2024 届最后一卷数学答案.pdf

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1、第 1 页学科网（北京）股份有限公司2024 届届最最后后一一卷卷（解解析析版版）数数 学学一一、单单项项选选择择题题：本本题题共共 8 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 40 分分.在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的.1B2D 3A 4A5C【解析】方方法法一一：=log+1，1，=lnln+1，=1ln+1 1+1lnln+12=+1 ln+1 ln+1ln+12 0 在 1,+，2 3，即 2ln4，ln3ln423，log43 23，选 C.方方法法二二：23 32 log32 23 42 log43 23 ，6C【

2、解析】方方法法一一：在抛物线上，则 8=2，=4，圆心,2 2，=+2，被轴截弦长为 2 5，2=5+2即 +22=5+2，由解得=2=2,=2=9=3，选 C.方方法法二二：2=8+22，2=5+2，=3 =2=97B【解析】方方法法一一：1+6=42，1+1+5=4 1+，=21=1+1 21=12 1，1+1=+1+1=121+1 24=11+1+=1211+25=1211+491=3 11=31=6 1=14，5=91=94，选 B.#QQABLQiEogioAJBAAQhCQwGCCEMQkBEACYgOhEAEsAABwBFABAA=#第 2 页学科网（北京）股份有限公司方法二：方

3、法二：1+1+5=4 1+=21=2 1 1，24=11+1+=24=1+1，=25 121=491 121=31=6 1=14,5=94.8B【解析】方法一：方法一：cos+cos=3cos，即sincos+sincos=3sincos，tan+tan=3tan tantan=3tan+tan1tantan，1=3tantan1，即 tantan=4tan=4tan，tan=13tan+tan=13tan+4tan tan+tan=43tan+43tan 2169=83，选 B.方法二：方法二：由正弦定理 得 tan+tan=3tan 3tan tan=tan=tan +=tan+tan1t

4、antan tan tan2 3tantan+4=0 tan=13tan+43tan tan+tan=43tan+1tan显然 tan必为正（否则 tan和 tan都为负，就两个钝角），所以由均值得 tan+tan 83二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9AC【解析】/,，一定有 ,A 对.,也有可能 ，B 错.,/一定有 ，C 对./,/,

5、与也可能相交，D 错，选 AC.10BCD【解析】方法一：方法一：=0 时，1=20+0=0 0+1)=0,=1 时，1=0 1+1=1 0+1=0,=2 时，1=0 2+2=2 0+1 0=1,1=0,A 错，B 对.=1 时，+1=+1 1=，+=1 1+1+=满足条件，则 BCD 都对.方法二：方法二：由条件得 +1=+，+1=+=+=由,的任意性，所以 =+，为常数，代回去得+1+=+1+1=0所以只能=1，即 =1.11ACD【解析】方法一：方法一：=2222+12=12=2+2，=2=2=2椭圆24+22=1，A 对.如图，1=22=12，B 错.#QQABLQiEogioAJBA

6、AQhCQwGCCEMQkBEACYgOhEAEsAABwBFABAA=#第 3 页学科网（北京）股份有限公司=22=12，则=22，为等腰三角形:=22+，=22+24+22=1，消可得2+2+2 2=0，1+2=2，12=2 2，+=111 2+212 2=221+11 2+222+12 2=212+21+22 2+2 21 22 2=0,与坐标轴围成的三角形是等腰三角形，D 对.方法二：方法二：易得 A 正确；如果对图形作伸缩变换：沿轴方向拉伸至 2倍，则椭圆变成圆，变为2,2，斜率为 1，切线的斜率为1，那么之前，原先的和的斜率分别为12,12，所以 B 错（积应为12），C 对；D：

7、由于的斜率与处的斜率互反，则熟知与的斜率也互反，所以 D 也正确.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12=5,【解析】3+2展开式第+1 项+1=32=2312=2356=21625，162 5=0，则=25=5,.13 3【解析】方法一：方法一：面的对角线长 3 2 1 的极值点，=2 2，02 20=0,0 1，且由2+3=30 2+22=30，02+0=22+2，2=0，3=02=20，而2=12 1=ln0+2 1+2 3=ln0+2 0，由02=20 ln0+ln2=0 2 ln0 0+2=ln2，1+2 3=ln2.四

8、、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（1）的可能值为 0，1，2，3.=0=1 0.12 1 0.2=0.648；=1=2 1 0.1 0.1 1 0.2+1 0.12 0.2=0.306；=2=0.12 1 0.2+2 1 0.1 0.1 0.2=0.044；=3=0.12 0.2=0.002.故分布列为：01230.6480.3060.0440.002所以 =0 0.648+1 0.306+2 0.044+3 0.002=0.4.（2）记事件为“车间停工”，事件为型机床发生故

9、障”，则 =2+=3=0.046，=0.1 1 0.1 0.2 2+0.12 0.2=0.038，则|=0.0380.046=1923.答：某一天在车间停工的条件下，型机床发生故障的概率为1923.16（1）证明：在直三棱柱 111中，1平面，因为 平面，所以1.又 ，1 1=1，1,1平面11，所以 平面11.又因为 平面11，所以/.（2）因为1=13 1，所以当三棱锥1 体积最大时，最大.由（1）可知 平面11，因为 面11，所以 .又=2，所以 4=2=2+2 2 =4，当且仅当=2时取等号，即当最大时，=2.法法 1：综合法：综合法作 1于，连结.#QQABLQiEogioAJBAA

