海南省海南中学2024年高二下学期期末模拟数学试卷含答案.pdf

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1、试卷第 1 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 海南中学2023-2024学年度高二下学期高二下学期 期末测试模拟卷期末测试模拟卷 数学试卷数学试卷 整体难度：适中。考察范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平 面解析几何、复数、计数原理与概率统计、平面向量、空间向量与立体几何、等式与不等式、新文化试题分类。题型统计：单选题 8 道、多选题 3 道、单空题 3 道。解答题 5 道。一、一、单选题：单选题：本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合

2、题目要求的.1 已知a,b 为正实数，且满足a+2b=1，则 +的最小值为()a b A 4 2 B 4+2 2 C 8 D 6 2 已知全集U=R，集合A=y y=x2 +1,B=x 1 x 2 ，则CU (A B)=().A(,1)B(1,+)C(,1)(2,+)D(,1)(2,+)3 在四面体 ABCD 中，平面ABD 丄 平面 BCD，AB=AD=4，且BC=CD=BD=2，则四 面体ABCD 的体积为()A 2 B 6 C 5 D 3 5 4 若(1+2x)(1 2x)7 =a0 +a1x+a2x2 +a8x8 ，则a0 +a1 +a2 +a7 的值为()A.2 B.3 C 253

3、D 126 5 下列说法错误的是()A 若随机变量、满足=21且D()=3，则D()=12 B 样本数据 50，53，55，59，62，68，70，73，77，80 的第 45 百分位数为 62 C 当P(B)0 时，若事件A、B 相互独立，则P(A B)=P(A)D 若 A、B 两组成对数据的相关系数分别为rA =0.8，rB =0.9，则 A 组数据的相关性更强 6 如图，可导函数y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线为l:y=g(x)，设 h(x)=f(x)g(x)，则下列说法正确的是()A 彐x R，h(x)0 C h,(x0)=0,x=x0 是h(x)的极大值点 B 丫x R，

4、h,(x)x2 ”是“f(x1)f(x2)”的()A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 2 1 试卷第 2 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 8 在锐角 ABC 中A,B,C 的对边分别为a,b,c 若sinA=,c=3,AB.AC=3，则 ()2 2 7 4 21 2 3 3 3 二、多选题：本题共二、多选题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给在每小题给出的选项中，有多项符合出的选项中，有多项符合 题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的

5、得部分分，有选错的得 0 分分.9 关于函数f(x)=cos x 的图象和性质，叙述正确的有()A f(x)是R 上的奇函数 B f(x)值域为1,1 C 将f(x)图象向右平移 2024 个单位，则所得函数图象关于y 轴对称 D 当x ,时，f(x)有两个零点 10 已知圆锥SO 的侧面积为4,底面圆的周长为2,则()A 圆锥的母线长为 4 B 圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 C 圆锥的体积为 D 沿着圆锥母线的中点截圆锥所得圆台的体积为 11已知定义在R 上的函数f(x)，对任意x,y R 有f(x+y)=f(x)+f(y)，其中f(1)=；当x 0 时，f(x)0，则()A f(x)为

6、R 上的单调递增函数 B f(x)为奇函数 C 若函数f(x)为正比例函数，则函数g(x)=在x=0 处取极小值 D 若函数f(x)为正比例函数，则函数h(x)=f(x)2sin x 1 只有一个非负零点 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。分。12 已知复数z 满足z i=3 zi，其中 i 是虚数单位，则z 3z =.13一个盒子中装有 4 张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片，若 第一次抽取一张卡片，放回后再抽取 1 张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于 6 的概率 是 .14 若定义在A 上的函数

7、f(x)和定义在 B 上的函数g(x)，对任意的x1 A，存在x2 B，使得f(x1)+g(x2)=t（t 为常数），则称f(x)与g(x)具有关系P(t)已知函数 f(x)=2 cos 2x+,)|（x L，7|），g(x)=cos2 x mcos x+5（x R），且f(x)与g(x)具有关系P(3)，则 m 的取值范围为 .A B C D.试卷第 3 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分。分。15 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得 1 分，负者得 0 分，且 比赛中没有平局.根据以往战绩，

