平面向量痛点问题之三角形“四心”问题--2024高一数学微专题含答案.pdf

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1、1平面向量痛点问题之三角形“四心”问题 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：【知识点梳理】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直二、三角形四心与推论：二、三角形四心与推论：(1)O是ABC的重心：SBOC:SCOA:SA0B=1:1:1OA+OB+O

2、C=0(2)O是ABC的内心：SB0C:SCOA:SAOB=a:b:caOA+bOB+cOC=0(3)O是ABC的外心：SB0C:SCOA:SAOB=sin2A:sin2B:sin2Csin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0(4)O是ABC的垂心：SB0C:SCOA:SAOB=tanA:tanB:tanCtanAOA+tanBOB+tanCOC=0【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB+AC AC 所在的直线上.AB PC+BC PC+CA PB=0 P为ABC的内心.(2)外心：PA=PB=PC P为ABC的外心.(3)垂心：PA PB=PB

3、PC=PC PA P为ABC的垂心.(4)重心：PA+PB+PC=0 P为ABC的重心.【典型例题】题型一：重心定理【典型例题】题型一：重心定理1(2024重庆北碚高一西南大学附中校考阶段练习)如图所示，已知点G是ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点(点N与点C不重合)，设AM=xAB,AN=yAC，则1x+1y的平面向量痛点问题之三角形“四心”问题-2024高一数学微专题含答案2值为()A.3B.4C.5D.62(2024全国高一随堂练习)已知ABC中，点G为ABC所在平面内一点，则“AB+AC-3AG=0”是“点G为ABC重心”的()A.充分不必要条件B.必要不充分

4、条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3(2024全国高一专题练习)已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足OP=OA+AB AB sinB+AC AC sinC0，则P点轨迹一定通过三角形ABC的()A.内心B.外心C.垂心D.重心题型二：内心定理题型二：内心定理1(2024全国高一专题练习)在ABC中，cosBAC=13，若O为内心，且满足AO=xAB+yAC，则x+y的最大值为2(2024江苏南通高一如皋市第一中学期末)已知点P为ABC的内心，BAC=23,AB=1,AC=2，若AP=AB+AC，则+=3(2024广西柳州高一统考期末)设O为ABC的内心，AB=AC=5，BC=

5、8，AO=mAB+nBC m,nR，则m+n=题型三：外心定理题型三：外心定理1(2024吉林长春高一东北师大附中校考阶段练习)已知点O是ABC的外心，AB=4，AC=2，BAC为钝角，M是边BC的中点，则AM AO=2(2024安徽六安高一六安市裕安区新安中学校考期末)已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+OB 2+CA CA cosA+CB CB cosB，R，则P的轨迹一定经过ABC的(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写)3(2024四川遂宁高一射洪中学校考阶段练习)已知ABC中，A=60，AB=6，AC=4，O为ABC的外心，

6、若AO=AB+AC，则+的值为()A.1B.2C.1118D.12题型四：垂心定理题型四：垂心定理1(2024江苏泰州高一统考期末)已知ABC的垂心为点D，面积为15，且ABC=45，则BD BC=；若BD=12BA+13BC，则 BD=.32(2024湖北黄冈高一校联考期末)若O为ABC的垂心，2OA+3OB+5OC=0，则SAOBSAOC=，cosBOC=3(2024山西高一校联考阶段练习)已知H为ABC的垂心(三角形的三条高线的交点)，若AH=13AB+25AC，则sinBAC=.【过关测试】【过关测试】一、单选题一、单选题1(2024全国高一专题练习)在直角三角形ABC中，A=90，A