10、QhCQwGCCEMQkBEACYgOhEAEsAABwBFABAA=#第 5 页学科网（北京）股份有限公司由（1）可知 平面11，因为 面11，所以 .又1 =，,1平面1，所以 平面1.因此，与平面1所成的角等于.因为 平面1，平面1，所以 .在 Rt 1中，=2，1=2，所以1=6，因此=2 26=23在 Rt 中，sin=2322=33.所以与平面1所成角的正弦值33.法法 2：向量法：向量法在平面11内，作/1，交11于，因为1平面，所以 平面.分别以,为,轴建立空间直角坐标系，则 0,2,0，2,0,0，12,0,2，所以?=2,2,0.设平面1的法向量为?=,，易得?=0,2,0

11、，1?=2,0,2，=2=0,1=2+2=0,可取?=2,0,1.于是 cos?,?=22 3=33，所以与平面1所成角的正弦值等于 cos?,?=33.17（1）因为 =4sin+2，=4cos，所以 0=1，0=4，则 3=1，=4，解得=1.（2）由（1）得 =4sin 1，=4cos，=+4sin，当 时，4sin 1 5 0，因此 在,+)无零点；当 0 时，易知 单调递增，又0=3 0，所以 在 0,上存在唯一的零点0，当 0,0,0,单调递增；又 0=0,0 0，因此 在 0,上仅有 1 个零点；综上，在 0,+上仅有 1 个零点.#QQABLQiEogioAJBAAQhCQwG

12、CCEMQkBEACYgOhEAEsAABwBFABAA=#第 6 页学科网（北京）股份有限公司18（1）由条件得 2=2 ，即=2；渐近线方程为 =0，则2+2=3，又2=2+2，所以2=1,2=3,2=4.所以的方程为223=1.（2）设:=+,1,1,2,2.联立=+223=1得 32 1 2+6+32 3=0，所以 32 1 0，且1+2=6321，12=323321，1=3 92+323321，2=3+92+323321.法法 2：易得:=11+1+1，令=0，得=11+1.同理得:=221 1，令=0，得2=221.因为?=3?，所以=3，即221=311+1，所以 21+1=31

13、2+1，即 412+3 1 1+1 2=0，所以 4323321+3 13 92+323321+13+92+323321=0 整理得 2(92+32 3 3)=0.若92+32 3=3，则2=1，与题意不符，所以=2，因此直线:=+2 过定点 2,0.法法 2：由条件易得=1=31=3，即=3，又=22=3，所以=9，因此111221=9，即 12=9 1+12+1，整理得 92+1 12+9 11+2+9 12=0，所以 92+1323321+9 16321+9 12=0，整理得2 3+2=0，解得=1 或 2.当=1 时，直线过点，与题意不符，所以=2，因此直线:=+2 过定点 2,0.#

14、QQABLQiEogioAJBAAQhCQwGCCEMQkBEACYgOhEAEsAABwBFABAA=#第 7 页学科网（北京）股份有限公司法法 3：设 0,，则 0,3，所以:=+1，:=3 1，由=+1,223=1,求得2+332,632；由=3 1,223=1.求得32+1321,6321所以=632+6322+33232+132=6 22+26 41=221，则方程：632=221 2+332，整理得：=221 421即=221 2，所以直线经过点 2,0.由得1+2=12321，12=9321.联立:=+1 与:=3 1，解得=12.于是12=12sin12sin=112 2121

15、212=41+2 122+2 12=4212+6 1+2+9=429321+612321+9=92+9321=9，解得2=0 或 1，所以直线的方程为=2 或=+2.19（1）解法一：解法一：因为数列为等差数列，且3=9,5=25，所 31+3=9,51+10=25，解得1=1,=2，所以=1+12=2+1，=12+1 2=2所以 3+1=3 2+1+12=22 0，即 3+1，所以数列具有性质 3.解法二：解法二：由条件易得=1 2,=2，则+1=3 1 2+12=22 0，所以有 3；（2）解法一：解法一：由题意得：数列具有性质 4，即 4+1，若 0 1，411 11+11，整理得112

16、2，解得 1，则 411 11+11，整理得1 22 1，当=2 时，上式恒成立，满足题意；当 1 且 2 时，解得 1，再将上式整理为 4+1=141，#QQABLQiEogioAJBAAQhCQwGCCEMQkBEACYgOhEAEsAABwBFABAA=#第 8 页学科网（北京）股份有限公司即要491 0 对所有正整数恒成立，而当趋于无穷时趋向零，所以必须4+1 0，22 1 0，能=2；解法一：解法一：由+1可得+1+2，即+1 +2，因此+1+2 2+2，即+2+14+1，所以+1414212 4121，因为各项均为正数，所以+1，从而 1 12，若 0 4，则 12恒成立，符合题意，所以的最小值为 4.解法二：解法二：当=2时，+1=2+2 4，则必须满足 4，而由知=4 时存在数列满足题意，所以最小值就是 4.#QQABLQiEogioAJBAAQhCQwGCCEMQkBEACYgOhEAEsAABwBFABAA=#