总体集中趋势的估计课件 2023-2024学年高一数学同步课件(人教A版2019必修第二册).pptx

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1、9.2.3 9.2.3 总体集中趋势的估计总体集中趋势的估计第九章 统 计9.2 9.2 用样本估计总体用样本估计总体 新课导入 为了了解总体的情况，前面我们研究了如何通过样本的分布规律估计为了了解总体的情况，前面我们研究了如何通过样本的分布规律估计总体的分布规律总体的分布规律.但有时候但有时候，我们可能我们可能不太关心总体的分布规律，而更关不太关心总体的分布规律，而更关注总体取值在某一方面的特征注总体取值在某一方面的特征.例如，对于某县今年小麦的例如，对于某县今年小麦的收成情况，我们可能会更关注该县今收成情况，我们可能会更关注该县今年小麦的年小麦的总产量总产量或或平均每公顷的产量平均每公顷的

2、产量，而不是产量的分布而不是产量的分布；对于一个国家国对于一个国家国民的身高情况，我们可能会更关注身民的身高情况，我们可能会更关注身高的高的平均数平均数或或中位数中位数，而不是身高的，而不是身高的分布分布；等等等等.在初中的学习中我们已经了解到，在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数平均数、中位数和众数等都是刻画等都是刻画“中心位置中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.那你是那你是否还记得平均数、中位数、众数是什么吗？这些统计量刻画了数据的什么否还记得平均数、中位数、众数是什么吗？这些统计量刻画了数据的什么特点？特点？众

3、数：众数：中位数：中位数：当数据个数是当数据个数是奇数奇数时，处在时，处在最中间最中间的数是中位数；的数是中位数；当数据个数是当数据个数是偶数偶数时，时，最中间两个数的平均数最中间两个数的平均数是中位数是中位数.（第（第50百分位数）百分位数）平均数：平均数：平均数、中位数、众数的定义平均数、中位数、众数的定义复习回顾一组数据中一组数据中出现次数最多出现次数最多的数的数.一组数据按一组数据按从小到大从小到大排序，排序，注意注意单位单位（t t）下面我们通过具体实例进一步了解这些量的意义，探究它们之间的联系下面我们通过具体实例进一步了解这些量的意义，探究它们之间的联系与区别，并根据与区别，并根据

4、样本的集中趋势样本的集中趋势估计估计总体的集中趋势总体的集中趋势.例1 利用利用9.2.1节中节中100户居民用户的月均用水量的调查数据户居民用户的月均用水量的调查数据,计算样本数据的计算样本数据的平均数和中位数平均数和中位数,并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数。并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数。9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0 2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5 2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9 2.3 10

5、.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.4 22.4 3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0 22.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9 5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 5.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3 5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8 7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6解：根

6、据已知根据已知100户户居民用居民用户户月均用水量的数据，可得月均用水量的数据，可得样样本平均数本平均数为为即即100户户居民的月均用水量的平均数居民的月均用水量的平均数为为8.79 t.新知探究：平均数、中位数、众数 新知探究：平均数、中位数、众数 解：将样本数据按从小到大排序，结果如下：1.3 1.3 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 2.1 2.2 2.3 2.3 2.4 2.4 2.6 3.0 3.2 3.2 3.6 3.6 3.7 3.8 4.0 4.1 4.3 4.4 4.6 4.7 4.9 4.9 4.9 5.1 5.1 5.1 5.2 5.3 5.4 5.4 5.5 5.

7、5 5.5 5.5 5.6 5.7 5.7 5.9 6.0 6.0 6.4 6.4 6.8 6.8 7.0 7.1 7.1 7.1 7.5 7.7 7.8 7.8 7.9 8.1 8.6 8.8 9.0 9.5 9.9 10.0 10.1 10.2 10.2 10.5 10.8 11.1 11.2 12.0 12.0 12.4 13.3 13.6 13.6 13.8 13.8 14.0 14.9 15.7 16.0 16.7 16.8 17.0 17.9 18.3 19.4 20.5 21.6 22.2 22.4 24.3 24.5 25.6 28.06.8 6.8 由上述数据可得，第由上述数

