妙用等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题--2024年高一数学微专题含答案.pdf

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1、1妙用等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题妙用等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题【题型归纳目录】【题型归纳目录】题型一：x+y问题(系数为1)题型二：mx+ny问题(系数不为1)题型三：mx-ny问题题型四：mx+ny问题题型五：yx问题题型六：x2+y2问题【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】(1)平面向量共线定理已知OA=OB+OC，若+=1，则A,B,C三点共线；反之亦然。(2)等和线平面内一组基底 OA,OB 及任一向量 OP，OP=OA+OB(,R)，若点 P 在直线 AB 上或者在平行于AB的直线上，则+=k(定值)，反之也成立，我们把直线 AB以及与直线AB平行的直

2、线称为等和线。当等和线恰为直线AB时，k=1；当等和线在O点和直线AB之间时，k(0,1)；当直线AB在点O和等和线之间时，k(1,+)；当等和线过O点时，k=0；若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；【典型例题】题型一：【典型例题】题型一：x+y问题(系数为1)问题(系数为1)1(2024山东滨州统考一模)在ABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若AN=AB+AC(，R R)，则+的取值范围是()A.0,13B.13,12C.0,1D.1,22(2024陕西西安高一西北工业大学附属中学校考阶段练习)在ABC中，M为边BC上的任意一妙用等和线解决平面向量系数和、差、商、

3、平方问题-2024年高一数学微专题2点，点N在线段AM上，且满足AN=13NM，若AN=AB+AC(,R)，则+的值为()A.14B.13C.1D.43(2024重庆铜梁高一统考期末)在ABC中，点D是线段BC上任意一点，点P满足AD=3AP，若存在实数m和n，使得BP=mAB+nAC，则m+n=()A.23B.13C.-13D.-23题型二：题型二：mx+ny问题问题(系数不为系数不为1 1)1(2024山东潍坊高一统考期末)已知O是ABC内一点，且OA+OB+OC=0，点M在OBC内(不含边界)，若AM=AB+AC，则+2的取值范围是()A.1,52B.1,2C.23,1D.12,12(2

4、024江苏南京高一南京师大附中校考期末)在扇形OAB中，AOB=60o，OA=1，C为弧AB上的一个动点，且OC=xOA+yOB 则x+4y的取值范围为()A.1,4)B.1,4C.2,3)D.2,33(2024辽宁沈阳高三统考期末)如图，在扇形OAB中，AOB=30，C为弧AB上且与A,B不重合的一个动点，且OC=xOA+yOB，若=x+y(0)存在最大值，则的取值范围是()A.34,33B.33,32C.34,32D.32,2 33题型三：题型三：mx-ny问题问题1(2024上海徐汇高二位育中学校考阶段练习)如图，OMAB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线组成的区域内(不含边界)

5、运动，且OP=xOA+yOB，当x=-12时，y的取值范围是2(2024河南平顶山高一统考期末)如图所示，点P在由线段AB，AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内(不含边界)，则下列说法中正确的是(填写所有正确说法的序号)3存在点P，使得AP=12AB+2AC；存在点P，使得AP=-12AB+2AC；存在点P，使得AP=12AB-2AC；存在点P，使得AP=12AB+32AC 3(2024高一课时练习)已知ABC中，CD=-35BC,EC=12AC,AF=13AB，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且DP=-13DC+xDE，则实数x的取值范围为.题型四：题型四：mx+ny问题问题1(2

6、024江苏高三专题练习)在ABC中，点O是BC的三等分点，OC=2 OB，过点O的直线分别交直线AB,AC于点E,F，且AB=mAE，AC=nAF(m0,n0)，若1m+tn的最小值为83，则正数t的值为2(2024江苏盐城高一统考期末)在ABC中，点O是BC的三等分点，OC=2 OB，过点O的直线分别交直线AB，AC于点E，F，且AB=mAE，AC=nAF(m0，n0)，若1m+t2nt0的最小值为3，则正数t的值为.3(2024山东菏泽高一统考期末)在ABC中，点O是线段BC上的点，且满足 OC=3 OB，过点O的直线分别交直线AB,AC于点E,F，且AB=mAE，AC=nAF，其中m0且