7、BC的重心、外心、垂心、内心分别为G1，G2，G3，G4，若AGi=iAB+iAC(其中i=1,2,3,4)，当i+i取最大值时，i=()A.1B.2C.3D.42(2024黑龙江牡丹江高一牡丹江一中校考阶段练习)若O是ABC所在平面上一定点，H，N，Q在ABC所在平面内，动点P满足OP=OA+AB AB+AC AC，0,+，则直线AP一定经过ABC的心，点H满足 HA=HB=HC，则H是ABC的心，点N满足NA+NB+NC=0，则N是ABC的心，点Q满足QA QB=QB QC=QC QA，则Q是ABC的心，下列选项正确的是()A.外心，内心，重心，垂心B.内心，外心，重心，垂心C.内心，外心

8、，垂心，重心D.外心，重心，垂心，内心二、多选题二、多选题3(2024河南郑州高一校联考期末)点O为ABC所在平面内一点，则()A.若OA+OB+OC=0，则点O为ABC的重心B.若OA AC AC-AB AB=OB BC BC-BA BA=0，则点O为ABC的垂心C.若 OA+OB AB=OB+OC BC=0则点O为ABC的垂心D.在ABC中，设AC2-AB2=2AO BC，那么动点O的轨迹必通过ABC的外心4(2024内蒙古呼和浩特高一呼市二中校考阶段练习)设点M是ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()A.若AM=12AB+12AC，则点M是边BC的中点B.若AM=2AB-AC，则点

9、M是边BC的三等分点C.若AM=-BM-CM，则点M是边ABC的重心D.若AM=xAB+yAC，且x+y=13，则MBC的面积是ABC面积的235(2024山东枣庄高一校考阶段练习)数学家欧拉在1765年发表的 三角形的几何学 一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O、G、H分别是ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则()A.OH=OA+OB+OC B.SABG=SBCG=SACG4C.AH=3OM D.AB+AC=4OM+2HM 6(2024安徽池州高一统考期末

10、)已知ABC的重心为O，边AB,BC,CA的中点分别为D,E,F，则下列说法正确的是()A.OA+OB=2OD B.若ABC为正三角形，则OA OB+OB OC+OC OA=0C.若AO AB-AC=0，则OABCD.OD+OE+OF=0 7(2024广东广州高一校考期末)下列命题正确的是()A.若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB=CD，则AB=CD B.在ABC中，若O点满足OA+OB+OC=0，则O点是ABC的重心C.若a=(1,1)，把a右平移2个单位，得到的向量的坐标为(3,1)D.在ABC中，若CP=CA|CA|+CB|CB|，则P点的轨迹经过ABC的内心8(2024新疆高一

11、兵团第三师第一中学校考阶段练习)点O在ABC所在的平面内，则下列结论正确的是()A.若OA OB=OB OC=OC OA，则点O为ABC的垂心B.若OA+OB+OC=0，则点O为ABC 的外心C.若2OA+OB+3OC=0，则SAOB:SBOC:SAOC=3:2:1D.若AO AB AB=AO AC AC 且CO CA CA=CO CB CB，则点O是ABC的内心三、填空题三、填空题9(2024甘肃武威高一校联考期末)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若O为ABC的重心，OBOC,3b=4c，则cosA=.10(2024全国高一专题练习)点O是平面上一定点，A、B、C是平面上AB

12、C的三个顶点，B、C分别是边AC、AB的对角，以下命题正确的是(把你认为正确的序号全部写上)动点P满足OP=OA+PB+PC，则ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；动点P满足OP=OA+AB|AB|+AC|AC|(0)，则ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；动点P满足OP=OA+AB|AB|sinB+AC|AC|sinC(0)，则ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；动点P满足OP=OA+AB|AB|cosB+AC|AC|cosC(0)，则ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中；动点P满足OP=OB+OC 2+AB|AB|cosB+AC|AC|cosC(0)，则ABC的外心一定在满足

13、条件的P点集合中11(2024辽宁高一校联考期末)某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将5锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点).如图，已知锐角ABC外接圆的半径为2，且三条圆弧沿ABC三边翻折后交于点P.若AB=3，则sinPAC=；若AC:AB:BC=6:5:4，则PA+PB+PC的值为.12(2024宁夏银川高一银川唐徕回民中学校考期末)已知P为ABC所在平面内一点，有下列结论：若P为ABC的内心，则存在实数使AP=AB|AB|+AC|AC|；若PA+P

