妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题--2024年高一数学微专题含答案.pdf

《妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题--2024年高一数学微专题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题--2024年高一数学微专题含答案.pdf（25页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题【题型归纳目录】【题型归纳目录】题型一：定值问题题型二：范围与最值问题题型三：求参问题以及其它问题【方法技巧与总结】(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：【方法技巧与总结】(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)证明：不妨设AB=a,AD=b，则AC=a+b，DB=a-bAC2=AC2=a+b2=a2+2ab+b2 DB2=DB2=a-b2=a2-2ab+b2 两式相加得：AC2+DB2=2a2+b2=2AB2+AD2(2)极化恒

2、等式：(2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a+b2-a-b2-极化恒等式平行四边形模式：ab=14AC2-DB2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.三角形模式：ab=AM2-14DB2(M为BD的中点)妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题-2024年高一数学微专题2【典型例题】【典型例题】题型一：定值问题题型一：定值问题1(2024全国高三专题练习)如图，在ABC中，D是BC的中点，E、F是AD上的两个三等分点，BA CA=4，BF CF=-1，则BE CE 的值是()A.4B.8C.78D.342(2024贵州毕节统考三模

3、)如图，在ABC中，D是BC边的中点，E，F是线段AD的两个三等分点，若BA CA=7，BE CE=2，则BF CF=()A.-2B.-1C.1D.23(2024湖南长沙长郡中学校考一模)如图，在平行四边形ABCD中，AB=1,AD=2，点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD边上的中点，则EF FG+GH HE=A.32B.-32C.34D.-34题型二：范围与最值问题题型二：范围与最值问题1(2024山东潍坊高三统考期末)已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PM PN 的取值范围是()A.0，1B.0,2C.1，2D

4、.-1,12(2024陕西榆林统考三模)四边形ABCD为菱形，BAC=30，AB=6，P是菱形ABCD所在平面的任意一点，则PA PC 的最小值为()3A.-30B.-27C.-15D.-93(2024重庆沙坪坝重庆八中校考模拟预测)ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，PQ为ABC内切圆的一条直径，M为ABC边上的动点，则MP MQ 的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型三：求参问题以及其它问题题型三：求参问题以及其它问题1(2024浙江杭州高一校联考期中)设ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=14AB，且对于边AB上任一点P，恒有PB PC P0B P0C.则

5、()A.ABC=90B.BAC=90C.AB=ACD.AC=BC2(2024辽宁高一东港市第二中学校联考期中)在ABC中，AC=2BC=6，ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN=2，若CM CN 的最小值为3，则cosACB=3(2024江苏南京南京师大附中校考模拟预测)在ABC中，AC=2BC=4，ACB为钝角，M,N是边AB上的两个动点，且MN=1，若CM CN 的最小值为34，则cosACB=【过关测试】【过关测试】一、单选题一、单选题1(2024河北衡水高三河北衡水中学校考阶段练习)在ABC中，A=90，AB=4，AC=4 3，P，Q是平面上的动点，AP=AQ=PQ=2，M

6、是边BC上的一点，则MP MQ 的最小值为()A.1B.2C.3D.42(2024湖北武汉高三武钢三中校考阶段练习)已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则PA PB 的最小值为()A.-2B.-8C.-1D.03(2024湖北武汉高三华中师大一附中校考期中)已知点P在棱长为4的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则PA PB 的最小值为()A.-8B.-4C.-1D.044(2024贵州贵阳统考一模)如图，在ABC中，AB=6,AC=3,BAC=2,BD=2DC，则AB AD=()A.9B.18C.6D.125(2024贵州贵阳统考模拟预测)如图

7、，在ABC中，AB=6,AC=3,BAC=23,BD=2DC，则AB AD=()A.18B.9C.12D.66(2024新疆乌鲁木齐高三兵团二中校考阶段练习)八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形(如ACD)为等腰直角三角形，点O为圆心，中间部分是正方形且边

8、长为2，定点A，B所在位置如图所示，则AB AO 的值为()A.14B.12C.10D.87(2024辽宁葫芦岛高三葫芦岛第一高级中学校考期末)如图，在四边形ABCD中，AC=4，BA BC=12，E为AC中点.BE=2ED，求DA DC 的值()5A.0B.12C.2D.68(2023贵州校联考二模)如图，在平面四边形ABCD中，AC=4，BA BC=12，E为AC的中点，BE=ED，DA DC=-209，则的值为()A.2B.3C.43D.329(2024浙江永嘉中学校联考模拟预测)已知ABC是边长为1的正三角形，BD=2DC，AB+AC=2AE，则AE AD=()A.34B.32C.38