7、n0，若1m+2n的最小值为.题型五：题型五：yx问题问题1(2024山西高一统考期末)已知在ABC中，点D满足BD=34BC，点E在线段AD(不含端点A，D)上移动，若AE=AB+AC，则=.2(2024山东潍坊高三开学考试)在ABC中，点D满足BD=34BC，当点E在射线AD(不含点A)上移动时，若AE=AB+AC，则+1的最小值为3(2024黑龙江哈尔滨高三哈师大附中校考期末)在ABC中，点D满足BD=34BC，当E点在线段AD(不包含端点)上移动时，若AE=AB+AC，则+3的取值范围是4A.2 33,+B.2,+)C.174,+D.(2,+)题型六：题型六：x2+y2问题问题1(20

8、24江苏泰州高一泰州中学阶段练习)在ABC中，点D满足BD=34BC，当点E在射线AD(不含点A)上移动时，若AE=AB+AC，则(+1)2+2的 取值范围为2(2024天津高三校联考阶段练习)如图，在ABC中，BD=13BC，点E在线段AD上移动(不含端点)，若AE=AB+AC，则=，2-的最小值为.3(2024全国高三专题练习)在ABC中，点D满足BD=DC，当E点在线段AD上移动时，若AE=AB+AC，则t=(-1)2+2的最小值为.4(2024山东德州高三统考期末)在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，且满足AN=AB+AC，则2+2的最小值为.【过关测试】【过关测试】一、

9、单选题一、单选题1(2024高三课时练习)在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，AN=AB+AC，则+的值为()A.12B.13C.14D.12(2024安徽六安高一六安一中校考期末)如图所示，在ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数和，使得BM=AB+AC，则+=()A.-1B.-12C.-2D.-323(2024重庆高三重庆南开中学校考阶段练习)已知点O为ABC所在平面内一点，满足OA+OB+OC=0，M为AB中点，点P在AOC内(不含边界)，若BP=xBM+yBC，则x+y的取值范围是()A.1,2B.23,2C.12,1D.13,3254(2024广

10、东惠州高一校联考阶段练习)在ABC中，点O是线段BC上的点，且满足|OC|=3|OB|，过点O的直线分别交直线AB、AC于点E、F，且AB=mAE，AC=nAF，其中m0且n0，若1m+tn的最小值为3，则正数t的值为()A.2B.3C.83D.1135(2024江西南昌高三阶段练习)在ABC中，点O是BC的三等分点(靠近点B)，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同两点M，N，若AB=mAM,AC=nAN，m,n均为正数，则1m+1n的最小值为()A.2B.1+23C.1+2 23D.1+2 33二、多选题二、多选题6(2024江苏南京高一南京市宁海中学校联考期末)在ABC中，点D是线段BC

11、上任意一点，点M是线段AD的中点，若存在,R使BM=AB+AC，则,的取值可能是()A.=-35,=110B.=1,=-32C.=-910,=25D.=-710,=357(2024浙江宁波高一宁波市北仑中学校考期末)已知O是ABC内一点，且OA+OB+OC=0，点M在OBC内(不含边界)，若AM=AB+AC，则+2的值可能为()A.97B.117C.137D.1578(2024重庆高一校联考阶段练习)在ABC中，点D满足BD=DC，当点E在线段AD上(不含A点)移动时，记AE=AB+AC，则()A.=2B.=C.14+的最小值为1D.4+的最小值为49(2024湖北武汉高三校联考期末)在ABC

12、中，点D满足BD=DC，当点E在线段AD上移动时，记AE=AB+AC，则()A.=2B.=C.-22+2的最小值为2D.-22+2的最小值为52三、填空题三、填空题10(2024全国高三专题练习)如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若AP=xAB+yAC，则2x+2y的最大值为611(2024福建三明高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB中，AOB=3，C为弧AB上的一个动点，若OC=xOA+yOB，则x+4y的取值范围是.12(2024四川绵阳高一统考期末)在扇形OAB中，AOB=60，C为弧AB上的一动点，若OC=xOA+yOB，则3x+y的取值范围是13(2

