2025版新高考版高考总复习数学数列的概念及表示（十年高考）.docx

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1、2025版新高考版高考总复习数学专题七 数列7.1数列的概念及表示考点数列的概念及表示1.(2020课标文,3,5分)如图,将钢琴上的12个键依次记为a1,a2,a12,设1ij10B.当b=14时,a1010C.当b=-2时,a1010D.当b=-4时,a1010答案A本题以已知递推关系式判断指定项范围为载体,考查学生挖掘事物本质以及推理运算能力;考查的核心素养为逻辑推理,数学运算;体现了函数与方程的思想,创新思维的应用.令an+1=an,即an2+b=an,即an2-an+b=0,若有解,则=1-4b0,即b14,当b14时,an=114b2,nN*,即存在b14,且a=1+14b2或11

2、4b2,使数列an为常数列,B、C、D选项中,b14成立,故存在a=114b217162,a617164,a10171664,而171664=1+11664=1+C641116+C6421162+=1+4+638+10.故a1010.3.(2013课标理,12,5分)设AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,.若b1c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=cn+an2,cn+1=bn+an2,则()A.Sn为递减数列B.Sn为递增数列C.S2n-1为递增数列,S2n为递减数列D.S2n-1为递减数列,S2n为递增数列答案B由bn+1=a

3、n+cn2,cn+1=bn+an2得bn+1+cn+1=an+12(bn+cn),(*)bn+1-cn+1=-12(bn-cn),由an+1=an得an=a1,代入(*)得bn+1+cn+1=a1+12(bn+cn),bn+1+cn+1-2a1=12(bn+cn-2a1),b1+c1-2a1=2a1-2a1=0,bn+cn=2a1|BnCn|=a1,所以点An在以Bn、Cn为焦点且长轴长为2a1的椭圆上(如图).由b1c1得b1-c10,所以|bn+1-cn+1|=12(bn-cn),即|bn-cn|=(b1-c1)12n-1,所以当n增大时|bn-cn|变小,即点An向点A处移动,即边BnC

4、n上的高增大,又|BnCn|=an=a1不变,所以Sn为递增数列.4.(2023北京,10,4分,难)已知数列an满足an+1=14(an-6)3+6(n=1,2,3,),则()A.当a1=3时,an为递减数列,且存在常数M0,使得anM恒成立B.当a1=5时,an为递增数列,且存在常数M6,使得an6,使得anM恒成立D.当a1=9时,an为递增数列,且存在常数M0,使得anM恒成立答案B令bn=an-6,由an+1=14(an-6)3+6,得bn+1=14bn3.当a1=5时,b1=-1,则b2=14b13=14,b3=14b23=1256,n+时,bn0,且bn0,则an6,且an0恒成

5、立.故an为递增数列,且存在M=6,使得anM恒成立,A错误.当a1=7时,b1=1,n+时,bn0,且bn0,则an6,且an6,故an为递减数列,但不存在M6,使得anM恒成立,C错误.当a1=9时,b1=3,n+时,bn+,即an+,故不存在M,使得an0,得a1=3,当n=2时,a2S2=a2(a2+3)=9,即a22+3a2-9=0,解得a2=3352,又a20,所以a2=3532,所以a2Sn,所以Sn-Sn+10,即an+1-an0.所以an+190 000,则Sn=a1+a2+an110090 000=900,anSn1100900=9,与已知anSn=9相矛盾,所以正确.故正

6、确结论的序号为.10.(2016课标理,17,12分)已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=3132,求.解析(1)由题意得a1=S1=1+a1,故1,a1=11,a10.(2分)由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an.由a10,0得an0,所以an+1an=-1.因此an是首项为11,公比为-1的等比数列,于是an=11-1n-1.(6分)(2)由(1)得Sn=1-1n.由S5=3132得1-15=3132,即-15=132.解得=-1.(12分)思路分析(1)先由题设利用a

7、n+1=Sn+1-Sn得到an+1与an的关系式,要证数列是等比数列,关键是看an+1与an之比是否为一常数,其中说明an0是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论解方程求出.11.(2014大纲全国文,17,10分)数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设bn=an+1-an,证明bn是等差数列;(2)求an的通项公式.解析(1)证明:由an+2=2an+1-an+2得,an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1,所以bn是首项为1,公差为2的等差数列.(5分)(2)由(1)得bn=1+2(n-1),即an+1-an=

8、2n-1.(8分)于是k=1n(ak+1-ak)=k=1n(2k-1),所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.又a1=1,所以an的通项公式为an=n2-2n+2.(10分)评析本题着重考查等差数列的定义、前n项和公式及“累加法”求数列的通项等基础知识,同时考查运算变形的能力.12.(2014课标理,17,12分)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数,(1)证明:an+2-an=;(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.解析(1)证明:由题设anan+1=Sn-1,知an+1an+2=Sn+1-1.两式相减得,an+1(an+2-an)=an+1.由于an+10,所以an+2-an=.(2)存在.由a1=1,a1a2=a1-1,可得a2=-1,由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4,由此可得,a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=1+(n-1)4=4n-3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n-1)4=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在=4,使得an为等差数列.评析本题主要考查an与Sn的关系及等差数列的定义,考查学生的逻辑思维能力及分析解决问题的能力.