9、D.110(2024四川绵阳统考二模)如图，在边长为2的等边ABC中，点E为中线BD的三等分点(靠近点B)，点F为BC的中点，则FE EC=()A.-34B.-56C.34D.1211(2024江西南昌高一南昌二中校考开学考试)已知A，B是单位圆上的两点，O为圆心，且AOB=120，MN是圆O的一条直径，点C在线段AB上(不包含两个端点)，则CM CN 的取值范围是()A.-12,1B.-1,1C.-34,0D.-1,0二、填空题二、填空题12(2024黑龙江大庆高一大庆一中校考期末)如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点BA CA=5，BF CF=-2，则BE CE

10、的值是.613(2024上海长宁高二上海市延安中学校考期中)如图,在ABC中,D是BC的中点,E、F是AD上两个三等分点,BA CA=15，BE CE=5，则BF CF=.14(2024江苏盐城统考一模)如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点BE CE=2，BC=2，则BF CF=15(2024山东山东师范大学附中校考模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PM PN 的取值范围是.16(2024湖北省直辖县级单位湖北省仙桃中学校考模拟预测)如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线

11、段，AD=4，AB=8 3，BC=12，则BE BF 的取值范围为.17(2024全国高三专题练习)如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6的可移动的线段，AD=4，AB=8 3，BC=12，则BE BF 的最小值为，最大值为.718(2024浙江杭州高二校联考期中)在ABC中，AB=4,BC=5,AC=6，点M为ABC三边上的动点，PQ是ABC外接圆的直径，则MP MQ 的取值范围是19(2024重庆沙坪坝高三重庆八中校考阶段练习)已知正ABC的边长为2，PQ为ABC内切圆O的一条直径，M为ABC边上的动点，则MP MQ 的取值范围为.20(2024全国高一假期作业)设三角形ABC，P0

12、是边AB上的一定点，满足P0B=14AB，且对于边AB上任一点P，恒有PB PC P0B P0C，则三角形ABC形状为.21(2024江苏常州常州高级中学校考模拟预测)设直角ABC，P0是斜边AB上一定点满足P0B=16AB=1，则对于边AB上任一点P，恒有PB PC P0B P0C，则斜边AB上的高是22(2024河北保定高一校联考期中)已知点P在棱长为1的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则PA PB 的最小值为23(2024天津和平统考二模)在平行四边形ABCD中，BAD=3，边AB,AD的长分别为2与1，则AD+AB 在AB 上的投影向量为(用AB 表示)；若点M,N分

13、别是边BC,CD上的点，且满足BM BC=CN CD，则AM AN 的取值范围是.24(2024天津南开高三校考阶段练习)如图在ABC中，ABC=90，BC=8，AB=12，F为AB中点，E为CF上一点.若CE=3，则EA EB=；若CE=CF 01，则EA EB 的最小值为.1妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题【题型归纳目录】【题型归纳目录】题型一：定值问题题型二：范围与最值问题题型三：求参问题以及其它问题【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】(1)(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方

14、和：|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)证明：不妨设AB=a,AD=b，则AC=a+b，DB=a-bAC2=AC2=a+b2=a2+2ab+b2 DB2=DB2=a-b2=a2-2ab+b2 两式相加得：AC2+DB2=2a2+b2=2AB2+AD2(2)(2)极化恒等式：极化恒等式：上面两式相减，得：14a+b2-a-b2-极化恒等式平行四边形模式：ab=14AC2-DB2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.三角形模式：ab=AM2-14DB2(M为BD的中点)2【典型例题】【典型例题】题型一：定值问题题型一：

15、定值问题1(2024全国高三专题练习)如图，在ABC中，D是BC的中点，E、F是AD上的两个三等分点，BA CA=4，BF CF=-1，则BE CE 的值是()A.4B.8C.78D.34【答案】C【解析】因为D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，所以BF=BD+DF，CF=CD+DF=-BD+DF，BA=BD+DA=BD+3DF，CA=CD+DA=-BD+3DF，所以BF CF=BD+DF -BD+DF=DF 2-BD 2=-1，BA CA=BD+3DF -BD+3DF=9DF 2-BD 2=4，可得DF 2=58，BD 2=138，又因为BE=BD+DE=BD+2DF，CE=CD+