13、024全国高三专题练习)在扇形OAB中，OA=1，AOB=3，C为弧AB上的一个动点，若OC=xOA+yOB，则x+3y的取值范围是.14(2024全国高三专题练习)扇形OAB中，AOB=120，C为AB上的一个动点，且OC=xOA+yOB，其中x,yR.(1)x+y的取值范围为；(2)2x+y的取值范围为.15(2024吉林高一阶段练习)如图，在ABC中，D,E,F分别为BC,CA,AB上的点，且CD=35BC，EC=12AC，AF=13AB.设P为四边形AEDF内一点(P点不在边界上)，若DP=-13DC+DE，则实数的取值范围为16(2024重庆万州高一万州外国语学校天子湖校区校考期末)

14、如图，在ABC中，BD=13BC，点E在线段AD上移动(不含端点)，若AE=AB+AC，则2+1的取值范围是7四、解答题四、解答题17(2024高一课时练习)在学习向量三点共线定理时，我们知道当P、A、B三点共线，O为直线外一点，且OP=xOA+yOB 时，x+y=1(如图1)，小明同学提出了如下两个问题，请同学们帮助小明解答(1)当x+y1或x+y1或x+y1时，O、P两点的位置与AB所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由(2)如图2，射线OMAB，点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP=xOA+yOB，求实数x的取值范围，并求当x=12时，

15、实数y的取值范围.(3)过O作AB的平行线，延长AO、BO，将平面分成如图3所示的六个区域，且OP=xOA+yOB，请分别写出点P在每个区域内运动(不含边界)时，实数x，y应满足的条件.(不必证明)1妙用等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题妙用等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题【题型归纳目录】【题型归纳目录】题型一：x+y问题(系数为1)题型二：mx+ny问题(系数不为1)题型三：mx-ny问题题型四：mx+ny问题题型五：yx问题题型六：x2+y2问题【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】(1)平面向量共线定理已知OA=OB+OC，若+=1，则A,B,C三点共线；反之亦然。(2)

16、等和线平面内一组基底 OA,OB 及任一向量 OP，OP=OA+OB(,R)，若点 P 在直线 AB 上或者在平行于AB的直线上，则+=k(定值)，反之也成立，我们把直线 AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。当等和线恰为直线AB时，k=1；当等和线在O点和直线AB之间时，k(0,1)；当直线AB在点O和等和线之间时，k(1,+)；当等和线过O点时，k=0；若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；【典型例题】【典型例题】题型一：题型一：x+y问题问题(系数为系数为1 1)1(2024山东滨州统考一模)在ABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若AN=AB+AC(，R R)

17、，则+的取值范围是()A.0,13B.13,12C.0,1D.1,2【答案】C2【解析】由题意，设AN=tAM，0t1，当t=0时，AN=0，所以AB+AC=0，所以=0，从而有+=0；当0t1时，因为AN=AB+AC(，R R)，所以tAM=AB+AC，即AM=tAB+tAC，因为M、B、C三点共线，所以t+t=1，即+=t 0,1.综上，+的取值范围是0,1.故选：C.2(2024陕西西安高一西北工业大学附属中学校考阶段练习)在ABC中，M为边BC上的任意一点，点N在线段AM上，且满足AN=13NM，若AN=AB+AC(,R)，则+的值为()A.14B.13C.1D.4【答案】A【解析】设

18、BM=tBC，将AN 用AB、AC 表示出来，即可找到和的关系，从而求出+的值设BM=tBC(0t1)，AN=13NM，所以AN=14AM=14(AB+BM)=14AB+14tBC=14AB+14t(AC-AB)=14-14tAB+14tAC，又AN=AB+AC，所以+=14-14t+14t=14故选：A3(2024重庆铜梁高一统考期末)在ABC中，点D是线段BC上任意一点，点P满足AD=3AP，若存在实数m和n，使得BP=mAB+nAC，则m+n=()A.23B.13C.-13D.-23【答案】D【解析】由题意，AD=AB+1-AC，且00)存在最大值，则的取值范围是()A.34,33B.3