14、B+PC=0，则P为ABC的外心；若 PA=PB=PC，则P为ABC的内心；若AP=13AB+23AC，则ABC与ABP的面积比为2:3其中正确的结论是(写出所有正确结论的序号)13(2024广西河池高一校联考阶段练习)在ABC中，已知AB=5，AC=3，A=23，I为ABC的内心，CI的延长线交AB于点D，则ABC的外接圆的面积为，CD=.14(2024四川遂宁高一遂宁中学校考阶段练习)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OB+OC 2+AB AB cosB+AC AC cosC，0,+，则动点P的轨迹一定通过ABC的(填序号)内心垂心 重心外心15(2

15、024高一课时练习)已知O为ABC的内心，BAC=3，且满足AO=xAB+yAC，则x+y的最大值为16(2024高一课时练习)已知A，B，C是平面内不共线的三点，O为ABC所在平面内一点，D是AB的中点，动点P满足OP=132-2OD+1+2OC R，则点P的轨迹一定过ABC的(填“内心”“外心”“垂心”或“重心”).17(2024高一课时练习)已知点O是ABC的内心，若AO=37AB+17AC，则cosBAC=.18(2024四川成都高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考阶段练习)已知点O是ABC的外心，AB=6，BC=8，B=23，若BO=xBA+yBC，则3x+4y=19(2024湖北

16、武汉高一期末)ABC中，AB=2，BC=2 6，AC=4，点O为ABC的外心，若AO=mAB+nAC，则实数m=620(2024湖北高一校联考阶段练习)在ABC中，已知AB=2,AC=5,BAC=60，P是ABC的外心，则APB的余弦值为.21(2024四川达州高一达州中学校考阶段练习)设O为ABC的外心a，b，c分别为角A，B，C的对边，若b=3，c=5，则OA BC=22(2024广东汕头高一金山中学校考期末)已知O为ABC的外心，若 AO BC=4BO AC，则cosA最小值.23(2024重庆渝中高一重庆巴蜀中学校考期末)某同学在查阅资料时，发现一个结论：已知O是ABC内的一点，且存在

17、x,y,zR，使得xOA+yOB+zOC=0，则SAOB:SAOC:SCOB=z:y:x请以此结论回答：已知在ABC中，A=4，B=3，O是ABC的外心，且AO=AB+AC,R，则+=24(2024辽宁大连高一育明高中校考期末)已知点P在ABC所在的平面内，则下列各结论正确的有若P为ABC的垂心，AB AC=2，则AP AB=2若ABC为边长为2的正三角形，则PA PB+PC 的最小值为-1若ABC为锐角三角形且外心为P，AP=xAB+yAC 且x+2y=1，则AB=BC若AP=1AB cosB+12AB+1AC cosC+12AC，则动点P的轨迹经过ABC的外心25(2024全国高一专题练习

18、)(1)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP=OA+(AB+AC)，(0,+)，则点P的轨迹一定通过ABC的(填“内心”“外心”“重心”或“垂心”)(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP=OA+AB|AB|+AC|AC|，(0,+)，则点P的轨迹一定通过ABC的(填“内心”“外心”“重心”或“垂心”)四、解答题四、解答题26(2024全国高一专题练习)已知ABC中，过重心G的直线交边AB于P，交边AC于Q，设APQ的面积为S1，ABC的面积为S2，AP=pPB，AQ=qQC.(1)求GA+GB+GC；(2)求证

19、：1p+1q=1.(3)求S1S2的取值范围.1平面向量痛点问题之三角形“四心”问题 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】【知识点梳理】一、四心的概念介绍：一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直二、三角形四心与推论：二、三角形四心与推论：(1)O是ABC的重心：SBOC