16、DE=-BD+2DF 所以BE CE=BD+2DF -BD+2DF=4DF 2-BD 2=458-138=78，故选：C2(2024贵州毕节统考三模)如图，在ABC中，D是BC边的中点，E，F是线段AD的两个三等分点，若BA CA=7，BE CE=2，则BF CF=()A.-2B.-1C.1D.2【答案】B【解析】依题意，D是BC边的中点，E，F是线段AD的两个三等分点，则BA CA=12BC-AD -12BC-AD=4AD 2-BC 24=36FD 2-BC 24=7，BE CE=12BC-23AD -12BC-23AD=49AD 2-14BC 2=16FD 2-BC 24=2，3因此FD

17、2=1,BC 2=8，BF CF=12BC-FD -12BC-FD=4FD 2-BC 24=41-84=-1.故选：B.3(2024湖南长沙长郡中学校考一模)如图，在平行四边形ABCD中，AB=1,AD=2，点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD边上的中点，则EF FG+GH HE=A.32B.-32C.34D.-34【答案】A【解析】取HF中点O，则EF FG=EF EH=EO 2-OH 2=1-122=34,GH HE=GH GF=GO 2-OH 2=1-122=34，因此EF FG+GH HE=32，选A.题型二：范围与最值问题题型二：范围与最值问题1(2024山东潍坊高三统考期末

18、)已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PM PN 的取值范围是()A.0，1B.0,2C.1，2D.-1,1【答案】A【解析】如下图所示：考虑P是线段AB上的任意一点，PM=PO+OM，PN=PO+ON=PO-OM，圆O的半径长为1，由于P是线段AB上的任意一点，则 PO 1,2，所以，PM PN=PO+OM PO-OM=PO 2-OM 2 0,1.故选：A.2(2024陕西榆林统考三模)四边形ABCD为菱形，BAC=30，AB=6，P是菱形ABCD所在平面的任意一点，则PA PC 的最小值为()A.-30B.-27C.-1

19、5D.-9【答案】B【解析】由题意，四边形ABCD为菱形，BAC=30，可得DAC=60，4在ABC中，由余弦定理得到AC=6 3，连接AC和BD交于点O，则点O为AC的中点，连接OA，OC，OP，则PA=PO+OA，PC=PO+OC=PO-OA，所以PA PC=PO+OA PO-OA=PO 2-OA 2=PO 2-27-27故选：B.3(2024重庆沙坪坝重庆八中校考模拟预测)ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，PQ为ABC内切圆的一条直径，M为ABC边上的动点，则MP MQ 的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9【答案】C【解析】由题可知，AB2+BC2=AC2，所以

20、ABC是直角三角形，B=90，设内切圆半径为r，则SABC=1234=12 3+4+5r，解得r=1，设内切圆圆心为O，因为PQ是ABC内切圆的一条直径，所以 OP=1，OQ=-OP，则MP=MO+OP，MQ=MO+OQ=MO-OP，所以MP MQ=MO+OP MO-OP=MO 2-OP 2=MO 2-1，因为M为ABC边上的动点，所以 MO min=r=1；当M与C重合时，MO max=10，所以MP MQ 的取值范围是 0,9，故选：C题型三：求参问题以及其它问题题型三：求参问题以及其它问题1(2024浙江杭州高一校联考期中)设ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=14AB，且对于边A

21、B上任一点P，恒有PB PC P0B P0C.则()A.ABC=90B.BAC=90C.AB=ACD.AC=BC【答案】D【解析】如图，取BC的中点D，5由极化恒等式可得：PB PC=PD2-BD2，同理，P0B P0C=P0D2-BD2，由于PB PC P0B P0C，则 PD P0D，所以P0DAB，因为P0B=14AB，D是BC的中点，于是AC=BC.故选：D.2(2024辽宁高一东港市第二中学校联考期中)在ABC中，AC=2BC=6，ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN=2，若CM CN 的最小值为3，则cosACB=【答案】2-2 109【解析】取线段MN的中点P，连接C