8、每局比赛甲获胜的概率为 ，每局比赛的结果互不影响.(1)经过 3 局比赛，记甲的得分为X，求 X 的分布列和期望；(2)若比赛采取 3 局制，试计算 3 局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率.16如图，AE 丄 平面ABCD，E,F 在平面ABCD 的同侧，AE/DF，AD/BC，AD 丄AB，1 (1)若B,E,F,C 四点在同一平面内，求线段EF 的长；(2)若DF=2AE，平面BEF 与平面BCF 的夹角为30 ，求线段AE 的长.试卷第 4 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 17 全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为2018 2023 年全球新能源汽车的销售量情况统

9、计.年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份编号x 1 2 3 4 5 6 销售量y/百万辆 2.02 2.21 3.13 6.70 10.80 14.14 若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：(1)求变量y 与x 的样本相关系数r(结果精确到 0.01)；(2)求y 关于x 的线性回归方程，并据此预测 2024 年全球新能源汽车的销售量.附：线性回归方程 ，其中 ，样本相关系数 参考数据 xi yi =181.30,=380.231,4.2,11.2.18 已知函数 x ex +1.(1)证明：丫x 0，总有f(x)0 成立；(2)设nN*

10、，证明：+19 图是一个 11 阶的杨辉三角：(1)求第 22 行中从左到右的第 3 个数；(2)在杨辉三角形中是否存在某一行，该行中 三个相邻的数之比为 1：3：5?若存在，试求 出这三个数：若不存在，请说明理由.(3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它 的许多性质与组合数的性质有关.如：从第 3 行开始，除了 1 以外，其它每一个数是它肩 上的二个数之和；请尝试证明：当m，n N*，n m，(m+1)Cmm+(m+2)Cmm+1+(m+3)Cmm+2 +(n+1)Cnm=(m+1)Cnm22.答案第 1 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案：参考答案：1 C【分析】利用

11、“1”的代换法，利用基本不等式求得最小值.【详解】根据题意，当且仅当 即a=2b=时，等号成立.故选：C 2 D【分析】求集合A 中函数的值域，得到集合A，再由集合交集和补集的定义求CU (A B).【详解】函数y=x2 +1值域为1,+)，则A=y y=x2 +1=1,+)，又B=1,2，则有A B=1,2，所以 CU(A B)=(,1)(2,+).故选：D.3 C【分析】根据面面垂直可得线面垂直，结合等腰三角形可知四面体的高，进而可得体积.【详解】如图所示，取BD 的中点E，连接 AE，因为AB=AD，所以 AE 丄 BD，又平面ABD 丄 平面BCD，平面ABD 平面BCD=BD，所以A

12、E 丄 平面BCD，因为AB=AD=4，BD=2，所以AE=所以四面体ABCD 的体积V=VABCD =BCD .AE=故选：C.答案第 2 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 4 C【分析】先令x=1，求得a0 +a1+a2 +a8，再利用通项公式求得a8 求解.【详解】解：令 x=1，得a0 +a1+a2+a8 =3，a8 =2 (2)7 =256，a0 +a7 =a8 3=253.故选：C.5 D【分析】根据方差的性质即可求解 A，根据百分位数即可求解 B,根据相互独立事件的乘法 公式，结合条件概率的计算公式即可求解 C，根据相关系数的大小即可求解 D.【详解】对于 A,=21

13、 且D()=3，则D()=4D()=12,A 正确，对于 B，由于10 45%=4.5，故样本数据 50，53，55，59，62，68，70，73，77，80 的第 45 百分位数为第 5 个数 62，B 正确，对于 C,事件A、B 相互独立,则P(AB)=P(A)P(B),所以 ,C 正确，对于 D，由于rA rB ,所以B 组数据的相关性更强，D 错误，故选：D 6 C【分析】由题意，求得函数y=f(x)在P(x0,f(x0)处的切线方程，得到h(x)，通过对其求 导分析，得出h(x)的单调性，极值和值域，即可一一判断选项正误.【详解】因函数y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线为y

14、 f(x0)=f,(x0)(x x0)，答案第 3 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 即 g(x)=f (x0)x x0f (x0)+f(x0)，则 h(x)=f(x)g(x)=f(x)f(x0)x+x0f(x0)f(x0)，于是，h(x)=f (x)f (x0)，由图知，当x f (x0)，此时h(x)0，当x x0 时，f (x)f (x0)，此时h(x)0.对于 B 项，由上分析，B 项显然错误；对于 C,D 项，由上分析，当x x0 时，h(x)单调递减,即当x=x0 时，h(x)取得极大值，且h(x0)=0，故 C 项正确，D 项错误；对于 A 项，由上分析x=x0 时，

