八年级数学上册 15.4 角的平分线 15.4.1 角的平分线的性质 （新版）沪科版.ppt

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1、第第1515章章 轴对称图形与等腰三角形轴对称图形与等腰三角形15.4 15.4 角的平分线角的平分线第第1 1课时课时 角的平分线的性质角的平分线的性质1课堂堂讲解解u角的平分线的画法角的平分线的画法u角的平分线的性质角的平分线的性质2课时流程流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1知知识点点角的平分线的画法角的平分线的画法问题：问题：怎样作出角的平分线？怎样作出角的平分线？知知1 1导导知知识点点角的平分线的画法角的平分线的画法1：通过折纸可以作出一个角的角平分线通过折纸可以作出一个角的角平分线.在半透明纸上任画在半透明纸上任画一个角，请你用折叠的方法，找出角的平分线，如

2、图一个角，请你用折叠的方法，找出角的平分线，如图.知知1 1讲讲归纳知知1 1讲讲角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.（来自教材）（来自教材）知知1 1讲讲角的平分线的画法角的平分线的画法2：也可以用量角器来画一个角的平分线也可以用量角器来画一个角的平分线.角的平分线的画法角的平分线的画法3：下面介绍用尺规作图的方法作出：下面介绍用尺规作图的方法作出AOB的平分线（如图）的平分线（如图）.作法：作法：1.以以O为圆心，任意长为半径画弧分别交为圆心，任意长为半径画弧分别交OA,OB于点于点M,N,如图（如图（1）.2.分别以点分别以点M,

3、N为圆心，以大于为圆心，以大于 MN长为半径长为半径(为什么？）在角的内为什么？）在角的内 部画弧交于点部画弧交于点P,如图（如图（2）.3.作射线作射线OP,则则OP为所要求作的为所要求作的AOB的平分线，如图（的平分线，如图（3）.知知1 1讲讲思考：思考：1.根据作图，你能证明所作射线根据作图，你能证明所作射线OP,就是就是AOB的平分线吗？的平分线吗？2.当当AOB的两边成一直线时（即的两边成一直线时（即AOB=180），你会作），你会作 这个角的平分线吗？这时的角平分线与直线这个角的平分线吗？这时的角平分线与直线AB是什么关系？是什么关系？知知1 1讲讲拓展：过一点作已知直线的垂线：

4、拓展：过一点作已知直线的垂线：1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线：如图所示，已知直线如图所示，已知直线AB和和AB上一点上一点C，作，作AB的垂线，使它经过点的垂线，使它经过点C.作法：如图所示作法：如图所示 第一步：作平角第一步：作平角ACB的平分线的平分线CF；第二步：反向延长射线第二步：反向延长射线CF.直线直线CF就是所要求作的垂线就是所要求作的垂线知知1 1讲讲2经过已知直线外一点作这条直线的垂线：经过已知直线外一点作这条直线的垂线：如图所示，已知直线如图所示，已知直线AB和和AB外一点外一点C，作作AB的垂线，使它经过点的垂线，使它经过点

5、C.作法：如图所示作法：如图所示 第一步：以点第一步：以点C为圆心，作能与为圆心，作能与AB相交于相交于D、E两点的弧；两点的弧；第二步：作第二步：作 DCE的平分线的平分线CF；第三步：反向延长射线第三步：反向延长射线CF.则直线则直线CF就是所要求作的垂线就是所要求作的垂线知知1 1讲讲思考：思考：为什么这样作出的直线为什么这样作出的直线CF就是所求作的垂线？你能说说道理就是所求作的垂线？你能说说道理吗？吗？归纳知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）1.理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判 定方法：定方法：“SSS”拓展：根据角平分线的

6、作法还可以作已知角的四等拓展：根据角平分线的作法还可以作已知角的四等 分线分线2.易错警示：作角平分线的最后一步易错警示：作角平分线的最后一步“过两点作射线过两点作射线”时，不能简单地叙述为时，不能简单地叙述为“连接两点连接两点”，连接两点是线，连接两点是线 段，段，角平分线是射线角平分线是射线而不是线段而不是线段知知1 1讲讲 如图所示，已知如图所示，已知AOB，求作：求作：AOM AOB.导引：导引：要作射线要作射线OM，使，使AOM AOB，可作可作 AOB的平分线的平分线 解：解：作法：作法：(1)以点以点O为圆心，适当长为半径画弧，交为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点于点E，交，交