22、P，过C作COAB于O，如图，PM=12MN=1，依题意，CM CN=CP+PM CP-PM=CP 2-PM 2=CP 2-1，因CM CN 的最小值为3，则 CP 的最小值为2，因此CO=2，在RtAOC中，cosOCA=COCA=13，sinOCA=2 23，在RtBOC中，cosOCB=COCB=23，sinOCB=53，所以cosACB=cos(OCA+OCB)=cosOCAcosOCB-sinOCAsinOCB=2-2 109.故答案为：2-2 1093(2024江苏南京南京师大附中校考模拟预测)在ABC中，AC=2BC=4，ACB为钝角，M,N是边AB上的两个动点，且MN=1，若C

23、M CN 的最小值为34，则cosACB=【答案】1-3 586【解析】取MN的中点P，取PN=-PM，PN=PM=12，CM CN=CP+PM CP+PN=CP+PM CP-PM=CP 2-14，因为CM CN 的最小值34，所以CPmin=1作CHAB，垂足为H，如图，则CH=1，又BC=2，所以B=30，因为AC=4，所以由正弦定理得：sinA=14，cosA=154，所以cosACB=cos 150-A=-32cosA+12sinA=-32154+1214=1-3 58故答案为：1-3 58.【过关测试】【过关测试】一、单选题一、单选题1(2024河北衡水高三河北衡水中学校考阶段练习)

24、在ABC中，A=90，AB=4，AC=4 3，P，Q是平面上的动点，AP=AQ=PQ=2，M是边BC上的一点，则MP MQ 的最小值为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】取PQ的中点N，则MP=MN+NP,MQ=MN+NQ=MN-NP，可得MP MQ=MN+NP MN-NP=MN 2-NP 2=MN 2-1，MN=MA+AN MA-AN，当且仅当N在线段AM上时，等号成立，故 MN MA-AN=MA-3，显然当AMBC时，MA 取到最小值2 3，MN MA-3 2 3-3=3，故MP MQ=MN 2-13-1=2.故选：B.72(2024湖北武汉高三武钢三中校考阶段练习)已知点P在棱

25、长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则PA PB 的最小值为()A.-2B.-8C.-1D.0【答案】A【解析】如图AB为棱长为2的正方体外接球的一条直径，O为球心，P为正方体表面上的任一点，则球心O也就是正方体的中心，所以正方体的中心O到正方体表面任一点P的距离的最小值为正方体的内切球的半径，它等于棱长的一半，即长度为1，AB的长为正方体的对角线长，为2 3，我们将三角形PAB单独抽取出来如下图所示：PA PB=(PO+OA)(PO+OB)=(PO+OA)(PO-OA)=PO|2-OA|2=|PO|2-2 322=|PO|2-3，所以PA PB 的最小值为12-3=-2

26、.故选：A.3(2024湖北武汉高三华中师大一附中校考期中)已知点P在棱长为4的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则PA PB 的最小值为()A.-8B.-4C.-1D.0【答案】A【解析】由题意知：正方体的外接球的球心为O，正方体的外接球的直径AB=42+42+42=4 3，则O为AB的中点，所以OA=-OB，且|OA|=|OB|=2 3，故PA PB=(OA-OP)(OB-OP)=OA OB-(OA+OB)OP+OP 2=-OA 2+OP 2=OP 2-12，当OP与正方体的棱长平行时，此时 OP最小，故 OP 2，所以PA PB 的最小值4-12=-8故选：A84(202

27、4贵州贵阳统考一模)如图，在ABC中，AB=6,AC=3,BAC=2,BD=2DC，则AB AD=()A.9B.18C.6D.12【答案】D【解析】由BD=2DC 可得：DC=13BC，所以AC-AD=13BC=13AC-AB，所以AD=13AB+23AC，AB AD=AB 13AB+23AC=13AB 2+23AB AC，因为AB=6,AC=3,BAC=2，所以AB AD=13AB 2+23AB AC=1336=12.故选：D.5(2024贵州贵阳统考模拟预测)如图，在ABC中，AB=6,AC=3,BAC=23,BD=2DC，则AB AD=()A.18B.9C.12D.6【答案】D【解析】B

28、D=2DC=2(BC-BD)，即BD=23BC，AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23AC-AB=13AB+23AC，AB AD=AB 13AB+23AC=13AB 2+23AB AC=1362+2363cos23=6.故选：D6(2024新疆乌鲁木齐高三兵团二中校考阶段练习)八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶

29、口文化八角星纹图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形(如ACD)为等腰直角三角形，点O为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A，B所在位置如图所示，则AB AO 的值为()9A.14B.12C.10D.8【答案】A【解析】如图：连接OD因为中间是边长为2的正方形，且图中的各个三角形均为等腰直角三角形，所以ADO=ODB=45，OD=2，AD=4，ADB=90.所以 AB AO=AD+DB AD+DO=AD 2+AD DO+DB AD+DB DO=42+42 cos34+0+22cos4=14.故选：A7(2024辽宁葫芦岛高三葫芦岛第一高级中学校考期末)如图，在四边形ABCD中，

30、AC=4，BA BC=12，E为AC中点.BE=2ED，求DA DC 的值()A.0B.12C.2D.6【答案】A【解析】AC=4，E为AC中点，AE=CE=2，BA BC=BE+EA BE+EC=BE+EA BE-EA=BE 2-EA 2=BE 2-4=12，BE=4，DE=12BE=2，DA DC=DE+EA DE+EC=DE+EA DE-EA=DE 2-EA 2=4-4=0.10故选：A.8(2023贵州校联考二模)如图，在平面四边形ABCD中，AC=4，BA BC=12，E为AC的中点，BE=ED，DA DC=-209，则的值为()A.2B.3C.43D.32【答案】B【解析】AC=4

31、，E为AC的中点，|AE|=|CE|=2，BA BC=(BE+EA)(BE+EC)=(BE+EA)(BE-EA)=BE 2-EA 2=BE 2-4=12，|BE|=4，BE=ED,|DE|=1|BE|=4，DA DC=(DE+EA)(DE+EC)=(DE+EA)(DE-EA)=|DE|2-|EA|2=162-4=-209，解得：=3.故选：B.9(2024浙江永嘉中学校联考模拟预测)已知ABC是边长为1的正三角形，BD=2DC，AB+AC=2AE，则AE AD=()A.34B.32C.38D.1【答案】A【解析】由AB+AC=2AE，可知E为BC中点，所以AEBC，如图所示：因为BD=2DC，

32、根据上图可知AD=AE+ED=AE+16BC AE AD=AE AE+16BC=AE 2=34故选：A10(2024四川绵阳统考二模)如图，在边长为2的等边ABC中，点E为中线BD的三等分点(靠近11点B)，点F为BC的中点，则FE EC=()A.-34B.-56C.34D.12【答案】B【解析】由已知，BA=2，BC=2，ABC=60，所以BA BC=BA BC cosABC=2212=2.由已知D是AC的中点，所以BD=12BA+BC，BE=13BD=16BA+BC，BF=12BC.所以FE=BE-BF=16BA+BC-12BC=16BA-13BC，EC=BC-BE=BC-16BA+BC=

33、-16BA+56BC，所以，FE EC=16BA-13BC -16BA+56BC=-136BA 2+736BA BC-518BC 2=-1364+7362-5184=-56.故选：B.11(2024江西南昌高一南昌二中校考开学考试)已知A，B是单位圆上的两点，O为圆心，且AOB=120，MN是圆O的一条直径，点C在线段AB上(不包含两个端点)，则CM CN 的取值范围是()A.-12,1B.-1,1C.-34,0D.-1,0【答案】C【解析】AOB=120，点C在线段AB上，且 OC 12,1，CM CN=OM-OC ON-OC=OM ON-OM+ON OC+OC 212=-1+OC 2=-1

34、+OC 2，OC 12,1，CM CN -34,0.故选：C.二、填空题二、填空题12(2024黑龙江大庆高一大庆一中校考期末)如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点BA CA=5，BF CF=-2，则BE CE 的值是.【答案】58【解析】因为BA CA=12BC-AD -12BC-AD=4AD 2-BC 24=36FD 2-BC 24=5，BF CF=12BC-13AD -12BC-13AD=4FD 2-BC 24=-2，因此FD 2=78,BC 2=232，BE CE=12BC-ED -12BC-ED=4ED 2-BC 24=16FD 2-BC 24=58.故答案

35、为：58.13(2024上海长宁高二上海市延安中学校考期中)如图,在ABC中,D是BC的中点,E、F是AD上两个三等分点,BA CA=15，BE CE=5，则BF CF=.【答案】-1【解析】D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BE=BD+DE=BD+2DF,CE=-BD+2DF，BA=BD+3DF,CA=-BD+3DF，BE CE=4DF 2-BD 2=5，BA CA=9DF 2-BD 2=15，DF 2=2,BD 2=3，13又BF=BD+DF,CF=-BD+DF，BF CF=DF 2-BD 2=-1，故答案为：-114(2024江苏盐城统考一模)如图，在ABC中，D是BC的中点