20、:SCOA:SA0B=1:1:1OA+OB+OC=0(2)O是ABC的内心：SB0C:SCOA:SAOB=a:b:caOA+bOB+cOC=0(3)O是ABC的外心：SB0C:SCOA:SAOB=sin2A:sin2B:sin2Csin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0(4)O是ABC的垂心：SB0C:SCOA:SAOB=tanA:tanB:tanCtanAOA+tanBOB+tanCOC=0【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB+AC AC 所在的直线上.AB PC+BC PC+CA PB=0 P为ABC的内心.(2)外心：PA=PB=PC P

21、为ABC的外心.(3)垂心：PA PB=PB PC=PC PA P为ABC的垂心.(4)重心：PA+PB+PC=0 P为ABC的重心.【典型例题】【典型例题】题型一：重心定理题型一：重心定理1(2024重庆北碚高一西南大学附中校考阶段练习)如图所示，已知点G是ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点(点N与点C不重合)，设AM=xAB,AN=yAC，则1x+1y的2值为()A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】设MG=MN，则AG=AM+MG=AM+MN=AM+AN-AM=1-AM+AN=x 1-AB+yAC，又因为G是ABC的重心，故AG=13AB+13AC，所以有x

22、 1-=13y=13 1x+1y=3 1-+3=3.故选：A2(2024全国高一随堂练习)已知ABC中，点G为ABC所在平面内一点，则“AB+AC-3AG=0”是“点G为ABC重心”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】依题意AB+AC-3AG=AG+GB+AG+GC-3AG=GA+GB+GC=0，则G是ABC重心，即充分性成立；若G是ABC重心时，GA+GB+GC=0，可得GA+GB+GC=AG+GB+AG+GC-3AG=AB+AC-3AG=0所以AB+AC-3AG=0，必要性成立，故选：C.3(2024全国高一专题练习)已知O是三角

23、形ABC所在平面内一定点，动点P满足OP=OA+AB AB sinB+AC AC sinC0，则P点轨迹一定通过三角形ABC的()A.内心B.外心C.垂心D.重心【答案】D【解析】记E为BC的中点，连接AE，作ADBC，如图，则 AB sinB=AC sinC=AD，AB+AC=12AE，因为OP=OA+AB AB sinB+AC AC sinC，3所以AP=OP-OA=AB AB sinB+AC AC sinC=|AD|(AB+AC)=2|AD|AE，所以点P在三角形的中线AE上，则动点P的轨迹一定经过ABC的重心.故选：D.题型二：内心定理题型二：内心定理1(2024全国高一专题练习)在A

24、BC中，cosBAC=13，若O为内心，且满足AO=xAB+yAC，则x+y的最大值为【答案】3-32【解析】延长AO交BC于D，设BC与圆O相切于点E，AC与圆O相切于点F，则OE=OF，则OEOD，设AD=AO=xAB+yAC，因为B、C、D三点共线，所以x+y=1，即x+y=1=AOAD=AOAO+ODAOAO+OE=11+OEOA=11+OFOA=11+sinA2，因为cosA=1-2sin2A2=13，0A,0A22，所以sinA2=33，所以x+y11+33=3-32故答案是：3-322(2024江苏南通高一如皋市第一中学期末)已知点P为ABC的内心，BAC=23,AB=1,AC=

25、2，若AP=AB+AC，则+=【答案】9-3 72【解析】在ABC，由余弦定理得BC=AC2+AB2-2ACABcosBAC=7,设O,Q,N分别是边AB,BC,AC上的切点，设AN=AO=x，则NC=QC=2-x,BO=BQ=1-x，所以BC=BQ+QC=1-x+2-x=7 x=3-72，由AP=AB+AC 得，AP AB=AB+AC AB，即 AO AB=AB 2+AC AB AO=-，4同理由AP AC=AB+AC AC 2AN=-+4,联立以及AN=AO=x即可解得：+=3x=33-72=9-3 72，故答案为：9-3 723(2024广西柳州高一统考期末)设O为ABC的内心，AB=A