7、OB于点于点F；(2)分别以点分别以点E，F为圆心，大于为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧在的长为半径画弧，两弧在AOB的内的内部部 交于点交于点C；(3)画射线画射线OC；(4)同理，作同理，作AOC的平分线的平分线OM.AOM即为所求即为所求(如图所示如图所示)（来自（来自点拨点拨）例例1 总结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）作法中作法中“适当长为半径画弧适当长为半径画弧”的目的是为方便作的目的是为方便作图，不能太大或太小；图，不能太大或太小；“大于大于 EF的长为半径画弧的长为半径画弧”是因为若以小于或等于是因为若以小于或等于 EF的长为半径画弧时，画的长为半径画弧时，画出的两弧

8、不能相交出的两弧不能相交 1在下面尺规作图中，了解作图道理，保留作图痕迹，不在下面尺规作图中，了解作图道理，保留作图痕迹，不要求写作法要求写作法.已知一直角边和斜边作直角三角形已知一直角边和斜边作直角三角形.知知1 1练练（来自教材）（来自教材）2作作AOB的平分线时，以的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作弧，与为圆心，某一长度为半径作弧，与OA，OB分别相交于分别相交于C，D，然后分别以，然后分别以C，D为圆心，适当的长度为为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧相交于一点，则这个适当的长度应半径作弧，使两弧相交于一点，则这个适当的长度应()A大于大于 CD B等于等于 CDC小于小于 CD

9、 D以上答案都不对以上答案都不对(中考中考玉林玉林)根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论：根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论：_，然后证明你的结论，然后证明你的结论(不要求写不要求写已知、求证已知、求证)知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）34利用尺规作利用尺规作AOB的平分线的方法如下：如图，以点的平分线的方法如下：如图，以点O为圆心，为圆心，任意长为半径画弧，交任意长为半径画弧，交OA于点于点C，交，交OB于点于点D，再分别以点，再分别以点C，D为圆心，以大于为圆心，以大于 CD的长为半径画弧，两弧在的长为半径画弧，两弧在AOB的内部交于的内部交于点点P，作射线，作射线OP.此作

10、法的依据是此作法的依据是()ASASBASA CAAS DSSS知知1 1练练（来自（来自点拨点拨）2知知识点点角的平分线的性质角的平分线的性质知知2 2导导思考：思考：如图，如图，OP是是AOB的平分线，的平分线，P是是OP上的任一点，过点上的任一点，过点P分别分别作作PCOA,PD OB,点点C,D是垂足是垂足.你能猜想你能猜想PC，PD长度间有长度间有什么关系吗？证明你的猜想什么关系吗？证明你的猜想.知知2 2讲讲下面我们给出上面下面我们给出上面“思考思考”中猜想结论的证明中猜想结论的证明.证明：证明：OP平分平分AOB，（已知），（已知）AOP=BOP.(角平分线定义）角平分线定义）又

11、又 PCOA，PD OB，（已知），（已知）PCO=PDO=90.(垂直的定义）垂直的定义）在在PCO 和和 PDO中，中，PCO PDO.(AAS)PC=PD.（来自教材）（来自教材）知知识点点知知2 2讲讲1.角的平分线的性质：角平分线上的点到角两边的角的平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离距离相等相等 要点精析：要点精析：(1)点一定要在角平分线上；点一定要在角平分线上；(2)点到角两边的距点到角两边的距离离 是指点到角两边垂线段的长度；是指点到角两边垂线段的长度；(3)角平分线的性质可用来证角平分线的性质可用来证 明两条线段相等明两条线段相等2书写格式：如图，书写格式：如图，OP

12、平分平分AOB，PDOA于点于点D，PEOB于点于点E,PDPE.3易错提示：易找错距离，误以为角平分线上的点到角的两易错提示：易找错距离，误以为角平分线上的点到角的两 边的距离就是角平分线上的点与角两边上任意点间的距离边的距离就是角平分线上的点与角两边上任意点间的距离知知识点点知知2 2讲讲例例2 如图，在如图，在ABC中，中，C90，AD平分平分CAB，DEAB于于E，F在在AC上，上，BEFC，求证：，求证：BDDF.导引：导引：要证要证BDDF，可考虑证两线段所在的，可考虑证两线段所在的BDE和和 FDC全等，两个三角形中已有一角和一边相等，只全等，两个三角形中已有一角和一边相等，只

