx.又10,2em所以104e2m.#QQABKYIAggCAAJBAABhCUwXyCEGQkBCCAIoOgFAEIAAAyA

33、FABAA=#数学 全解全析及评分标准 第 13 页（共 14 页）因为11024e2m，所以122ee1m，即1e1em.又112e，10,2em所以1e2m，10ee1emm.（13 分）221(e)eln(e)e eln(e)egmmmmmmmm，令1()ln,eh xxx则()ln1,h xx由()0,h x得1ex，由()0,h x得10ex，所以min1()()0,eh xh所以1(e)eln(e)0,ehmmm 即(e)0,gmm所以1(e)()gmmg x.（14 分）因为()g x在(0,1e)上单调递减，所以10emx.（15 分）(e)(e2)2mmmgm.又102em，

34、所以e20,m所以(e)0,mgm所以2(e)()mgmg x，又()g x在(1e,)上单调递增，所以2emx，（16 分）所以21|eemABxxm（17 分）说明：第一问：1.1 分段写出()fx，(1),f 没有写清定义域不扣分；2.2 分段写出切线方程；3.3 分段写出(),()a m b m，不注明12m 不扣分；4.4 分段得出()()a mb m；5.5 分段对()z m求导；6.6 分段对()z m化简；7.7 分段得出()()a mb m的单调区间，单调递增区间写成11(,)(,)22 扣 1 分，不写没有单调递减区间不扣分.第二问：1.8 分段求出()fx并对0m 时讨论

35、；2.9 分段对0m 时得出()f x的单调递增和单调递减区间；3.10 分段得出102em；#QQABKYIAggCAAJBAABhCUwXyCEGQkBCCAIoOgFAEIAAAyAFABAA=#数学 全解全析及评分标准 第 14 页（共 14 页）4.11 分段令2()lng xxx，转化为()g x的图象与直线102)e(mym 有两个不同交点；5.12 分段对()g x求导得出()g x最小值；6.13 分段由()g x的图象得出12,x x的取值范围，并由 m 的取值范围，及112e对em的取值范围进行放缩；7.14 分段构造1()ln,eh xxx得出()h x的最小值为 0，(e)0,hm从而得出(e)0,gmm即1(e)()gmg x；8.15 分段由()g x的单调性得出10emx；9.16 分段同理得出(e)0,mgm即2(e)()mgg x，从而由单调性得出2emx；10.17 分段证出21|eemABxxm.#QQABKYIAggCAAJBAABhCUwXyCEGQkBCCAIoOgFAEIAAAyAFABAA=#