19、3,32C.34,32D.32,2 33【答案】D【解析】设射线OB上存在为B，使OB=1OB，AB交OC于C，由于OC=xOA+yOB=xOA+y1OB=xOA+yOB，设OC=tOC，OC=xOA+yOB，由A,B,C三点共线可知x+y=1，所以u=x+y=tx+ty=1，则=OC OC 存在最大值1，即在弧AB(不包括端点)上存在与AB平行的切线，所以32,2 33故答案为32,2 335题型三：题型三：mx-ny问题问题1(2024上海徐汇高二位育中学校考阶段练习)如图，OMAB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线组成的区域内(不含边界)运动，且OP=xOA+yOB，当x=-12

20、时，y的取值范围是【答案】12,32【解析】如图，OMAB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP=xOA+yOB，由向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边，x的取值范围是(-,0)；当x=-12时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上，CD=12OB，CE=32OB，y的取值范围是12，32故答案为：12，322(2024河南平顶山高一统考期末)如图所示，点P在由线段AB，AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内(不含边界)，则下列说法中正确的是(填写所有正确说法的序号)存在点P，使得AP=1

21、2AB+2AC；存在点P，使得AP=-12AB+2AC；存在点P，使得AP=12AB-2AC；存在点P，使得AP=12AB+32AC【答案】【解析】设AP=AB+AC,R，由图可知：60,0,且+1，正确，故答案为：3(2024高一课时练习)已知ABC中，CD=-35BC,EC=12AC,AF=13AB，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且DP=-13DC+xDE，则实数x的取值范围为.【答案】12,43【解析】如图所示，在线段BD上取一点G，使得DG=-13DC，设DC=3a，则DG=a，BC=5a，BG=a；过点G作GHDE，分别交DFAE于KH，连接FH，则点KH为临界点；GHDE

22、，所以HE=13EC，AH=23EC，HG=43DE，AHHC=12=AFFB，所以FHBC；所以FH=13BC，所以FHDG=KHKG，所以KG=35HK，KG=38HG=12DE.所以实数x的取值范围是12，43.故答案为：12，43.题型四：题型四：mx+ny问题问题1(2024江苏高三专题练习)在ABC中，点O是BC的三等分点，OC=2 OB，过点O的直线分别交直线AB,AC于点E,F，且AB=mAE，AC=nAF(m0,n0)，若1m+tn的最小值为83，则正数t的值为【答案】2【解析】7因为点O是BC的三等分点，OC=2 OB 则AO=AB+BO=AB+13BC=AB+13AC-1

23、3AB=23AB+13AC=2m3AE+n3AF，又由点E,O,F三点共线，所以AO=AE+EO=AE+EF=AE+AF-AE=1-AE+AF，所以2m3=1-n3=，可得2m3+n3=1，所以1m+tn=2m3+n31m+tn=23+t3+2mt3n+n3m23+t3+22mt3nn3m=23+t3+22t9，当且仅当2tm2=n2时，等号成立，即1m+tn的最小值为23+t3+22t9，则有23+t3+22t9=83，即t+2 2t-6=0，所以t+3 2t-2=0，因为t0，所以t=2，故答案为：2.2(2024江苏盐城高一统考期末)在ABC中，点O是BC的三等分点，OC=2 OB，过点

24、O的直线分别交直线AB，AC于点E，F，且AB=mAE，AC=nAF(m0，n0)，若1m+t2nt0的最小值为3，则正数t的值为.【答案】3-2【解析】在ABC中，点O是BC的三等分点，|OC|=2|OB|，AO=AB+BO=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=23AB+13AC，AB=mAE，AC=nAF，AO=23mAE+13nAF，O，E，F三点共线，23m+13n=1，1m+t2n=1m+t2n23m+13n=23+n3m+2mt23n+t2322t29+t23+23=t23+232t+23，当且仅当n3m=2mt23n，即2m2t2=n2时取等号，1m+t2n的最小值为t23

25、+232t+23，即t23+232t+23=3，t0，t=3-2故答案为：3-23(2024山东菏泽高一统考期末)在ABC中，点O是线段BC上的点，且满足 OC=3 OB，过点O的直线分别交直线AB,AC于点E,F，且AB=mAE，AC=nAF，其中m0且n0，若1m+2n的最小值为.8【答案】5+2 64【解析】依题意，作出图形如下，因为 OC=3 OB，AB=mAE，AC=nAF，则BO=14BC，所以AO=AB+BO=AB+14BC=AB+14AC-AB=34AB+14AC=3m4AE+n4AF，因为E,O,F三点共线，所以3m4+n4=1，因为m0，n0，所以1m+2n=1m+2n3m