13、要再证要再证DECD即可，这可由即可，这可由AD平分平分CAB及垂直条件证得及垂直条件证得证明：证明：AD平分平分CAB，DEAB于于E，C90，DEDC，DEBC90.在在BDE和和FDC中，中，BDEFDC,BDDF.（来自（来自点拨点拨）总结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）由角平分线的性质不用证全等可以直接得线段由角平分线的性质不用证全等可以直接得线段相等，这是证线段相等的一个简捷方法相等，这是证线段相等的一个简捷方法 知知识点点知知2 2讲讲例例3 如图，在如图，在ABC中，中，C90，BCAC，AD是是BAC的平分线，的平分线，DEAB于点于点E.若若AB10 cm，求求DBE的

14、周长的周长 导引：导引：要求要求DBE的周长，实质是求的周长，实质是求BEDEBD的长，而题中已知的长，而题中已知 AB10 cm，因此需证，因此需证DEBDAE，又，又AD是角平分线及垂直是角平分线及垂直 条件知条件知DECD，所以需证，所以需证BCAE，由，由BCAC，因此只需证，因此只需证 ACAE，它可由，它可由RtACD RtAED得出得出知知识点点知知2 2讲讲解：解：AD平分平分CAB，且，且C90，DEAB，DCDE.又又CDEA90，ADAD，RtACD RtAED，ACAE.又又ACBC，ACAEBC.DEEBBDDCEBBDBCEBAEEBAB.又又AB10 cm，DBE

15、的周长为的周长为DBBEDE10 cm.（来自（来自点拨点拨）1 已知：如图，已知：如图，ABC中，中，AB=AC,AD是是BAC的平的平分线，分线，DEAB，DF AC，垂足分别为点，垂足分别为点E，F.判断下列结论是否正确：判断下列结论是否正确：（1）DE=DF.（）（2）BD=CD.（）（3）AD上任一点到上任一点到AB,AC的距离相等的距离相等.()(4)AD 上任一点到点上任一点到点B,C距离相等距离相等.()知知2 2练练（来自教材）（来自教材）2(中考中考茂名茂名)如图，如图，OC是是AOB的平分线，的平分线，P是是OC上一点，上一点，PDOA于点于点D，PD6，则点，则点P到边

16、到边OB的距离为的距离为()A6 B5 C4 D3如图，在如图，在ABC中，中，C90，ACBC，AD平分平分CAB交交BC于于D，DEAB于于E，若，若AB6 cm，则，则DBE的周长是的周长是()A6 cm B7 cm C8 cm D9 cm知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）34(中考中考湖州湖州)如图，已知在如图，已知在ABC中，中，CD是是AB边上的高线，边上的高线，BE平分平分ABC，交，交CD于点于点E，BC5，DE2，则，则BCE的面积等的面积等于于()A10 B7 C5 D4知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）如图，已知如图，已知AC平分平分BAD，CEAB于于E，C

17、FAD于于F，且，且BCCD.(1)求证：求证：BCEDCF；(2)若若AB15，AD7，求，求BE的长的长5（来自（来自点拨点拨）1.角的平分线图形结构中的角的平分线图形结构中的“两种数量关系两种数量关系”：如图，如图，OC 平分平分AOB，点，点P在在OC上，上，PDOA，PEOB，DE交交OC于点于点F.(1)角的相等关系角的相等关系：AOCBOCPDF PEF；ODPOEPDFOEFO DFPEFPPDAPEB90；DPO EPOODFOEF.(2)线段的相等关系线段的相等关系：ODOE，DPEP，DFEF.2.运用角的平分线的性质解决与面积有关的问题的方法：运用角的平分线的性质解决与面积有关的问题的方法：首先运用三角形的面积公式将面积关系转化为线段关首先运用三角形的面积公式将面积关系转化为线段关 系，再结合角的平分线的性质进一步转化为三角形边长系，再结合角的平分线的性质进一步转化为三角形边长 之间的关系，从而把两者建立起关系，结合已知条件可之间的关系，从而把两者建立起关系，结合已知条件可 解决问题解决问题3.过角平分线上一点作垂线是解决有关角平分线问题最过角平分线上一点作垂线是解决有关角平分线问题最 常用的作辅助线的方法常用的作辅助线的方法