26、C=5，BC=8，AO=mAB+nBC m,nR，则m+n=【答案】56【解析】取BC中点D，连接AD，作OEAB，垂足分别为E，AB=AC，AD为BAC的角平分线，OAD；又AB=5，BD=12BC=4，sinBAD=45，则tanBAD=43；ABC周长L=5+5+8=18，面积S=12BCAD=12852-42=12，ABC内切圆半径r=OE=2SL=2418=43，AE=rtanBAD=1，又OA=12+r2=53，AO=59AD，AD=AB+BD=AB+12BC，AO=59AD=59AB+518BC，m=59，n=518，m+n=59+518=56.故答案为：56.题型三：外心定理题

27、型三：外心定理1(2024吉林长春高一东北师大附中校考阶段练习)已知点O是ABC的外心，AB=4，AC=2，BAC为钝角，M是边BC的中点，则AM AO=【答案】5【解析】如图所示，5取AB的中点E，连接OE，因为O为ABC的外心，则OEAB，所以AB AO=|AB|AO|cos=|AB|12|AB|=1242=8，同理：AC AO=12|AC|2=1222=2，所以AM AO=12(AB+AC)AO=12AB AO+12AC AO=128+122=5.故答案为：5.2(2024安徽六安高一六安市裕安区新安中学校考期末)已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=O

28、A+OB 2+CA CA cosA+CB CB cosB，R，则P的轨迹一定经过ABC的(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写)【答案】外心【解析】如图所示：D为AB中点，连接CD，CA CA cosA+CB CB cosBBA=CA BA CA cosA+CB BA CB cosB=BA-BA=0，OP-OA+OB 2=OP-OD=DP，故DP BA=CA CA cosA+CB CB cosBBA=0，即DP BA，故P的轨迹一定经过ABC的外心.故答案为：外心3(2024四川遂宁高一射洪中学校考阶段练习)已知ABC中，A=60，AB=6，AC=4，O为ABC的外心，若AO

29、=AB+AC，则+的值为()A.1B.2C.1118D.12【答案】C【解析】由题意可知，O为ABC的外心，设外接圆半径为r，6在圆O中，过O作ODAB，OEAC，垂足分别为D，E，则D，E分别为AB，AC的中点，因为AO=AB+AC，两边乘以AB，即AO AB=AB 2+AC AB，AO,AB 的夹角为OAD，而cosOAD=ADAO=62r=3r，则r63r=36+4612，得6+2=3，同理AO=AB+AC 两边乘AC，即AO AC=AB AC+AC 2，cosOAC=2r，则r42r=6412+16，得3+4=2，联立解得=49，=16，所以+=49+16=1118故选：C题型四：垂心

30、定理题型四：垂心定理1(2024江苏泰州高一统考期末)已知ABC的垂心为点D，面积为15，且ABC=45，则BD BC=；若BD=12BA+13BC，则 BD=.【答案】3025【解析】如图，AH是ABC的BC边上的高，则AH BC=0；设AD=AH，因为ABC=45，面积为15，所以12BA BC sin45=15，即 BA BC=30 2；BD BC=BA+AD BC=BA+AH BC=BA BC+AH BC=BA BC cos45=30.由第一空可知BD BC=30，所以BD BC=12BA+13BC BC=12BA BC+13BC 2=30；所以BC 2=45，由 BA BC=30 2

31、 可得 BA=2 10，即BA 2=40；7因为BD=12BA+13BC，所以BD 2=14BA 2+19BC 2+13BA BC=14BA 2+19BC 2+10=10+5+10=25；故答案为：3025.2(2024湖北黄冈高一校联考期末)若O为ABC的垂心，2OA+3OB+5OC=0，则SAOBSAOC=，cosBOC=【答案】53-217/-1721【解析】因为2OA+3OB+5OC=0，所以2 OA+OC=-3 OB+OC，设M为AC的中点，N为BC的中点，则OA+OC=2OM，OB+OC=2ON，所以2OM=-3ON，所以MN为ABC的中位线，且OM ON=32，所以O为CD的中点

