教师用卷2025年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷含答案.pdf

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1、数学试题第 1 页（共 4 页）数学试题第 2 页（共 4 页）绝密启用前 2025 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知()cfbeadfedcba+=，现有复数()=20212023

2、2025642iiiiiiz（其中i为虚数单位），集合=036xxxA，集合=036yyyB，BAt=，则=zz t A.6 B.6 C.i 6 D.i 6 2.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为4，圆心角为2的扇形，设圆锥的表面积为表S，体积为V，则=VS表 A.32 B.63 C.15 D.1515 3.已知32492=ba，则直线022=+abaybx过定点 A.()11，B.()10，C.2121，D.021，4.已知过点()00yx，且与曲线)(xfy=过此点的切线垂直的直线叫做曲线)(xfy=在点()00yx，处的法线。设曲线()02=aeyax在点()10，处的法线与直线012=+

3、yx垂直，则=a A.0 B.1 C.2 D.4 5.已知zyx、均为正实数，且满足xyzzyx+=+432，则zyx+2的最小值为 A.13+B.13 C.232+D.232 6.已知npmqqpnm=，在空间直角坐标系中，若()111，=a，()222，=b，则=221122112211，ba，212121+=ba，已知()321，=，()312，=，设与反向的单位向量为，则与的夹角为，则=A.B.2 C.3 D.4 7.方程1354321=+xxxxx的非负整数解有 A.2002 组 B.1001 组 C.495 组 D.99 组 8.已知1.0=a，1110ln=b，9.0=ec，则c

4、ba，三个数由小到大的排序正确的是 A.cba B.cab C.acb D.bca 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9.历史上的法国数学家罗尔是牛顿的微积分的激烈反对者。1691 年罗尔在任意次方程的一个解法的证明一文中证明了，多项式方程的两个实根之间，另外一个比原多项式方程低一次的一个多项式方程至少有一个根。罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一。罗尔中值定理的具体表述如下：如果定义在R上的函数()xf满足以下三个条件：（1）

5、()xf在闭区间ba，上连续；（2）()xf在开区间()ba，可导；（3）()()bfaf=，结论是至少存在一个()ba，使得()0=f。设()xfn代表函数()xf的n阶导数，特殊的()xf 为函数()xf的一阶导数，()xf 为函数()xf的二阶导数。若函数()xf在区间10，上连续且有n阶导数，且()01=f，函数()()xfxxF3=，则 A.若()()()()432=xxxxxf，则方程()0=xf至少有 4 个实数根 B.至少存在一点()10，使得()0=F C.至少存在一点()10，使得()03=F D.若()00=f，则至少存在一点()10，使得()()sincosff=成立

6、10.已知正割函数()sec和余弦函数()cos的关系为=2cos1sec。若1F，2F是椭圆：1C)0(12222nmnymx=+和双曲线：2C)00(12222，qpqypx=的公共焦点，点K为1C和2C的一个公共点，221KFF，1C的离心率为1e，2C的离心率为2e，则 A.()212212122secKFFeeee=B.12cos2sin2221221212=+eKFFeKFF C.若3221=KFF，则()+，121ee D.若3221=KFF，则()1021，ee 11.已知在ABC中，角CBA、所对的边分别为cba、，则 A.若ABC为锐角三角形，且()2sinsin2sin=

7、+CACB，则CA B.若ABC为锐角三角形，1tantantantantantan=+CBACBA C.若BCAtan1tan2tan1，成等差数列，则Ccos的最小值为31 D.若锐角三角形ABC的面积为332，ABAsin2tan1tan2=+，则c的最小值为4 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12.已知数列 na和 nb均为等差数列，nS为数列 na的前n项和，nT为数列 nb的前n项和，若3452+=nnTSnn，则=88ba 。#QQABTQYUoggAAoBAAQhCEwVQCkGQkACACQgOxEAMMAABQAFABAA=#QQABRQcx4g