26、4+n4=54+n4m+6m4n54+2n4m6m4n=54+2 64，当且仅当n4m=6m4n，即n=6m=46-2时取等号，所以1m+2n的最小值为5+2 64.故答案为：5+2 64.题型五：题型五：yx问题问题1(2024山西高一统考期末)已知在ABC中，点D满足BD=34BC，点E在线段AD(不含端点A，D)上移动，若AE=AB+AC，则=.【答案】3【解析】如图，由题意得存在实数m，使得AE=mAD 0m0)，则+1=t4+43t213=2 33(当且仅当t4=43t，即t=4 33时取等号)，所以+1的最小值为2 33.故答案为：2 333(2024黑龙江哈尔滨高三哈师大附中校考

27、期末)在ABC中，点D满足BD=34BC，当E点在线段AD(不包含端点)上移动时，若AE=AB+AC，则+3的取值范围是A.2 33,+B.2,+)C.174,+D.(2,+)【答案】C【解析】如图所示，ABC中，BD=34BC，AD=AB+BD=AB+34BC=AB+34(AC-AB)=14AB+34AC，又点E在线段AD(不含端点)上移动，设AE=kAD，0k1，AE=k4AB+3k4AC，又AE=AB+AC，=k4=3k4，+3=k4+4kk4+4k在(0，1)上单调递减，+3的取值范围为174，+，故选C题型六：题型六：x2+y2问题问题1(2024江苏泰州高一泰州中学阶段练习)在AB

28、C中，点D满足BD=34BC，当点E在射线AD(不含点A)上移动时，若AE=AB+AC，则(+1)2+2的 取值范围为10【答案】(1,+)【解析】因为点E在射线AD(不含点A)上，设AE=kAD,01，故(+1)2+2的取值范围1,+.2(2024天津高三校联考阶段练习)如图，在ABC中，BD=13BC，点E在线段AD上移动(不含端点)，若AE=AB+AC，则=，2-的最小值为.【答案】2-116【解析】因为在ABC中，BD=13BC，所以AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=23AB+13AC,即AD=23AB+13AC.因为点E在线段AD上移动(不含端点)，所以设A

29、E=xAD(0 x1).所以AE=2x3AB+x3AC，对比AE=AB+AC 可得=2x3,=x3.代入=2x3,=x3，得=2x3x3=2；代入=2x3,=x3可得2-=2x32-x3=4x29-x3(0 x1)，根据二次函数性质知当x=-13249=38时，2-min=49382-1338=-116.故答案为：2;-1163(2024全国高三专题练习)在ABC中，点D满足BD=DC，当E点在线段AD上移动时，若AE=AB+AC，则t=(-1)2+2的最小值为.11【答案】12【解析】BD=DC；D为边BC的中点，如图，则：AD=12(AB+AC)；E在线段AD上；设AE=kAD=k2AB+

30、k2AC，0k1；又AE=AB+AC；=k2=k2；即=，且012；t=(-1)2+2=2-2+1+2=2-122+12；=12时，t取最小值12故答案为：124(2024山东德州高三统考期末)在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，且满足AN=AB+AC，则2+2的最小值为.【答案】18/0.125【解析】由M为边BC上任意一点，则BM=BC,01，AN=12AM=12AB+BM=12AB+BC=12AB+2AC-AB=1-2AB+2AC，可得=1-2=2，则+=12，即=12-，由01，可得0212，则 0,12，故2+2=12-2+2=22-+14=2-142+18，当=14时

31、，2+2取得最小值为18.故答案为：18.【过关测试】【过关测试】一、单选题一、单选题1(2024高三课时练习)在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，AN=AB+AC，则+的值为()A.12B.13C.14D.1【答案】A【解析】由题可设BM=tBC，12则AM=AB+BM=AB+tBC=AB+t AC-AB=1-tAB+tAC，N为AM中点，AN=12AM=121-tAB+12tAC,又AN=AB+AC，=121-t,=12t，+=12.故选：A.2(2024安徽六安高一六安一中校考期末)如图所示，在ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数和，使得BM=AB