32、，所以SAOC=SAOD，又OMAD=12，ONDB=12，所以ADDB=32，所以SAODSBOD=32，所以SAOBSAOC=53，同理可得SBOCSAOC=23，所以SAOBSABC=12，SAOCSABC=310，又O为ABC的垂心，OD=OC，设OD=x，OB=y，则OC=x，OE=3y7，所以cosBOD=xy=cosCOE=3y7x，即x2=37y2，所以x2y2=37，则xy=217所以cosBOD=217，所以cosBOC=cos-BOD=-217，故答案为：53；-2173(2024山西高一校联考阶段练习)已知H为ABC的垂心(三角形的三条高线的交点)，若AH=13AB+2

33、5AC，则sinBAC=.【答案】63/1368【解析】因为AH=13AB+25AC，所以BH=BA+AH=-23AB+25AC，同理CH=CA+AH=13AB-35AC，由H为ABC的垂心，得BH AC=0，即-23AB+25AC AC=0，可知25AC 2=23AC AB cosBAC，即cosBAC=3 AC 5 AB，同理有CH AB=0，即13AB-35AC AB=0，可知13AB 2=35AC AB cosBAC，即cosBAC=5 AB 9 AC，所以cos2BAC=13，sin2BAC=1-cos2BAC=1-13=23，又BAC 0,，所以sinBAC=63故答案为：63.【

34、过关测试】【过关测试】一、单选题一、单选题1(2024全国高一专题练习)在直角三角形ABC中，A=90，ABC的重心、外心、垂心、内心分别为G1，G2，G3，G4，若AGi=iAB+iAC(其中i=1,2,3,4)，当i+i取最大值时，i=()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】直角三角形ABC中，A=90，D为BC中点，ABC的重心为G1，如图所示，AG1=23AD=2312AB+AC=13AB+13AC，则1=1=13，1+1=23；直角三角形ABC中，A=90，ABC的外心为G2，则G2为BC中点，如图所示，9AG2=12AB+AC，则2=2=12，2+2=1；直角三角形ABC中，

35、A=90，ABC的垂心为G3，则G3与A点重合，AG3=0，则3=3=0，3+3=0；直角三角形ABC中，A=90，ABC的内心为G4，则点G4是三角形内角平分线交点，直角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，设内切圆半径为r，则SABC=12bc=12a+b+cr，得r=bca+b+c，AG4=bca+b+cAB AB+bca+b+cAC AC=bca+b+cAB c+bca+b+cAC b=ba+b+cAB+ca+b+cAC，=ba+b+c,=ca+b+c，+=ba+b+c+ca+b+c=b+ca+b+c0)，则ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；动点P满足OP=OA+A

36、B|AB|sinB+AC|AC|sinC(0)，则ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；动点P满足OP=OA+AB|AB|cosB+AC|AC|cosC(0)，则ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中；动点P满足OP=OB+OC 2+AB|AB|cosB+AC|AC|cosC(0)，则ABC的外心一定在满足条件的P点集合中【答案】【解析】对于，因为动点P满足OP=OA+PB+PC，16AP=PB+PC，则点P是ABC的重心，故正确；对于，因为动点P满足OP=OA+AB|AB|+AC|AC|(0)，AP=AB|AB|+AC|AC|(0)，又AB|AB|+AC|AC|在BAC的平分线上，AP 与

37、BAC的平分线所在向量共线，所以ABC的内心在满足条件的P点集合中，正确；对于，动点P满足OP=OA+AB|AB|sinB+AC|AC|sinC(0)，AP=AB|AB|sinB+AC|AC|sinC，(0)，过点A作ADBC，垂足为D，则|AB|sinB=|AC|sinC=AD，AP=AD(AB+AC)，向量AB+AC 与BC边的中线共线，因此ABC的重心一定在满足条件的P点集合中，正确；对于，动点P满足OP=OA+AB|AB|cosB+AC|AC|cosC(0)，AP=AB|AB|cosB+AC|AC|cosC(0)，AP BC=AB|AB|cosB+AC|AC|cosCBC=(|BC|-