8、AQgtTACA5KEwVACkqQsIIgLUgMxUAEKAxDQBFIBIA=#数学试题第 3 页（共 4 页）数学试题第 4 页（共 4 页）13.金字塔是埃及最重要的历史古迹和最知名的旅游景点，它充满了谜团，从古至今都吸引着世界各地的旅行者前往观看。考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为1428572285714，1428573428571，所以这一组数字又叫“走马灯数”。该组数字还有如下规律：142857999，571428999，若在 1、4、2、8、5、7 这 6 个数字中任意取出 3 个数字构成一个三位数a，则这样的数a共有 个；若 999a的结果恰好是剩

9、下的 3 个数字构成的一个三位数，则这样的数a共有 个。（第一空 2 分，第二空 3 分）14.已知三元均值不等式的内容为x1、x2、x3均为正实数，则+xxxx x x31231233，当且仅当=xxx123时取等。根据上述内容，函数=+8149312 39f xxxxxx)()(的最小值为 。四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13 分）如图，在四棱柱ABCDABC D1111中，平面ABCD为矩形，AA1平面ABCD，E，F分别在线段1A B，CD上，BEAECFDF=114。（1）证明：EF平面11AA D D；（2）若AD=2，

10、ABAA=15，求锐二面角ABFC11的余弦值。16.（15 分）在ABC中，边、abc分别是角、ABC的对边，C=6，RAAsin2sin6=+，其中R为ABC的外接圆的半径。（1）求sin Ba的值；（2）当sin B取得最大值时，求ABC的面积。17.（15 分）已知抛物线：2=Cxy的焦点为F，点1，Dt)(在抛物线C上。如图，过点D的直线l交y轴于点E，直线l与抛物线C相切，切点为D，点G为线段DE上的点。过点G的直线与抛物线C相交于异于点D的两点，AB，直线，AEBE分别与抛物线C相交于不同的两点，KT，DEKT。（1）求实数t的值及线段DF的长度；（2）求点G的坐标。18.（17

11、 分）某校为了促进学生的全面发展，举办了“运球”大赛，每班派一名代表参加比赛，比赛的场地分为、MN两个区域，通过抛掷骰子来运球，比赛刚开始时球在M区，大赛规则如下：骰子出现 1 点时，不能运球；骰子出现 6 点时，若球在M区，则球不动；若球在N区，则将球移至M区；若骰子出现 2、3、4、5 点，则把球运到另一区域。（1）若骰子连掷两次，求事件“掷第一次后球在M区而掷第二次后球在N区”发生的概率；（2）若骰子连掷三次，三次中运球的次数为，求随机变量的分布列和数学期望；（3）若骰子投掷n次，球仍在M区的概率为Pn，求Pn。19.（17 分）柯西中值定理在微积分中拥有着很重要的地位，因为许多定理和法

12、则都是建立在柯西中值定理之上的。已知柯西中值定理的内容为：设函数f x()和g x()满足：在闭区间，ab上连续，在开区间，ab()内可导，g x()0，那么存在，ab()，使得=f bf ag bg afgab()()()()()()()。已知指数函数及三角函数均为连续可导函数，设ae，且xy 02。（1）证明：(coscos)lnyxxaaxy aa；（2）先比较e15512与cos110cos111 的大小，并给出证明。#QQABTQYUoggAAoBAAQhCEwVQCkGQkACACQgOxEAMMAABQAFABAA=#QQABRQcx4gAQgtTACA5KEwVACkqQsII

13、gLUgMxUAEKAxDQBFIBIA=#数学试题第1页（共 4 页）绝密启用前 2025 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知()cfbeadfedcba+=，现有复数()=2021

14、20232025642iiiiiiz（其中i为虚数单位），集合=036xxxA，集合=036yyyB，BAt=，则=zz t A.6 B.6 C.i 6 D.i 6 2.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为4，圆心角为2的扇形，设圆锥的表面积为表S，体积为V，则=VS表 A.32 B.63 C.15 D.1515 3.已知32492=ba，则直线022=+abaybx过定点 A.()11，B.()10，C.2121，D.021，4.已知过点()00yx，且与曲线)(xfy=过此点的切线垂直的直线叫做曲线)(xfy=在点()00yx，处的法线。设曲线()02=aeyax在点()10，处的法线与直线0