8、据可得，第50个数和第个数和第51个数均为个数均为6.8，由中位数的定义，可，由中位数的定义，可得得，100户居民的月均用水量的中位数是户居民的月均用水量的中位数是6.8t.因为数据是抽自全市居民户的简单随机样本，所以我们可以据此因为数据是抽自全市居民户的简单随机样本，所以我们可以据此估计估计全市居民用户的月均用水量约为全市居民用户的月均用水量约为8.79 t，其中位数约为，其中位数约为6.8 t，众数众数是是2.0和和5.5t.问题1 设某个居民小区有设某个居民小区有2000户，你能估计该小区的月用水总量吗？户，你能估计该小区的月用水总量吗？由众数的定义，可得由众数的定义，可得100户居民的

9、月均用水量的众数是户居民的月均用水量的众数是2.0和和5.5 t.问题2 小明用统计软件计算了小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中位数户居民用水量的平均数和中位数.但在录但在录入数据时，不小心把一个数据入数据时，不小心把一个数据7.7录成了录成了77.请计算请计算录入数据的平均数和中录入数据的平均数和中位数位数，并与，并与真实的样本平均数和中位数真实的样本平均数和中位数作比较作比较.哪个量的值变化更大？哪个量的值变化更大？新知探究：平均数、中位数、众数 778.79t9.483t6.8t6.8t新知探究：平均数、中位数、众数 问题3 你能解释出现问题你能解释出现问题2中现象的原因

10、吗中现象的原因吗？平均数（1）平均数有所变化；）平均数有所变化；样本的平均数样本的平均数与与每个数据每个数据有关，样本中的每一个数有关，样本中的每一个数据的变化都能引起平均数的变化；据的变化都能引起平均数的变化；（2）中位数中位数只与样本数据只与样本数据中间位置的中间位置的一个或两个值有关一个或两个值有关，与其他数据无关，与其他数据无关，所以不是任何一个样本数据的改变都会所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变引起中位数的改变.与中位数比较，与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感。端值更加敏感。8.79t

11、9.483t6.8t6.8t(1)(1)平均数和平均数和中位中位数应该数应该大体上差不大体上差不多多;(2(2)平均数大于中平均数大于中位数位数;（右边右边“拖拖尾尾”)(3)(3)平均数小于中平均数小于中位数位数.（左边左边“拖拖尾尾”)在直方图中，平在直方图中，平均数总在均数总在“长尾长尾巴巴”那边那边u平均数、中位数、众数刻画一组数据的集中趋势的特点探究1 平均数平均数和和中位数中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关据分布的形态有关.在下图的三种频率分布直方图形态中，平均数和中位在下图的三种频率分布直方图形态中，平均数和

12、中位数的大小存在什么关系？数的大小存在什么关系？新知探究：平均数与中位数的大小与数据分布形态的关系追问 如果一组数据的如果一组数据的平均数和中位数相差较大平均数和中位数相差较大，能说明什么呢，能说明什么呢？新知探究：平均数、中位数、众数 如果一组数据的如果一组数据的平均数和中位数相差较大平均数和中位数相差较大，那么可以推断这组数据一，那么可以推断这组数据一定是定是不对称不对称的的.如果样本如果样本平均数大于样本中位数平均数大于样本中位数，说明，说明数据中存在较大的极端值数据中存在较大的极端值；反；反之，说明数据中不存在较大的极端值之，说明数据中不存在较大的极端值.例2 某学校要定制高一年级的校

13、服，学生根据厂家提供的参考身高选择校某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格服规格.根据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示：根据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示：校服规格校服规格155160165170175合计合计频数频数39641679026386分析：虽然校服规格是用数字表示的，但它们事实上是虽然校服规格是用数字表示的，但它们事实上是不同的类别不同的类别，对于这样的对于这样的分类数据分类数据，用，用众数众数作为这组数据的代表比较合适作为这组数据的代表比较合适.如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在如果用一个量来

14、代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中中位数、平均数和众数位数、平均数和众数中，中，哪个量比较合适哪个量比较合适？试讨论用上表中的数据估计？试讨论用上表中的数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性全国高一年级女生校服规格的合理性.典例解析：用众数来描述数据的集中趋势 解：为了更直观地观察数据的特征，我们为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据。用条形图来表示表中的数据。通过观察通过观察条形图条形图可以发现，选择校服可以发现，选择校服规格为规格为“165”的女生频数最高，所以用的女生频数最高，所以用众众数数165作为该校高一年级女生校服的规格作为该校高一年级女生校服的规格比