15、h(x)取得极大值h(x0)=0，也是最大值，则有丫x R，h(x)0，故 A 项错误.故选：C.7 A【分析】先推导函数的奇偶性和单调性，再根据充分必要条件的规定进行判断即得.【详解】易知函数f(x)的定义域为R 由f(x)=ex +e x sin2x 可得f(x)=f(x)，所以函数f(x)是偶函数易得f (x)=ex e x sin2x，令g(x)=f (x)，则g(x)=ex +e x 2cos2x 2 2cos2x 0，当且仅当x=0 时取等号，所以f (x)是增函数，又f (0)=0，故当x 0 时，f (x)0，即f(x)在(0,+)上单调递增.由上分析知，当 x1 x2 0 时

16、，f(x1)f(x2)，因 f(x)=f(x)，故当x1 x2 时，f(x1)f(x2)，即“x1 x2 ”是“f(x1)f(x2)”的充分条件；当f(x1)f(x2)时，f(x1)f(x2)，可得 x1 x2 ，所以 x1 x2 或x1 x2 ”不是“f(x1)f(x2)”的必要条件.故选：A.8 B【分析】由已知条件结合向量数量积的定义、余弦定理求出a，由正弦定理可得 化简即可得到答案.【详解】因为 ABC 为锐角三角形，sinA=，所以A=60 ，由 =cbcosA=3，则b=2，答案第 4 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 由余弦定理可得：a2 =b2 +c2 2bccos

17、A=7，即a=，由正弦定理可得 故选：B.9 BD【分析】由余弦函数的性质就可以判断 ABD，选项 C 由平移思想，没法诱导为余弦函数，所以是错误的.【详解】由 f(x)=cos x 得，f(x)是偶函数，所以选项 A 是错误的；由f(x)=cos x 的值域是1,1，所以选项 B 是正确的；将f(x)图象向右平移 2024 个单位，可得f(x 2024)=cos(x 2024)，显然不可以诱导为 余弦函数，所以选项 C 是错误的；当x ,时，余弦函数在一个周期内显然有两个零，即x=所以选项 D 是正确的.故选：BD.10 ACD【分析】先求出圆锥的母线和底面半径的长，逐项计算后可得正确的选项

18、.【详解】对于 A，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则rl=4,2r=2,故r=1,l=4，故 A 正确.对于 B，圆锥的高为h，则h=故圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 ，故 B 错误.对于 C，圆锥的体积为 r2h=,故 C 正确.答案第 5 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 对于 D，沿着圆锥母线的中点截圆锥所得小圆锥的体积为 ,8 3 故所得圆台的体积为 7 15 =7 15 ,故 D 正确.8 3 24 故选：ACD.11 AB【分析】选项 A，利用函数单调性的定义，设x2 =x1+t，t 0，得出f(x2)f(x1)=f(t)0 即可得证；选项 B，先得出f(0)

19、=0，再设y=x，得出 f(x)+f(x)=0，即可得证；选 项 C，在 f(x)=x 前提下，求函数g(x)的导函数g,(x)，分析导函数g,(x)的正负，得出 函数g(x)的单调性以及极值即可；选项 D，在f(x)=x 前提下，函数h(x)=x 2sin x 1，利用零点存在性定理，代入特殊值检验即可.【详解】对于选项 A，设x2 x1，且 x2 =x1+t，t 0，f(x2)=f(x1)+f(t)，即 f(x2)f(x1)=f(t)0，故f(x)单调递增，选项 A 正确；对于选项 B，f(x)是定义在R 上的函数，取x=y=0，则 f(0)=0，取y=x，则 f(x)+f(x)=0，即

20、f(x)=f(x)，故f(x)是奇函数，选项 B 正确；对于选项 C、D，设f(x)=kx，代入 f(1)=，得f(x)=x，其中 C 选项，g(x)=，g,(x)=，当x 0，g(x)在区间(,1)上单调递增，当x 1 时，g,(x)0，g(x)在区间(1,+)上单调递减，函数g(x)=在x=1 处取极大值，无极小值,选项 C 错误；其中 D 选项，函数h(x)=x 2sin x 1，其中h()=2sin()1=1 0 1 (2,4 (2,4 ，2 2 答案第 6 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 h(0)=1 0，由零点存在性定理可知，函数h(x)分别在区间，和 上各至少存在一