15、12=+yx垂直，则=a A.0 B.1 C.2 D.4 5.已知zyx、均为正实数，且满足xyzzyx+=+432，则zyx+2的最小值为 A.13+B.13 C.232+D.232 6.已知npmqqpnm=，在空间直角坐标系中，若()111，=a，()222，=b，则#QQABTQYUoggAAoBAAQhCEwVQCkGQkACACQgOxEAMMAABQAFABAA=#QQABRQcx4gAQgtTACA5KEwVACkqQsIIgLUgMxUAEKAxDQBFIBIA=#数学试题第2页（共 4 页）=221122112211，ba，212121+=ba，已知()321，=，()31

16、2，=，设与反向的单位向量为，则与的夹角为，则=A.B.2 C.3 D.4 7.方程1354321=+xxxxx的非负整数解有 A.2002 组 B.1001 组 C.495 组 D.99 组 8.已知1.0=a，1110ln=b，9.0=ec，则cba，三个数由小到大的排序正确的是 A.cba B.cab C.acb D.bca 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9.历史上的法国数学家罗尔是牛顿的微积分的激烈反对者。1691 年罗尔在 任意次方程的一个解法的证明一

17、文中证明了，多项式方程的两个实根之间，另外一个比原多项式方程低一次的一个多项式方程至少有一个根。罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一。罗尔中值定理的具体表述如下：如果定义在R上的函数()xf满足以下三个条件：（1）()xf在闭区间ba，上连续；（2）()xf在开区间()ba，可导；（3）()()bfaf=，结论是至少存在一个()ba，使得()0=f。设()xfn代表函数()xf的n阶导数，特殊的()xf 为函数()xf的一阶导数，()xf 为函数()xf的二阶导数。若函数()xf在区间10，上连续且有n阶导数，且()01=f，函数()()xfxxF3=，则

18、 A.若()()()()432=xxxxxf，则方程()0=xf至少有 4 个实数根 B.至少存在一点()10，使得()0=F C.至少存在一点()10，使得()03=F D.若()00=f，则至少存在一点()10，使得()()sincosff=成立 10.已知正割函数()sec和余弦函数()cos的关系为=2cos1sec。若1F，2F是椭圆：1C)0(12222nmnymx=+和双曲线：2C)00(12222，qpqypx=的公共焦点，点K为1C和2C的一个公共点，221KFF，1C的离心率为1e，2C的离心率为2e，则 A.()212212122secKFFeeee=B.12cos2si

19、n2221221212=+eKFFeKFF C.若3221=KFF，则()+，121ee D.若3221=KFF，则()1021，ee 11.已知在ABC中，角CBA、所对的边分别为cba、，则 A.若ABC为锐角三角形，且()2sinsin2sin=+CACB，则CA B.若ABC为锐角三角形，1tantantantantantan=+CBACBA C.若BCAtan1tan2tan1，成等差数列，则Ccos的最小值为31 D.若锐角三角形ABC的面积为332，ABAsin2tan1tan2=+，则c的最小值为4#QQABTQYUoggAAoBAAQhCEwVQCkGQkACACQgOxEA

20、MMAABQAFABAA=#QQABRQcx4gAQgtTACA5KEwVACkqQsIIgLUgMxUAEKAxDQBFIBIA=#数学试题第3页（共 4 页）三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12.已知数列 na和 nb均为等差数列，nS为数列 na的前n项和，nT为数列 nb的前n项和，若3452+=nnTSnn，则=88ba 。13.金字塔是埃及最重要的历史古迹和最知名的旅游景点，它充满了谜团，从古至今都吸引着世界各地的旅行者前往观看。考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字 142857，因为 1428572285714，1428573428571，所以这一