15、较合适比较合适.由于由于全国各地全国各地的高一年级女生的的高一年级女生的身高存在一定的差异身高存在一定的差异，所以用，所以用一个学一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理不合理.众数众数只利用只利用了了出现次数最多出现次数最多的那个值的信息的那个值的信息.众数只能告诉我们它比其众数只能告诉我们它比其他值出现的次数多他值出现的次数多,但但并未告诉我们它比别的数值多的程度并未告诉我们它比别的数值多的程度.因此，因此，众众数只能传递数据中的信息的很少的一部分，对极端值也不敏感数只能传递数据中的信息的很少的一部分，对极端值也不敏感.新知探究：平均数、中位

16、数、众数 新知探究：平均数、中位数、众数 问题4 根据平均数、中位数、众数各自的特点，我们应如何选择适合根据平均数、中位数、众数各自的特点，我们应如何选择适合的统计量来表示数据的集中趋势？的统计量来表示数据的集中趋势？(1)对对数值型数据数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述集中趋势的描述，可以用可以用 (2)对对分类型数据分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的集中趋势的描述描述，可以用，可以用平均数、中位数平均数、中位数众数众数新知探究：根据频率分布直方图估计平均数、中位数、众数 探究2 样

17、本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据和众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据 你能以图你能以图9.2-19.2-1中频率分布直方图提供的信息为例，给出估计方法吗中频率分布直方图提供的信息为例，给出估计方法吗?在频率分布直方图中，在频率分布直方图中，损失了大量的原始数据，我们无法知道每我们无法知道每个组内的数据是如何分布的个组内的数据是如何分布的.此时，通常此时，通常假设假设它们在它们在组内均组内均匀分布匀分布.这样就可以获得样本的平均数、这样就可以获

18、得样本的平均数、中位数和众数的中位数和众数的近似估计近似估计，进而估，进而估计总体的平均数、中位数和众数计总体的平均数、中位数和众数.如何如何由频率分布直方图估计样本的平均数、中位数和众数由频率分布直方图估计样本的平均数、中位数和众数？新知探究：根据频率分布直方图估计平均数、中位数、众数 1.根据频率分布直方图计算样本平均数：根据频率分布直方图计算样本平均数：因为样本平均数可以表示为因为样本平均数可以表示为数据与数据与它的频率的乘积之和它的频率的乘积之和.所以在频率分布直方图中，所以在频率分布直方图中，样本平样本平均数均数可以用可以用每个小矩形底边中点的横坐每个小矩形底边中点的横坐标标与与小矩

19、形的面积的乘积之和小矩形的面积的乘积之和近似代替近似代替.月均用水量/t频率组距0.021.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.200.040.060.080.10.120.0770.1070.0430.0300.0300.0170.0100.0130.007假设假设数据在数据在组内均匀分布组内均匀分布.于是于是平均数的近似值平均数的近似值为为小矩形面积（小矩形面积（频率频率）小矩形底边中点横坐标小矩形底边中点横坐标这这个个结结果与根据原始数据果与根据原始数据计计算的算的样样本平均数本平均数8.79相差不大相差不大.新知探究：根据频率分布直方图

20、估计平均数、中位数、众数 2.根据频率分布直方图计算样本中位数：根据频率分布直方图计算样本中位数：根据中位数的意义，在样本中，有根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数的个体小于或等于中位数，也有，也有50%的个体大于或等于中位数的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，因此，在频率分布直方图中，中位中位数左边和右边的直方图的面积应该相等数左边和右边的直方图的面积应该相等.月均用水量/t频率/组距0.021.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.200.040.060.080.10.120.0770.1070.0430.

