2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练一含答案.pdf

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1、数学试卷（第页，共 4 页）1绝密启用前试卷类型:A2025 年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练一数学本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上

2、;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足izi，则zA.B.C.D.2.若抛物线 axya的焦点到准线的距离为a，则aA.2B.C.4D.3.若函数 xfy log的定义域和值域均为R，则 xf的表达式可以为A.xB.xC.xexD.xex4.若nbaxx),(Nnba的展开式中存在常数项，则n的最小值为A.4B.3C.2D.15.已知事件BA,相

3、互独立，且BAPABP，则ABP的最大值为A.B.C.D.1#QQABYQYUogCAQIIAAAgCEwFACgIQkBAAAQgOwAAMsAABQBFABAA=#数学试卷（第页，共 4 页）26.从棱长为 2 的正方体的六个面的中心中任取三点，记其构成的三角形面积为随机变量X，则 XEA.B.C.D.7.已知数列 na满足nnaa，Za，若M，使得*Nn，Man恒成立，则a的所有可能值之和为A.8B.9C.10D.118.已知点,A，,Q，P与直线x相切于点B，过点A且垂直于AP的直线与P交于DC,两点，且CBDsin.则PAPQ的最小值为A.5B.3C.2D.1二、选择题:本题共 3

4、小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9.记以棱长为 2 的正四面体的各边中点为顶点的多面体为，则A.的体积为B.的表面积为C.的外接球的表面积为D.相邻两面的夹角为10.设直线txky与圆yx交于BA,两点，O为坐标原点，若在k变化的过程中，AOB的面积存在最大值，则t的值可以为A.B.C.D.11.曲线xey 与xyln的两条公切线为l、l，其斜率分别为kk,，l与l的交点为yx,，四个切点的横坐标由小到大依次为xxxx,，则A.kkB.xxxC.xxxD.,x三、填空题:本题共 3 小题

5、，每小题 5 分，共 15 分。12.设集合axxxA，xxB，若BA，则实数a的取值范围为_.#QQABYQYUogCAQIIAAAgCEwFACgIQkBAAAQgOwAAMsAABQBFABAA=#数学试卷（第页，共 4 页）313.如图，点CBA,是函数 xAxfsin,A与坐标轴的交点，且ABC为直角三角形，ABC，则A=_.14.已知椭圆babyaxC:的左、右焦点分别为FF，P为C上一点.若FPF的内切圆半径与外接圆半径之比为，PFF，则C的离心率为_;FPF的内切圆半径与外接圆半径的比值的最大值为_.四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算

6、步骤。15.（13 分）已知正项数列 na的前n项积为nT，a，数列nnTa是公差为 1 的等差数列.（1）求数列 na的通项公式;（2）求数列nnT的前n项和.16.（15 分）如图，ABC的内角CBA,的对边分别为cba,，D为边BC上一点，cb，AD.（1）求CDBD的最小值;（2）若BADCAD,将ACD沿AD折起，使点C落在点P处，且BP.求二面角DBPA的余弦值.#QQABYQYUogCAQIIAAAgCEwFACgIQkBAAAQgOwAAMsAABQBFABAA=#数学试卷（第页，共 4 页）417.（15 分）现有分别标有数字 1,2,3,4 的四张卡片，每次从中随机抽取一张

7、卡片，将卡片上的数字增加 1 后放回.（1）若第二次抽到数字 4，求第一次抽到数字 1 的概率;（2）经过三次抽取后，记四张卡片上共有X个不同的数字，求X的分布列及数学期望.18.（17 分）已知双曲线byaxC:ba,的焦距为，过点,的直线l与C交于BA,两点，当l平行于x轴时，AB.（1）求双曲线C的标准方程;（2）设点P为直线x上一点，且PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，求直线l的方程.19.（17 分）已知函数 xxeaexf.（1）讨论函数 xf的单调性;（2）设函数 abbxxbxxgln，a，Rb，且对于任意,x，xgabxfln恒成立.（）若eea，求b的取值范围;（）若l

8、nb，求a的取值范围.#QQABYQYUogCAQIIAAAgCEwFACgIQkBAAAQgOwAAMsAABQBFABAA=#12025 年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练一数 学参考答案与评分标准一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案BBDCBACD二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。题号91011答案ABCCDABD三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分

9、，共 15 分。12.,13.14.;（第一空 2 分，第二空 3 分）四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13 分）（1）由于a，故T，Ta，（1 分）故数列nnTa是首项为 1，公差为 1 的等差数列，因此nTann.（2 分）nnnTa，当n时，nnTna.故nnnnTnnTaa.（3 分）又nnnaTT，na，故nnaaannn，（4 分）因此nnan，（5 分）nnnan.当n时，nnan同样成立.（6 分）综上，nnan.（7 分）（2）由于nnnTa，nnan，故nTn.（8 分）nnnnT.（9 分）设nnnS.，（10

10、分）则nnnS.（11 分）#QQABYQYUogCAQIIAAAgCEwFACgIQkBAAAQgOwAAMsAABQBFABAA=#2nnSS，得nnnnS.（12 分）整理得nnnS.（13 分）16.（15 分）（1）由余弦定理，BDBDADBcos，CDCDADCcos,（1 分）ADCADB，因此ADCADBcoscos.（2 分）故CDCDBDBD.（3 分）整理得CDBDCDBDCDBD.由于CDBD，故CDBD.（4 分）因此CDBDCDBD，当且仅当CDBD.时取等.（5 分）综上，CDBD的最小值为 4.（6 分）（2）设BAD，BADCAD，则CAD，CB，ADB.（7