21、组数字又叫“走马灯数”。该组数字还有如下规律：142857999，571428999，若在 1、4、2、8、5、7 这6 个数字中任意取出 3 个数字构成一个三位数a，则这样的数a共有 个；若 999a的结果恰好是剩下的 3 个数字构成的一个三位数，则这样的数a共有 个。（第一空 2 分，第二空 3 分）14.已知三元均值不等式的内容为1x、2x、3x均为正实数，则33213213xxxxxx+，当且仅当321xxx=时取等。根据上述内容，函数()()xxxxxxf932139481+=的最小值为 。四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（1

22、3 分）如图，在四棱柱1111DCBAABCD中，平面ABCD为矩形，1AA平面ABCD，E，F分别在线段BA1，CD上，411=DFCFEABE。（1）证明：EF平面DDAA11；（2）若2=AD，51=AAAB，求锐二面角11CBFA的余弦值。16.（15 分）在ABC中，边cba、分别是角CBA、的对边，6=C，+=6sin2sinAAR，其中R为ABC的外接圆的半径。（1）求aBsin的值；（2）当Bsin取得最大值时，求ABC的面积。#QQABTQYUoggAAoBAAQhCEwVQCkGQkACACQgOxEAMMAABQAFABAA=#QQABRQcx4gAQgtTACA5KEw

23、VACkqQsIIgLUgMxUAEKAxDQBFIBIA=#数学试题第4页（共 4 页）17.（15 分）已知抛物线：2=Cxy的焦点为F，点1，Dt)(在抛物线C上。如图，过点D的直线l交y轴于点E，直线l与抛物线C相切，切点为D，点G为线段DE上的点。过点G的直线与抛物线C相交于异于点D的两点，AB，直线，AEBE分别与抛物线C相交于不同的两点，KT，DEKT。（1）求实数t的值及线段DF的长度；（2）求点G的坐标。18.（17 分）某校为了促进学生的全面发展，举办了“运球”大赛，每班派一名代表参加比赛，比赛的场地分为、MN两个区域，通过抛掷骰子来运球，比赛刚开始时球在M区，大赛规则如下

24、：骰子出现 1 点时，不能运球；骰子出现 6 点时，若球在M区，则球不动；若球在N区，则将球移至M区；若骰子出现 2、3、4、5 点，则把球运到另一区域。（1）若骰子连掷两次，求事件“掷第一次后球在M区而掷第二次后球在N区”发生的概率；（2）若骰子连掷三次，三次中运球的次数为，求随机变量的分布列和数学期望；（3）若骰子投掷n次，球仍在M区的概率为Pn，求Pn。19.（17 分）柯西中值定理在微积分中拥有着很重要的地位，因为许多定理和法则都是建立在柯西中值定理之上的。已知柯西中值定理的内容为：设函数f x()和g x()满足：在闭区间，ab上连续，在开区间，ab()内可导，g x()0，那么存在

25、，ab()，使得=f bf ag bg afgab()()()()()()()。已知指数函数及三角函数均为连续可导函数，设ae，且xy 02。（1）证明：(coscos)lnyxxaaxy aa；（2）先比较e15512与cos110cos111 的大小，并给出证明。#QQABTQYUoggAAoBAAQhCEwVQCkGQkACACQgOxEAMMAABQAFABAA=#QQABRQcx4gAQgtTACA5KEwVACkqQsIIgLUgMxUAEKAxDQBFIBIA=#1.已知()cfbeadfedcba+=，现有复数()=202120232025642iiiiiiz（其中i为虚数单位

26、），集合=036xxxA，集合=036yyyB，BAt=，则=zz t A.6 B.6 C.i 6 D.i 6【答案】【答案】A【解析】【解析】i有有 4 周期循环周期循环 12=i，14=i，126=ii，iii=12021，iii=32023，iii=12025()()=iiiiiiiiiz111202120232025642()cfbeadfedcba+=()()iiiiiiiz3111111=+=iz3=036xxxA，=036yyyB 63=xxA，63=yyyB或 6=BA BAt=6=t ()()61666336=iiiiiiiizz t#QQABTQYUoggAAoBAAQhC