21、0300.0300.0170.0100.0130.007中位数落在区间中位数落在区间4.2,7.2)内内设中位数是设中位数是x，则，则这个结果与根据原始数据求得的中位数这个结果与根据原始数据求得的中位数6.8相差不大相差不大.x-4.2因此，中位数因此，中位数约为约为6.71.(0.077+0.107)3=0.552月均用水量/t频率/组距0.021.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.200.040.060.080.10.120.0770.1070.0430.0300.0300.0170.0100.0130.0073.根据频率分布直方图计算样

22、本众数：根据频率分布直方图计算样本众数：根据众数定义得，在样本数据中根据众数定义得，在样本数据中出现次数最多数据出现次数最多数据就是就是众数众数.因此在频率分布直方图中，我们因此在频率分布直方图中，我们常常常常把把最高矩形的中点的横坐标最高矩形的中点的横坐标作为作为众数的估计值众数的估计值.因此因此，众数众数约为约为5.7.新知探究：根据频率分布直方图估计平均数、中位数、众数 众数常用在描述分类型数据中，众数众数常用在描述分类型数据中，众数5.7让我们知道月均用水量在区让我们知道月均用水量在区间间4.2，7.2)的居民用户的居民用户最多最多.这个信息具有实际意义这个信息具有实际意义.归纳小结找

23、众数、中位数、平均数找众数、中位数、平均数 众众 数：数：由频率分布直方图估计总体的集中趋势由频率分布直方图估计总体的集中趋势中位数：中位数：平均数：平均数：【小结【小结】最高矩形的最高矩形的中点中点中位数左边的直方图面积和右边的直方图中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等面积相等每个小矩形底边每个小矩形底边中点的横坐标中点的横坐标与小矩形的与小矩形的面积面积的的乘积之和乘积之和典例解析例3 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出8080名学生，其数学名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所

24、示.（1 1）求这次测试数学成绩的众数）求这次测试数学成绩的众数;（2 2）求这次测试数学成绩的中位数）求这次测试数学成绩的中位数.（3 3）求这次测试数学成绩的平均分）求这次测试数学成绩的平均分.（2）中位数中位数中位数落在区间中位数落在区间70,80)内，内，设中位数是设中位数是x，则，则中位数约为中位数约为73.3众数为最高矩形的中点众数为最高矩形的中点中位数左边的直方图面积中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等和右边的直方图面积相等0.050.150.20.3典例解析（3）平均数平均数=每个小矩形底边中点的每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积横坐标与小矩形的面积的乘积之和的乘

25、积之和455565758595典例解析理解升华问题5 以上我们讨论了平均数、中位数和众数在刻画一组数据的集中趋势以上我们讨论了平均数、中位数和众数在刻画一组数据的集中趋势时的各自特点，并研究了用样本的特征量估计总体特征量的方法时的各自特点，并研究了用样本的特征量估计总体特征量的方法.那么这种那么这种方法有什么不足？方法有什么不足？这些特征量有时会被利用而产生误导这些特征量有时会被利用而产生误导.问题6 假设你到人力市场去找工作，有一个企业老板告诉你，假设你到人力市场去找工作，有一个企业老板告诉你，“我们企业我们企业员工的年平均收入是员工的年平均收入是2020万元万元”.”.你如何理解这句话？你

26、如何理解这句话？可能这个公司的工资水平普遍较高，也就是员工收入的中位数、众数与平均数差不可能这个公司的工资水平普遍较高，也就是员工收入的中位数、众数与平均数差不多；多；可能是绝大多数员工的年收入较低，而少数员工的年收入很高；在这种情况下，年可能是绝大多数员工的年收入较低，而少数员工的年收入很高；在这种情况下，年收入的平均数就比中位数大得多收入的平均数就比中位数大得多.尽管在后一种情况下，用中位数或众数比用平均数更合理些，但这个企业的老板尽管在后一种情况下，用中位数或众数比用平均数更合理些，但这个企业的老板为了招揽员工，却用了平均数为了招揽员工，却用了平均数.所以，我们要强调所以，我们要强调“用数据说话用数据说话”，但同时又要防止被数据误导，但同时又要防止被数据误导.这就需要掌握这就需要掌握更多的统计知识和方法更多的统计知识和方法.课堂小结1 1、众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数的定义及意义的定义及意义2 2、平均数、中位数、众数在具体数据中的应用平均数、中位数、众数在具体数据中的应用3 3、在频率分布直方图中求众数、中位数、平均数、在频率分布直方图中求众数、中位数、平均数本节课的学习内容有哪些？