38、|BC|)=0，AP BC，所以ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中，正确；对于，动点P满足OP=OB+OC 2+AB|AB|cosB+AC|AC|cosC(0)，设OB+OC 2=OE，则EP=AB|AB|cosB+AC|AC|cosC，由知AB|AB|cosB+AC|AC|cosCBC=0，EP BC=0，EP BC，P点的轨迹为过E的BC的垂线，即BC的中垂线；所以ABC的外心一定在满足条件的P点集合，正确故正确的命题是故答案为：11(2024辽宁高一校联考期末)某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行

39、翻折，则三条圆弧交于该三角形17内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点).如图，已知锐角ABC外接圆的半径为2，且三条圆弧沿ABC三边翻折后交于点P.若AB=3，则sinPAC=；若AC:AB:BC=6:5:4，则PA+PB+PC的值为.【答案】74234/5.75【解析】设外接圆半径为R，则R=2，由正弦定理，可知ABsinACB=3sinACB=2R=4，即sinACB=34，由于ACB是锐角，故cosACB=74，又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即APBC,故PAC=2-ACB，所以sinPAC=cosACB=74；设CAB=,CBA=,ACB=，则PAC=2-,

40、PBA=2-,PAB=2-，由于AC:AB:BC=6:5:4，不妨假设AC=6,AB=5,BC=4，由余弦定理知cos=62+52-42265=34,cos=42+52-62245=18,cos=42+62-52246=916，设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于ECB+EBC=2,PCD+CPD=2,故EBC=CPD,则得APC=-CPD=-EBC=-ABC，所以PCsin2-=PAsin2-=ACsinAPC=ACsinABC=2R=4，同理可得PBsin2-=ABsinAPB=ABsinACB=2R=4，所以PA+PB+PC=4 cos+cos+cos=434+18+916=234,

41、故答案为：74；2341812(2024宁夏银川高一银川唐徕回民中学校考期末)已知P为ABC所在平面内一点，有下列结论：若P为ABC的内心，则存在实数使AP=AB|AB|+AC|AC|；若PA+PB+PC=0，则P为ABC的外心；若 PA=PB=PC，则P为ABC的内心；若AP=13AB+23AC，则ABC与ABP的面积比为2:3其中正确的结论是(写出所有正确结论的序号)【答案】【解析】设AB中点D，对于若P为ABC的内心，所以P在BAC的角平分线上，因为AB|AB|为AB 方向上的单位向量，AC|AC|为AC 方向上的单位向量，令AE=AB|AB|+AC|AC|，所以AE 在BAC的角平分线

42、上，即AE 与AP 共线，所以存在实数使AP=AE，即AP=AB|AB|+AC|AC|，故正确；对于，若PA+PB+PC=0，则2PD+PC=0，所以P在中线CD上且CP=2PD，即P为三角形重心，故错误；对于，PA=PB=PC，所以P为ABC的外心，故错误；若AP=13AB+23AC，则13(AB-AP)+23(AC-AP)=0，即PB+2PC=0，所以P为BC上靠近C的三等分点，所以BP=2PC，故ABC与ABP的面积比为3:2，故错误故答案为：13(2024广西河池高一校联考阶段练习)在ABC中，已知AB=5，AC=3，A=23，I为ABC的内心，CI的延长线交AB于点D，则ABC的外接

43、圆的面积为，CD=.【答案】493/493；3 72/327.【解析】由余弦定理得BC2=25+9-253-12=49，BC=7.19设三角形的外接圆的半径为R,所以732=2R，R=733,所以ABC的外接圆的面积为7332=493.由余弦定理得cosACB=49+9-25273=1114=1-2sin2ACD,所以sinACD=2114，cosACD=5 714.所以sinADC=sin(A+ACD)=325 714-122114=217.由正弦定理得3217=CD32,CD=327.故答案为：493；3 72.14(2024四川遂宁高一遂宁中学校考阶段练习)已知O是平面上的一定点，A，B