27、EwVQCkGQkACACQgOxEAMMAABQAFABAA=#QQABRQcx4gAQgtTACA5KEwVACkqQsIIgLUgMxUAEKAxDQBFIBIA=#2.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为4，圆心角为2的扇形，设圆锥的表面积为表S，体积为V，则=VS表 A.32 B.63 C.15 D.1515【答案答案】C【解析】解析】设扇形半径为设扇形半径为 扇形的面积扇形的面积221RS=22214R=，解得，解得4=R 设圆锥的母线长为设圆锥的母线长为a 4=a 扇形的弧长扇形的弧长Rl=242=Rl 圆锥的底面圆的周长为圆锥的底面圆的周长为2 设圆锥的底面半径为设圆锥的底面半径为

28、r 22=r，解得，解得1=r 52=+=rarS表 设圆锥的高为设圆锥的高为h 152222=rahah，315151 31312=hSV底 153155=VS表#QQABTQYUoggAAoBAAQhCEwVQCkGQkACACQgOxEAMMAABQAFABAA=#QQABRQcx4gAQgtTACA5KEwVACkqQsIIgLUgMxUAEKAxDQBFIBIA=#3.已知32492=ba，则直线022=+abaybx过定点 A.()11，B.()10，C.2121，D.021，【答案】【答案】A【解析】解：【解析】解：32492=ba ()abbab22324=，()ababa99

29、324=abababbaba1829324324324=+()abba18182=+abba181822=+abba=+22 直线直线022=+abaybx即即()02222=+baaybx 02222=+baaybx即即()()01212=+yaxb 令令=0101yx，解得，解得=11yx 综上所述，直线综上所述，直线022=+abaybx过定点过定点()11，。#QQABTQYUoggAAoBAAQhCEwVQCkGQkACACQgOxEAMMAABQAFABAA=#QQABRQcx4gAQgtTACA5KEwVACkqQsIIgLUgMxUAEKAxDQBFIBIA=#4.已知过点()

30、00yx，且与曲线)(xfy=过此点的切线垂直的直线叫做曲线)(xfy=在点()00yx，处的法线。设曲线()02=aeyax在点()10，处的法线与直线012=+yx垂直，则=a A.0 B.1 C.2 D.4【答案答案】B【解析解析】()02=aeyax axaey22=当当0=x时，时，ay2=曲线曲线axey2=在点在点)10(，处的切线的斜率为处的切线的斜率为a2 曲线曲线axey2=在点在点)10(，处的处的法法线线与曲线与曲线axey2=在点在点)10(，处的切线处的切线垂直垂直 设法线的斜率为设法线的斜率为k 12=ak ak21=又又曲线曲线axey2=在点在点)10(，处的

31、处的法法线线与直线与直线012=+yx垂直垂直 12=k 21=k 1=a#QQABTQYUoggAAoBAAQhCEwVQCkGQkACACQgOxEAMMAABQAFABAA=#QQABRQcx4gAQgtTACA5KEwVACkqQsIIgLUgMxUAEKAxDQBFIBIA=#5.已知zyx、均为正实数，且满足xyzzyx+=+432，则zyx+2的最小值为 A.13+B.13 C.232+D.232【答案答案】D【解析解析】xyzzyx+=+432 ()()()2221311323324=+=+yzzyxx ()2213=+yzxzxyx ()()()213=+yxzyxx ()(

32、)()213=+zxyx ()()()()()()232132132222=+=+zxyxzxyxzyx 当且仅当当且仅当zxyx+=+，即即zy=时取等。时取等。#QQABTQYUoggAAoBAAQhCEwVQCkGQkACACQgOxEAMMAABQAFABAA=#QQABRQcx4gAQgtTACA5KEwVACkqQsIIgLUgMxUAEKAxDQBFIBIA=#6.已知npmqqpnm=，在空间直角坐标系中，若()111，=a，()222，=b，则=221122112211，ba，212121+=ba，已知()321，=，()312，=，设与反向的单位向量为，则与的夹角为，则=（