11、 分）由正弦定理，sinsin，整理得coscos.解得cos或.（8 分）由于BAC，故，.因此cos，DACCB，.故CDBD,.（9 分）PBABPAPBABPA,，因此ABPA.ABDADABDABAADABADPAABPA平面平面,，因此ABDPA平面.（10 分）以 A 为原点，建立图示的空间直角坐标系xyzA.则,，BPD.（11 分）#QQABYQYUogCAQIIAAAgCEwFACgIQkBAAAQgOwAAMsAABQBFABAA=#3,ABAP,设平面 PAB 的法向量为cbam,，则ABmAPm因此bac,.设a，则b.故,m.（12 分）,DP,DB,设平面 PBD

12、 的法向量为zyxn,，则DPnDBn.因此yxzy.令x，则zy,.故,n.（13 分）nmnmnm,cos.（14 分）设二面角DBPA的平面角为，可知为锐角，因此cos.故cos.综上，余弦值为.（15 分）17.（15 分）（1）设事件 A=第一次抽到数字 1，事件 B=第二次抽到数字 4，（1 分）因此 AP,ABP,ABP,（3 分）APABPAPABPBP,（5 分）因此 BPAPABPBAP.（6 分）（2）X 的可能取值为 2,3,4；（7 分）若 X=2,则初始值为 2 的卡片抽到两次，初始值为 3 的卡片抽到一次，或初始值为 1 的卡片抽到两次，初始值为 2 的卡片抽到一

13、次.（8 分）因此CCXP；（9 分）若 X=4，则可能三次抽到同一张初始值为 2,3 或 4 的卡片，或三次分别抽到初始值为 2,3,4的卡片，或两次抽到初始值为 4 的卡片一次抽到初始值为 3 的卡片，或两次抽到初始值为 3一次抽到初始值为 2 的卡片,或两次抽到初始值为 2 的卡片，一次抽到初始值为 4 的卡片.#QQABYQYUogCAQIIAAAgCEwFACgIQkBAAAQgOwAAMsAABQBFABAA=#4（10 分）因此CAXP.（11 分）故XPXPXP.（12 分）分布列为X234P（14 分）XE.（15 分）18.（17 分）（1）C的焦距为，故c，c.（1 分）

14、过点,的直线l与C交于BA,两点，当l平行于x轴时，直线l的方程为y.点BA,关于y轴对称，且AB，故，A.（2 分）带入双曲线的方程，得ba.又cba，解得ba,.（4 分）因此yxC:.（5 分）（2）当l的斜率不存在时，不妨设,A，,B，点P在直线x上，故PA与PB不可能相等，故不成立.因此l的斜率一定存在.（6 分）设 kxyl:，yxkxy，整理得kxxk.（7 分）且k，解得k且k.（8 分）设yxByxA,，故kkxx，kxx.（9 分）设线段AB的中点坐标为yx,，则kkxxx，kkxy.（10 分）故线段AB的中垂线为kxkkkkxky.（11 分）将Px带入，解得kkyP.

15、#QQABYQYUogCAQIIAAAgCEwFACgIQkBAAAQgOwAAMsAABQBFABAA=#5因此kkP,.（12 分）PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，故点P到l的距离ABd.kkkkd；（13 分）kkkxxxxkxxkAB.（14 分）因此kkkkkkk，（15 分）整理得kkkk.化简得 kkk.由于k，故k.（16 分）因此xyl:.（17 分）19.（17 分）（1）xxeaexf，（1 分）当a时，xf，因此 xf在R上单调递增；（2 分）当a时，可知 xf 在R上单调递减，令 xf，解得axln.（3 分）因此当axln,时，xf，xf单调递增；当,lnax

16、时，xf，xf单调递减；（4 分）综上，当a时，xf在R上单调递增；当a时，xf在aln，上单调递增；在,lna上单调递减.（5 分）（2）（）xgabxfln，即aabxbxbeaexxlnln.设beaeyxx，将 式 子 中 的x与y互 换，得beaexyy.化 简 后 即 得#QQABYQYUogCAQIIAAAgCEwFACgIQkBAAAQgOwAAMsAABQBFABAA=#6aabxbxylnln.(xa,)因此曲线beaeyxx与aabxbxylnln的图像关于直线xy 对称.因此aabxbxbeaexxlnln等价于xbeaeyxx.由于eea，因此bxeeeexx在，上恒

17、成立.设 bxeeeexhxx，xxxxxeeeeeeeeexh，令 xh，解得x.xh在,上单调递减，在，上单调递增.当x时，xh的最小值为 ebh.eb，解得eb;（）同理，lnb，故只需lnxeaexx.整理得xxexealn.设 xxexexHln，xxexexHln.令 lnxexmx，xexm.lnm，当ln,x时，xm；当,lnx时，xm.lnm,lnlnm,lnm,因此存在ln,x，使得xm.因此 xH在 x,上单调递减，ln,x上单调递增，,ln上单调递减.lnH，lnH.由于ln，故 xH的最大值为.因此a.#QQABYQYUogCAQIIAAAgCEwFACgIQkBAAAQgOwAAMsAABQBFABAA=#