44、，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OB+OC 2+AB AB cosB+AC AC cosC，0,+，则动点P的轨迹一定通过ABC的(填序号)内心垂心 重心外心【答案】【解析】设BC的中点为D，OP=OB+OC 2+AB AB cosB+AC AC cosC，OP=OD+AB AB cosB+AC AC cosC，即DP=AB AB cosB+AC AC cosC，两端同时点乘BC，DP BC=AB BC AB cosB+AC BC AC cosC=AB BC cos-BAB cosB+AC BC cosCAC cosC =-BC+BC=0，所以DPBC，所以点P在BC的垂直平分线上

45、，即P经过ABC的外心故答案为：.15(2024高一课时练习)已知O为ABC的内心，BAC=3，且满足AO=xAB+yAC，则x+y的最大值为20【答案】23【解析】如图，延长AO交BC于D，设BC,AC分别与圆切于点E,F，则OE=OF，OEOD，设AD=AO，则AD=xAB+yAC，因为B,D,C三点共线，所以x+y=1，x+y=1=AOAD=AOAO+ODAOAO+OE=11+OEAO=11+OFAO=11+sinA2=11+sin6=23，当且仅当D,E重合时等号成立所以x+y的最大值为23故答案为：2316(2024高一课时练习)已知A，B，C是平面内不共线的三点，O为ABC所在平面

46、内一点，D是AB的中点，动点P满足OP=132-2OD+1+2OC R，则点P的轨迹一定过ABC的(填“内心”“外心”“垂心”或“重心”).【答案】重心【解析】根据已知条件判断P,C,D三点共线，结合重心的定义，判断出P的轨迹过三角形ABC的重心.点P满足OP=132-2OD+1+2OC R R，且132-2+131+2=1，P，C，D三点共线.又D是AB的中点，CD是边AB上的中线，点P的轨迹一定过ABC的重心.故答案为：重心17(2024高一课时练习)已知点O是ABC的内心，若AO=37AB+17AC，则cosBAC=.【答案】16【解析】因为-OA=37OB-OA+17OC-OA，即OC

47、=-3 OA+OB，取AB中点D，连接OD，则OA+OB=2OD，故OC=-6OD，故点C,O,D共线，又ACO=BCO，故AC=BC，且CDAB，所以cosBAC=DACA=ODOC=16.故答案为：16.2118(2024四川成都高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考阶段练习)已知点O是ABC的外心，AB=6，BC=8，B=23，若BO=xBA+yBC，则3x+4y=【答案】7【解析】如图，AB=6，BC=8，B=23，且BO=xBA+yBC，BO BA=|BO|BA|cosABO=12|BA|2=18，BO BC=|BO|BC|cosCBO=12|BC|2=32，BA BC=68-12=

48、-24，BO BA=xBA 2+yBA BC BO BC=xBA BC+yBC 2，18=36x-24y32=-24x+64y，整理得，6x-4y=38y-3x=4，(6x-4y)+(8y-3x)=3x+4y=7故答案为：719(2024湖北武汉高一期末)ABC中，AB=2，BC=2 6，AC=4，点O为ABC的外心，若AO=mAB+nAC，则实数m=【答案】45/0.8【解析】由BC=AC-AB 可得BC 2=AC-AB 2=AC 2+AB 2-2AB AC=4+16-2AB AC=24，所以，AB AC=-2，同理可得BA BC=6，CA CB=18，故 ABACcosA0即cosA1，S1S2=p1+pq1+q=p1+pp2p-1=p22p2+p-1=1-1p2+1p+2=1-1p-122+94，p1，01p1，则当1p=12时，S1S2取得最小值49，当1p=1时，S1S2取得最大值12，1p1，则S1S2的取值范围为49,12.