33、）。A.B.2 C.3 D.4【答案答案】B【解解析析】由题意得由题意得14321222=+=，与与反向的单位向量为反向的单位向量为=143142141)321(141，=121421412314114331143142，=143143143，1433143143143222=+=，222312+=14=，0314311432143)(=+=，0)(cos=，因为两向量所成角的取值范围是，因为两向量所成角的取值范围是)0，所以，所以2=。#QQABTQYUoggAAoBAAQhCEwVQCkGQkACACQgOxEAMMAABQAFABAA=#QQABRQcx4gAQgtTACA5KEwVAC

34、kqQsIIgLUgMxUAEKAxDQBFIBIA=#7.方程1354321=+xxxxx的非负整数解有 A.2002 组 B.1001 组 C.495 组 D.99 组【答案】【答案】B【解析】方程【解析】方程1354321=+xxxxx的的非负非负整数解有几组可以看成整数解有几组可以看成将将 13 个小球放入个小球放入 5 个盒个盒子中，一共有多少种放法。子中，一共有多少种放法。13 个小球之间一共有个小球之间一共有 14 个空（包括开头和结尾），即在这个空（包括开头和结尾），即在这 14 个空中放入个空中放入 4 个隔个隔板，共有板，共有100124240241234111213144

35、14=C种方法。种方法。所以所以方程方程1354321=+xxxxx的正整数解的正整数解有有 1001 组。组。变式：方程变式：方程1354321=+xxxxx的的正正整数解有整数解有 组。组。【答案】【答案】495【解析】方程【解析】方程1354321=+xxxxx的正整数解有几组可以看成的正整数解有几组可以看成将将 13 个小球放入个小球放入 5 个盒子个盒子中，一共有多少种放法。中，一共有多少种放法。13 个小球之间一共有个小球之间一共有 12 个空（不包括开头和结尾），即在这个空（不包括开头和结尾），即在这 12 个空中放入个空中放入 4 个隔个隔板，共有板，共有49524118801

36、2349101112412=C种方法。种方法。所以所以方程方程1354321=+xxxxx的正整数解的正整数解有有 495 组。组。#QQABTQYUoggAAoBAAQhCEwVQCkGQkACACQgOxEAMMAABQAFABAA=#QQABRQcx4gAQgtTACA5KEwVACkqQsIIgLUgMxUAEKAxDQBFIBIA=#8.已知1.0=a，1110ln=b，9.0=ec，则cba，三个数由小到大的排序正确的是 A.cba B.cab C.acb D.bca【答案答案】B【解解析析】1.0=a，1110ln=b，9.0=ec 可换为可换为101=a，+=1011ln101

37、1ln1110ln1110ln1b 11011099.0=eeec。对于对于ba，：构造构造)1)(1ln()(+=xxxxf，xxxxf+=+=1111)(，令令0)(=xf，解得，解得0=x。当当01x时，时，0)(xf；当；当0 x时，时，0)(xf；当；当0=x时，时，0)(=xf。)(xf在在)01(，上单调递上单调递减减，在，在)0(+，上单调递上单调递增增。0)0()(=fxf，当当101=x时，时，0)101(f，+1011ln101，ba，即，即ab，排除，排除 A、D。对于对于ca，：构造构造)()(1Rxxexgx=，1)(1=xexg，令，令0)(=xg，解得，解得1=

38、x。当当1x时，时，0)(xg；当；当1x时，时，0)(xg；当；当1=x时，时，0)(=xg。)(xg在在)1(，上单调递减，在上单调递减，在)1(+，上单调递增。上单调递增。0)1()(=gxg，当当101=x时，时，0)101(g，1011101e，ac，即，即ca，排除，排除 C。cab。#QQABTQYUoggAAoBAAQhCEwVQCkGQkACACQgOxEAMMAABQAFABAA=#QQABRQcx4gAQgtTACA5KEwVACkqQsIIgLUgMxUAEKAxDQBFIBIA=#9.历史上的法国数学家罗尔是牛顿的微积分的激烈反对者。1691 年罗尔在 任意次方程的一