36、，E，F是AD上的两个三等分点BE CE=2，BC=2，则BF CF=【答案】-14/-0.25【解析】因为BE CE=BD+DE CD+DE=BD+DE -BD+DE=DE 2-BD 2=2，又D是BC的中点，且BC=2，所以BD=1，代入上式得DE 2=3，所以 DE=3，因为E，F是AD上的两个三等分点，所以 DF=32，则BF CF=BD+DF CD+DF=BD+DF -BD+DF=DF 2-BD 2=34-1=-14，故答案为：-14.15(2024山东山东师范大学附中校考模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，

37、PM PN 的取值范围是.【答案】0,14【解析】如下图所示：设正方形ABCD的内切圆为圆O，当弦MN的长度最大时，MN为圆O的一条直径，PM PN=PO+OM PO-OM=PO 2-OM 2=PO 2-14，当P为正方形ABCD的某边的中点时，OP min=12，当P与正方形ABCD的顶点重合时，OP max=22，即12 OP 22，因此，PM PN=PO 2-14 0,14.14故答案为：0,14.16(2024湖北省直辖县级单位湖北省仙桃中学校考模拟预测)如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，AD=4，AB=8 3，BC=12，则BE BF 的取值范围为.【答案

38、】99,148【解析】在BC上取一点G，使得BG=4，取EF的中点P，连接DG，BP，如图所示：则DG=8 3，GC=8，CD=82+8 32=16，tanBCD=8 38=3，即BCD=60.BE BF=14BE+BF 2-BE-BF 2=142BP 2-FE 2=BP 2-9，当BPCD时，BP 取得最小值，此时 BP=12sin60=6 3，所以 BE BF min=6 32-9=99.当F与D重合时，CP=13，BC=12，则 BP 2=122+132-2121312=157，当E与C重合时，CP=3，BC=12，则 BP 2=122+32-212312=117，所以 BE BF ma

39、x=157-9=148，即BE BF 的取值范围为 99,148.故答案为：99,14817(2024全国高三专题练习)如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6的可移动的线段，AD=4，AB=8 3，BC=12，则BE BF 的最小值为，最大值为.【答案】9914815【解析】在BC上取一点G，使得BG=4，取EF的中点P，连接DG,BP，如图所示：则DG=8 3,GC=8，CD=82+8 32=16，tanBCD=8 38=3，即BCD=60，BE BF=14BE+BF 2-BE-BF 2=142BP 2-FE 2=BP 2-9，当BPCD时，BP 取得最小值，此时 BP=12sin60

40、=6 3，所以 BE BF min=6 32-9=99.当F与D重合时，CP=13，BC=12，则 BP 2=122+132-2121312=157，当E与C重合时，CP=3，BC=12，则 BP 2=122+32-212312=117，所以 BE BF max=157-9=148，故答案为：99；148.18(2024浙江杭州高二校联考期中)在ABC中，AB=4,BC=5,AC=6，点M为ABC三边上的动点，PQ是ABC外接圆的直径，则MP MQ 的取值范围是【答案】-9,0【解析】根据向量关系可得MP MQ=MO 2-R2，即判断MO 2-R2的取值范围即可，由图可知 MO 的最大值为R，

41、最小值为R2-9.设外接圆的圆心为O，半径为R，可得MP MQ=MO+OP MO+OQ=MO 2+MO OP+OQ+OP OQ=MO 2-R2，M为ABC三边上的动点，可知 MO 的最大值为O到三角形顶点的距离，即为半径R，且 MO 的最小值为O到AC边的距离，过O作OM0AC，垂足为M0，则 OM0=R2-32=R2-9，MP MQ 的最大值为R2-R2=0，最小值为 OM02-R2=R2-9-R2=-9，故MP MQ 的取值范围是-9,0.故答案为：-9,0.19(2024重庆沙坪坝高三重庆八中校考阶段练习)已知正ABC的边长为2，PQ为ABC内切圆16O的一条直径，M为ABC边上的动点，