32、+AC，则+=()A.-1B.-12C.-2D.-32【答案】B【解析】如图所示，因为点D在线段BC上，所以存在tR，使得BD=tBC=t AC-AB，因为M是线段AD的中点，所以：BM=12BA+BD=12-AB+tAC-tAB=-12t+1AB+12tAC，又BM=AB+AC，所以=-12t+1，=12t，所以+=-12.故选：B.3(2024重庆高三重庆南开中学校考阶段练习)已知点O为ABC所在平面内一点，满足OA+OB+OC=0，M为AB中点，点P在AOC内(不含边界)，若BP=xBM+yBC，则x+y的取值范围是()A.1,2B.23,2C.12,1D.13,32【答案】A【解析】如

33、图：13OA+OB+OC=0，点O是ABC的重心，点N是BC的中点，BO=BC+CO=BC+23CM=BC+23BM-BC=13BC+23BM，BN=12BC，BA=2BM 当点P在AOC内(不含边界)，BP=BO+OP=BO+OQ=BO+OA+AQ，01=BO+23NA+AC=BO+23BA-BN+BC-BA，01=BO+232BM-12BC+BC-2BM=13BC+23BM+43BM-13BC+BC-2BM=13-13+BC+23+43-2BM x+y=13-13+23+43-2=1+-=1+1-，01，01，01-1，0 1-1，11+1-0且n0，若1m+tn的最小值为3，则正数t的值

34、为()A.2B.3C.83D.113【答案】B【解析】AO=AB+BO=AB+14BC=AB+14AC-AB=34AB+14AC=3m4AE+n4AF，E、O、F三点共线，3m4+n4=1，14m0，n0，t0，1m+tn=1m+tn3m4+n4=34+n4m+3mt4n+t43+t4+2n4m3mt4n=3+t4+2 3t4，当且仅当n4m=3mt4n时取等号，3+t4+2 3t4=3t+3 3t-3=0t=3 t=3故选：B5(2024江西南昌高三阶段练习)在ABC中，点O是BC的三等分点(靠近点B)，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同两点M，N，若AB=mAM,AC=nAN，m,n均

35、为正数，则1m+1n的最小值为()A.2B.1+23C.1+2 23D.1+2 33【答案】C【解析】由题意知AO=AB+13BC=AB+13AC-AB=23AB+13AC=2m3AM+n3AN，由于M、O、N三点共线，可知2m3+n3=1，由于m,n均为正数，所以1m+1n=1m+1n2m3+n3=1+n3m+2m3n1+229=1+2 23，当且仅当n3m=2m3n，即m=3(2-2)2,n=3(2-1)时取得等号，故选：C二、多选题二、多选题6(2024江苏南京高一南京市宁海中学校联考期末)在ABC中，点D是线段BC上任意一点，点M是线段AD的中点，若存在,R使BM=AB+AC，则,的取

36、值可能是()A.=-35,=110B.=1,=-32C.=-910,=25D.=-710,=35【答案】AC【解析】令BD=mBC 且m0,1，而BM=12(BA+BD)=12(BA+mBC)，又BC=BA+AC，则BM=12BA+m(BA+AC)=-1+m2AB+m2AC，15所以=-1+m2=m2，则-1,-12，0,12且+=-12，故A、C满足，B、D不满足.故选：AC7(2024浙江宁波高一宁波市北仑中学校考期末)已知O是ABC内一点，且OA+OB+OC=0，点M在OBC内(不含边界)，若AM=AB+AC，则+2的值可能为()A.97B.117C.137D.157【答案】ABC【解析

37、】因为O是ABC内一点，且OA+OB+OC=0 所以O为ABC的重心M在OBC内(不含边界)，且当M与O重合时，+2最小，此时AM=AB+AC=2312AB+AC=13AB+13AC 所以=13,=13，即+2=1当M与C重合时，+2最大，此时AM=AC 所以=0,=1，即+2=2因为M在OBC内且不含边界所以取开区间，即+2 1,2，结合选项可知ABC符合，D不符合故选：ABC8(2024重庆高一校联考阶段练习)在ABC中，点D满足BD=DC，当点E在线段AD上(不含A点)移动时，记AE=AB+AC，则()A.=2B.=C.14+的最小值为1D.4+的最小值为4【答案】BC【解析】BD=DC