39、个解法的证明一文中证明了，多项式方程的两个实根之间，另外一个比原多项式方程低一次的一个多项式方程至少有一个根。罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一。罗尔中值定理的具体表述如下：如果定义在R上的函数()xf满足以下三个条件：（1）()xf在闭区间ba，上连续；（2）()xf在开区间()ba，可导；（3）()()bfaf=，结论是至少存在一个()ba，使得()0=f。设()xfn代表函数()xf的n阶导数，特殊的()xf 为函数()xf的一阶导数，()xf 为函数()xf的二阶导数。若函数()xf在区间10，上连续且有n阶导数，且()01=f，函数()()xf

40、xxF3=，则 A.若()()()()432=xxxxxf，则方程()0=xf至少有 4 个实数根 B.至少存在一点()10，使得()0=F C.至少存在一点()10，使得()03=F D.若()00=f，则至少存在一点()10，使得()()sincosff=成立【答案答案】BCD【解析解析】A 选项选项：方程方程0)4)(3)(2()(=xxxxxf的根为的根为 0，2，3，4 有有)3()2()0(fff=0)4(=f 至少存在至少存在)43()32()20(321，使得使得，0)(0)(21=ff0)(3=f 方程方程0)(=xf至少有至少有321，这这 3 个实数根个实数根 A 选项错

41、误选项错误；B 选项选项：0)1()0(=FF且且)(xF在在 10，上连续，在上连续，在)10(，可导可导)10(，使得，使得0)(=F)()(3)(32xfxxfxxF+=，0)()0(=FF)(xF在在0，上连续，在上连续，在)0(，可导可导)0(，使得，使得0)(=F)10(，)10(，B 选项选项正确正确；C 选项：选项：)()(6)(6)(32xfxxfxxxfxF+=，0)()0(=FF)(xF在在0，上连续，在上连续，在)0(，可导可导)0(，使得，使得0)(3=F)10(，)10(，C 选项选项正确正确；D 选项：选项：构造构造xxfxgcos)()(=，由题意，由题意0)1

42、()0(=gg，且，且)(xg在在 10，上连续，在上连续，在)10(，#QQABTQYUoggAAoBAAQhCEwVQCkGQkACACQgOxEAMMAABQAFABAA=#QQABRQcx4gAQgtTACA5KEwVACkqQsIIgLUgMxUAEKAxDQBFIBIA=#可导可导)10(，使得，使得0)(=g 又又)sin)(cos)()(xxfxxfxg+=xxfxxfsin)(cos)(=0sin)(cos)()(=ffg cos)(fsin)(f=D 选项选项正确正确；本题答案选本题答案选 BCD。#QQABTQYUoggAAoBAAQhCEwVQCkGQkACACQgOx

43、EAMMAABQAFABAA=#QQABRQcx4gAQgtTACA5KEwVACkqQsIIgLUgMxUAEKAxDQBFIBIA=#10.已知正割函数()sec和余弦函数()cos的关系为=2cos1sec。若1F，2F是椭圆：1C)0(12222nmnymx=+和双曲线：2C)00(12222，qpqypx=的公共焦点，点K为1C和2C的一个公共点，221KFF，1C的离心率为1e，2C的离心率为2e，则 A.()212212122secKFFeeee=B.12cos2sin2221221212=+eKFFeKFF C.若3221=KFF，则()+，121ee D.若3221=KFF，