42、则MP MQ 的取值范围为.【答案】0,1【解析】先由正ABC的性质，求出其内切圆半径，再利用向量的三角形法则，得到MP=MO+OP，MQ=MO+OQ，再结合OQ=-OP，可得到MP MQ=MO 2-OP 2=MO 2-13，再根据图像利用临界值法，求出MP MQ 的取值范围.如图所示，O为正ABC内切圆圆心，OD为内切圆半径，在BDO中，BD=1，OBD=30，可求得内切圆半径OD=33.又PQ为圆O的直径,OQ=-OP，利用向量的线性表示可得，MP=MO+OP，MQ=MO+OQ=MO-OP，MP MQ=(MO+OP)(MO-OP)=MO 2-OP 2=MO 2-13，又M为ABC边上的动点

43、，由图可知，当M为ABC边的中点时，MO 最小为33，即MP MQ min=0；当M为ABC的顶点时，MO 最大为2 33，即MP MQ max=1.MP MQ 的取值范围为 0,1.故答案为：0,1.20(2024全国高一假期作业)设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=14AB，且对于边AB上任一点P，恒有PB PC P0B P0C，则三角形ABC形状为.【答案】C为顶角的等腰三角形【解析】取BC的中点D，连接PD，P0D，如图所示：PB PC=PD+12BC PD-12BC=PD 2-14BC 2，同理P0B P0C=P0D 2-14BC 2，PB PC P0B P0C，PD

44、 2-14BC 2 P0D 2-14BC 2 PD P0D P0DAB，设O为AB的中点，P0B=12OBP0DOCOCAB,AC=BC即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形.故答案为：C为顶角的等腰三角形21(2024江苏常州常州高级中学校考模拟预测)设直角ABC，P0是斜边AB上一定点满足P0B=16AB=1，则对于边AB上任一点P，恒有PB PC P0B P0C，则斜边AB上的高是17【答案】2 2【解析】取BC中点D，则PB PC=PD+DB PD+DC=PD 2+PD DC+DB+DC DB=PD 2-DB 2，同理P0B P0C=P0D 2-DB 2，又PB PC P0B P0C，

45、故PD 2P0D 2，即 PD P0D 恒成立，所以DP0AB.作CEAB，则P0为EB中点，故EB=2P0B=2，所以AE=4.又因为直角ABC，故CE2=AEEB=8，所以CE=2 2，即斜边AB上的高是2 2故答案为：2 222(2024河北保定高一校联考期中)已知点P在棱长为1的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则PA PB 的最小值为【答案】-12/-0.5【解析】由题意，正方体外接球的直径 AB=3，设点O为正方体外接球的球心，则O为AB的中点，所以OA=-OB 且 OA=OB=32，则PA PB=OA-OP OB-OP=OA OB-OA+OB OP+OP 2=OP

46、 2-322由 OP12，所以PA PB 的最小值为122-322=-12故答案为：-1223(2024天津和平统考二模)在平行四边形ABCD中，BAD=3，边AB,AD的长分别为2与1，则AD+AB 在AB 上的投影向量为(用AB 表示)；若点M,N分别是边BC,CD上的点，且满足BM BC=CN CD，则AM AN 的取值范围是.【答案】54AB 2,5【解析】在平行四边形ABCD中，BAD=3，边AB,AD的长分别为2与1，建立如图所示的直角坐标系，则B 2,0，A 0,0，D12,32，C52,32，18AB=(2,0)，AC=52,32，AD=12,32，所以AD+AB=AC=52,

47、32，所以(AD+AB)AB=522+320=5，AB=2，所以AD+AB 在AB 上的投影向量为AD+AB AB AB AB AB=54AB；设BM BC=CN CD=，0,1，则BM=BC，CN=CD，所以M 2+2,32,N52-2,32，所以AM AN=2+2,3252-2,32=-2-2+5，因为 0,1，函数y=-2-2+5的对称轴为=-1，所以y=-2-2+5在 0,1上单调递减，所以 0,1时，y=-2-2+5 2,5，即AM AN 的取值范围是 2,5.故答案为：54AB；2,524(2024天津南开高三校考阶段练习)如图在ABC中，ABC=90，BC=8，AB=12，F为AB中点，E为CF上一点.若CE=3，则EA EB=；若CE=CF 01，则EA EB 的最小值为.【答案】13-36【解析】因为ABC=90，BF=12AB=6，BC=8，则CF=BC2+BF2=10，当CE=3时，EF=7，此时EA EB=EF+FA EF+FB=EF-FB EF+FB=EF 2-FB 2=72-62=13；EF=CF-CE=1-CF，则EA EB=EF 2-FB 2=1-2CF 2-36-36，当且仅当=1时，等号成立，故EA EB 的最小值为-36.故答案为：13；-36.