21、个 零点，选项 D 错误；故选：AB.【点睛】本题考查抽象函数性质与函数导数综合问题，考查知识点多且复杂，属于难度.题 型点睛，抽象函数单调性问题主要包括：（1）判断（证明）函数的单调性：这类问题通常 要求在给定的区间上设出自变量x 的任意两个取值并给出它们之间的大小关系，然后对函数 值因式进行化简变形，并判断其符号，得出函数的单调性结论；（2）利用函数的单调性比 较大小：这包括正用和逆用两种方法，即若已知函数f(x)在某个区间上是增函数，则当x1 x2 时，有f(x1)f(x2)；反之亦然；（3）利用函数的单调性求函数的最值（值域）：通过函 数的单调性，可以求得函数的值域，进而求得函数的最大

22、值或最小值；（4）利用函数的单 调性：用将函数值之间的不等关系用于自变量间的不等关系，进行等价转化即可；（5）利 用函数的单调性求参数的取值范围：通过将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知 的单调区间比较，或通过建立关于参数的不等式（组）或方程（组），解不等式（组）或方 程（组）求出参数的取值范围.12 4 2【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z，从而求出z 3z，最后求出其模.【详解】因为z i=3 zi，所以z 3z=(2 i)3(2+i)=4 4i，所以 故选：4 13.【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可.【详解】两次抽取的试验的样本空间=11,12,13,1

23、4,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44，答案第 7 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 共 16 个，两次抽取的卡片数字之和大于 6 的事件A=34,43,44，共 3 个，所以两次抽取的卡片数字之和大于 6 的概率是 则不大于 6 的概率为 故答案为：13 14(,4U4,+)【分析】先根据题意求出函数f(x)的值域为2,1，由题意得到2,1 3 g(x2)的值域，再将函数3 g(x)=cos2 x+mcos x 2 进行换元，h(t)=t2 +mt 2,t 1,1，由对称轴进 行分类讨论，得到h(t)的值域，从而得到不等式，求出答案.【详解】由

24、题意得对任意的x1 A，存在x2 B，使得f(x1)+g(x2)=3，又 =2 cos ，故 的值域，因为3 g(x)=3 cos2 x+mcos x 5=cos2 x+mcos x 2，x R，令t=cos x，则t 1,1，设h(t)=t2+mt 2,t 1,1，若对称轴 1，即m 2 时，h(t)h(1),h(1)=m 3,m 3，m 3 1 则 ，解得m 4，与m 2 求交集，结果为m 4；lm 3 2 若 1，即m 2 时，h(t)h(1),h(1)=m 3,m 3，m 3 1 则 ，解得m 4，与m 2 取交集，结果为m 4，lm 3 2 若1 m 0，即2 m 0 时，h(t)|

25、h(1),h(|m)|7|=|m 3,m2 27|则 解得m 2 或m 2 ，与2 m 0 取交集，结果为,16.2 L (2,L 4 ，答案第 8 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 若0 1，即0 m 2 时 则 解得m 2 或m 2 ，与0 m 2 取交集，结果为.综上，m 4 或m 4.所以m 的取值范围为(,4 4,+).故答案为：(,4 4,+).【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理 解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解 的较为透彻；（

26、3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么 情况下可以使用书上的概念.15(1)分布列见解析，2 【分析】（1）根据题意可知 进而利用二项分布求出X 的分布列及数学期望；（2）由题意可知，甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况，即甲获胜 2 局，甲获胜 3 局，从而结合（1）可得结果.【详解】（1）由题意得 的取值可能为 0，1，2，3，所以X 的分布列为 X 0 1 2 3 答案第 9 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 P 1 27 2 9 4 9 8 27 因为 ，所以X

27、的期望=np=3 （2）第 3 局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况：甲获胜 2 局，甲获胜 3 局，所以所求概率为 16(1)1；(2)【分析】（1）由线面平行的判定定理、性质定理得四边形ADFE 是平行四边形可得答案；（2）以 A 为原点，分别以AB、AD、AE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐 标系，设E(0,0,)，求出平面BEF、平面BFC 的一个法向量，由二面角的向量求法可得答 案.【详解】（1）.AD/BC，BC 平面BCEF，AD 丈平面BCEF，:AD/平面BCEF，.AE/DF，则A,E,F,D 四点共面，.AD/平面BCEF，AD 平面ADEF