44、则()1021，ee【答案】【答案】ABC【解析】解：由题意设【解析】解：由题意设=1KF，=2KF，根据双曲线的对称性，假设点根据双曲线的对称性，假设点K在双曲线在双曲线2C的右支上的右支上 根据根据椭圆的定义有椭圆的定义有mKFKF221=+=+根据双曲线的定义有根据双曲线的定义有pKFKF221=解得解得pmKF+=1，pmKF=2 1F，2F是椭圆是椭圆1C和双曲线和双曲线2C的的公共焦点公共焦点 22222qpnmc+=在在21FKF中，由余弦定理得中，由余弦定理得212212221212cosKFKFFFKFKFKFF+=()()()()()pmpmcpmpmKFF+=22cos2

45、2221()22222222422pmcpmpmpmpm+=()222222422pmcpm+=22222212cospmcpmKFF+=2222122122coscoscpmKFFpKFFm+=()()221221221cos1coscKFFpKFFm=+等式左右两边同时除以等式左右两边同时除以)0(2cc()()21cos1cos21222122=+KFFcpKFFcm()()21cos11cos121222121=+KFFeKFFe 由式得由式得()()22212121212221cos1coseeKFFeKFFe=+()()02cos22212221212122=+eeeeKFFee(

46、)()02cos22222121212122=+eeeeKFFee()()0cos221212122=eeKFFee()()221212122coseeKFFee=()()212212122cos1KFFeeee=#QQABTQYUoggAAoBAAQhCEwVQCkGQkACACQgOxEAMMAABQAFABAA=#QQABRQcx4gAQgtTACA5KEwVACkqQsIIgLUgMxUAEKAxDQBFIBIA=#()212212122secKFFeeee=A 选项选项正确；正确；由式得由式得2cos1cos122212121=+eKFFeKFF 22cos22sin22221221

47、212=+eKFFeKFF 12cos2sin2221221212=+eKFFeKFF B 选项正确；选项正确；设设=21KFF，由，由 B 选项可知选项可知12cos2sin222212=+ee 213cos233sin32323221=，KFF 141432221=+ee即即141432221=+ee 21222221341413eeee=+412121212221343411eeeeee=由题意知由题意知)10(1，e，()+，12e 令令()+=，1121et，且，且()10122，e()=3411341103421，ettt 22221341ttee=令令234)(tttf=，341

48、，t)(tf的开口方向向下，对称轴为的开口方向向下，对称轴为32)3(24=t)(tf在在341，上单调递减上单调递减()1011)(0)1()()34(2221，eetfftff()+，12221ee 又由题意知又由题意知)10(1，e，()+，12e()+，121ee C 选项正确，选项正确，D 选项错误；选项错误；本题选择本题选择 ABC。#QQABTQYUoggAAoBAAQhCEwVQCkGQkACACQgOxEAMMAABQAFABAA=#QQABRQcx4gAQgtTACA5KEwVACkqQsIIgLUgMxUAEKAxDQBFIBIA=#11.已知在ABC中，角、ABC所对的

49、边分别为、abc，则 A.若ABC为锐角三角形，且 sinC=2sin(2B+C)+sin A，则ACB.若ABC为锐角三角形，=tan Atan BtanCtan A+tan B+tanC1C.若1，2，1tan A tanC tanB成等差数列，则cosC的最小值为 13D.若锐角三角形ABC的面积为2 33，【答案答案】ABC【解析解析】A 选项选项方法方法一一+=212tan Atan Bsin A，则c的最小值为4：BCAC+=sin 2sinsin2)(+=sin 22sinsinBCCA)(+=+sin2coscos2 sinsinsinsinBCBCCCA +=sin2cosc

50、os2 sinsinsinsinBCBCCCA +=22sincoscos1 2sinsinsinsinsinBBCBCCCA)(+=22sincoscossin2sinsinsinsinsinBBCCBCCCA =22sincoscos2sinsinsinsinBBCBCCA =2sincoscossinsinsinsinBBCBCCA)(+=2sincossinsinBBCCA)(=2sincossinsinBACA)(=2sincossinsinBACA ABC为锐角三角形为锐角三角形 Bsin0，Acos0 BA2sincos0 CAsinsin0即即sinsinAC 由正弦定理得由正