38、，D是BC中点,则AD=12AB+AC,又点E在线段AD上,即A,E,D三点共线,设AE=mAD 0m1,故AE=mAD=12m AB+AC,=12m.故B对A错.14+=14+214=1,当且仅当14=时,即=12,故C对.4+=4+在 0,12上单调递减，当=12取最小值172，故D错.故答案为：BC9(2024湖北武汉高三校联考期末)在ABC中，点D满足BD=DC，当点E在线段AD上移动时，记AE=AB+AC，则()A.=2B.=C.-22+2的最小值为2D.-22+2的最小值为5216【答案】BD【解析】由BD=DC 得AD=12AB+AC，又点E在线段AD上移动，AE=kAD=12k

39、 AB+AC=12kAB+12kAC,0k1，=12k,=12k，故A错误，B正确；-22+2=12k-22+12k2=12k2-2k+4=12k-22+2，当k=1时，有最小值52，故C错误，D正确.故选：BD.三、填空题三、填空题10(2024全国高三专题练习)如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若AP=xAB+yAC，则2x+2y的最大值为【答案】83【解析】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设AP=AE+AF，则+=1，等边三角形边长为2，则外接圆半径为2 33，当点P为切点时,AE=AF=83，BCEF，设AEAB=AF

40、AC=k，则k 0,43，当点P为切点时,k有最大值43,AE=kAB，AF=kAC，AP=AE+AF=kAB+kAC x=k，y=k，2x+2y=2+k=2k83.17即2x+2y的最大值为83.故答案为：8311(2024福建三明高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB中，AOB=3，C为弧AB上的一个动点，若OC=xOA+yOB，则x+4y的取值范围是.【答案】1,4【解析】如图所示，以O为原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则根据题意可知B(1,0)，A12，32，设C(cos,sin)，060由OC=xOA+yOB，得cos=y+12xsin=32x，x=23siny=

41、cos-sin3，x+4y=4cos-2 33sin，点C在弧AB上由BA运动，在 0，3上逐渐变大，cos变小，sin逐渐变大，当=0时x+4y取得最大值4，当=60时x+4y取得最小值1x+4y的取值范围是1，4故答案为：1,412(2024四川绵阳高一统考期末)在扇形OAB中，AOB=60，C为弧AB上的一动点，若OC=xOA+yOB，则3x+y的取值范围是【答案】1,3【解析】以O为原点，OA,OB 分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.18则OA=1,0,OB=12,32.不妨设OC=cos,sin,03.因为OC=xOA+yOB，所以cos=x+12ysin=32y，解得：x=c

42、os-33siny=2 33sin，所以3x+y=3cos-33sin.因为y=cos在 0,3上单调递减，y=-sin在 0,3上单调递减，所以3x+y=3cos-33sin在 0,3上单调递减.所以当=0时3x+y=3最大；当=3时3x+y=3cos3-33sin3=32-3332=1最小.所以3x+y的取值范围是 1,3.故答案为：1,3.13(2024全国高三专题练习)在扇形OAB中，OA=1，AOB=3，C为弧AB上的一个动点，若OC=xOA+yOB，则x+3y的取值范围是.【答案】1,3【解析】如图所示，建立平面直角坐标系以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(

43、1,0)，B12,32，设AOC=，则C(cos,sin)03，由OC=xOA+yOB 得cos=x+12y,sin=32y,从而x=cos-13sin,y=23sin,则x+3y=cos+533sin=283sin(+)，易知06，故y=f()=cos+533sin=283sin(+)在 0,3上单调递增，ymin=f(0)=1，ymax=f3=cos3+5 33sin3=12+52=3.故x+3y1,3.故答案为：1,314(2024全国高三专题练习)扇形OAB中，AOB=120，C为AB上的一个动点，且OC=xOA+19yOB，其中x,yR.(1)x+y的取值范围为；(2)2x+y的取值