28、，平面BCEF 平面ADEF=EF，:AD/EF，又 AE/DF，则四边形ADFE 是平行四边形，:EF=DC=1；（2）以 A 为原点，分别以AB、AD、AE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设E(0,0,)，F(0,1,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，BE=(1,0,)，BF=(1,1,2)，BC=(0,2,0)，设m=(x1,y1,z1)是平面BEF 的一个法向量，由 ，得 0，令z1 =1，可得x1 =y1=,可得m=(,1)，设n=(x2,y2,z2)是平面BFC 的一个法向量，答案第 10 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 由 得 =0，

29、令z2 =1，可得x2 =2y2 =0，可得n=(2,0,1)，依题意 解得 ，:AE=17(1)r 0.95.(2)y=2.56x 2.46，15.46 百万辆 【分析】（1）利用相关系数r 公式即可求解；（2）根据已知数据，利用公式先求出b，进而求出 a，得到线性回归方程，再利用线性回 归方程进行预测即可.因为 =3.5，（2）由题意得 =2.56，所以 a=y bx=6.5 3.5 2.56=2.46，答案第 11 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 得y 关于x 的线性回归方程为y =2.56x 2.46，所以可以预测 2024 年全球新能源汽车的销售量为2.56 7 2.4

30、6=15.46 百万辆.18(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）令t=x，将函数化为f(x)=2tlnt t2+1，构造函数g(t)=2tlnt t2+1，利 用导数研究其单调性及最值即可证明；（2）由（1）知 2 ln t t ,可得 化简得 lnn 0，t 1,t2 =ex,x=2 ln t，令g(t)=2tlnt t2 +1，则g,(t)=2(ln t+1)2t=2(ln t t+1)，又令(t)=ln t t+1，则,(当t 1时,(t)0，(t)在(1,+)上单调递减，所以(t)1时g,(t)0，g(t)在(1,+)上单调递减，所以g(t)0，总有f(x)0 成立；（2）

31、由（1）知 2tlnt t2 1即2 ln t 1恒成立.所以对任意的n N*，有2 ln 整理得到 lnn ln 2 ln1+ln 3 ln 2+ln(n+1)ln n=ln(n+1)，故不等式 +成立.19(1)231(2)7，21，35(3)证明见解析 1 1 1 1 +1 2 +2 n +n 答案第 12 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）直接利用二项式定理求解.（2）可设第n 行的第r，r+1，r+2三个相邻的数之比为1:3:5，列出方程，求出n，r 的 值，再求出这三个数.（3）先总结表达结论Ckm11+Ckm12 =Ckm22，结合(k+1)Ckm=(m+

32、1)Ckm11，可得(k+1)Ckm=(m+1)(Ckm22 Ckm12)，再利用该结论证明原结论.【详解】（1）第 22 行中从左到右的第 3 个数为=231.（2）设第n 行的第r，r+1，r+2三个相邻的数之比为1:3:5，则Cnr1:Cnr:Cnr+1=1:3:5 所以这 3 个数是：C71，C72，C73，即 7，21，35.（3）当n=m 时，结论显然成立；k=m+1,m+2,n.由题意：Ckm11+Ckm12 =Ckm22.所以(k+1)Ckm=(m+1)(Ckm22 Ckm12)，k=m+1,m+2,n 因此(m+1)Cmm+(m+2)Cmm+1+(m+3)Cmm+2 +(n+1)Cnm=(m+1)Cmm+(m+2)Cmm+1+(m+3)Cmm+2 +(n+1)Cnm=(m+1)Cmm22+(m+1)(Cmm32 Cmm22)+(Cmm42 Cmm32)+(Cnm22 Cnm12)=(m+1)Cnm22【点睛】关键点点睛：本体的关键点时利用组合数的计算公式和组合数的性质进行计算.首 先根据组合数公式得到(k+1)Ckm=(m+1)Ckm11，再结合组合数性质Ckm11+Ckm12 =Ckm22得到(k+1)Ckm=(m+1)(Ckm22 Ckm12)，再对目标式子进行化简整理.答案第 13 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司