44、范围为.【答案】1,21,2 213 【解析】(1)解法一：(等和线)设OC与AB相交于点D，OD=OC=xOA+yOB，x+y=1，x+y=1=OC OD 1,2.解法二：(坐标法)C(cos,sin)，0,23，cos=x-12y，sin=32y，x=cos+33sin，y=2 33sin，x+y=cos+3sin=2sin+61,2.解法三：设AOC=0,23，OC OA=xOA OA+yOB OA,OC OB=xOA OB+yOB OB,，即cos=x-12ycos(1200-)=-12x+y x+y=2cos+cos(1200-)=cos+3sin=2sin+61,2.(2)解法一：

45、(等和线)解法二：2x+y=2cos+4 33sin=2 213sin(+)1,2 213 ，其中sin(+)先增后减.15(2024吉林高一阶段练习)如图，在ABC中，D,E,F分别为BC,CA,AB上的点，且CD=35BC，EC=12AC，AF=13AB.设P为四边形AEDF内一点(P点不在边界上)，若DP=-13DC+DE，则实数的取值范围为【答案】12,43【解析】取BD中点M,过M作MHDE交DF,AC分别为G,H,如图：则由DP=-13DC+DE=DM+DE 可知,P点在线段GH上运动(不包括端点)20当P与G重合时，根据DP=tDF=-89tDC+43tDE=-13DC+DE,可

46、知=12，当P与H重合时,由P,C,E共线可知-13+=1，即=43，结合图形可知12,43.16(2024重庆万州高一万州外国语学校天子湖校区校考期末)如图，在ABC中，BD=13BC，点E在线段AD上移动(不含端点)，若AE=AB+AC，则2+1的取值范围是【答案】103,+【解析】由题可知，BD=13BC，设AE=mAD 0m1，则AE=m AB+13BC=m AB+13BA+AC，所以AE=23mAB+13mAC，而AE=AB+AC，可得：=23m,=13m，所以2+1=m3+3m0m1，设 f m=m3+3m0m f 1=13+3=103，所以2+1的取值范围是103,+.故答案为：

47、103,+.四、解答题四、解答题17(2024高一课时练习)在学习向量三点共线定理时，我们知道当P、A、B三点共线，O为直线外一点，且OP=xOA+yOB 时，x+y=1(如图1)，小明同学提出了如下两个问题，请同学们帮助小明解答(1)当x+y1或x+y1，则O，P在直线AB异侧；若x+y1时，则OB=t-1OB 与OB 同向，且QP=OB，由平面共线定理可得，O，P在直线AB异侧；当t1时，OB=t-1OB 与OB 反向，如下图所示，且QP=OB，由平面共线定理可得，O，P在直线AB同侧(2)射线OMAB，点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内(不含边界)运动如图所示，阴影部分

48、为点P的运动区域(不含边界)，22由(1)可知，O，P在直线AB同侧，由于OP=xOA+yOB，则x+y0，OF 与OB 方向相反，则OF=nOB，且n0,y=n0，即实数x的取值范围是(0,+)，当x=12时，此时E为OA中点，过E作直线平行与OB交AB于M，交射线OM于M，则点P运动轨迹为线段EM(不含端点E,M)，如下图：当点P运动到E时，OP=OE=12OA+0OB，此时y=0；当点P运动到M时，OP=OE+EM=12OA+ME=12OA+12BO=12OA-12OB，此时y=-12；且由平面向量加法的平行四边形法则得y-12,0.18(2024高一课时练习)如图，OMAB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP=xOA+yOB(1)求x的取值范围；(2)当x=-12时，求y的取值范围【解析】(1)如图，作PEBA交OB于E，则OP=OE+EP=mOB+nAB=-nOA+(m+n)OB 由P点的位置容易知道0m0因此，x=-n1或x+y1，则O、P异侧，若x+y1时，tOB 与OB 同向，由平面向量加法的平行四边形法则可知，O、P异侧；当t0，即实数x的取值范围是 0,+，当x=12时，由平面向量加法的平行四边形法则可知，y-12,0；(3)：y0；：x0y0；：x0；：y0 x+y0；：x0y0 x+y0