2025版新高考版高考总复习数学直线和圆（十年高考）.docx

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1、2025版新高考版高考总复习数学专题九 平面解析几何9.1直线与圆考点1 直线的方程1.(2014四川文,9,5分)设mR,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是()A.5,25B.10,25C.10,45D.25,45答案B直线x+my=0过定点A(0,0),直线mx-y-m+3=0过定点B(1,3).当m=0时,过定点A的直线方程为x=0,过定点B的直线方程为y=3,两条直线互相垂直,此时P(0,3),|PA|+|PB|=4.当m0时,直线x+my=0的斜率为-1m,直线mx-y-m+3=0的斜率为m.-1mm

2、=-1,两条直线互相垂直,即点P可视为以AB为直径的圆上的点.当点P与点A或点B重合时,|PA|+|PB|有最小值10.当点P不与点A,点B重合时,PAB为直角三角形,且|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.由不等式性质知|PA|+|PB|2|PA|2+|PB|22=25,|PA|+|PB|10,25.综合得|PA|+|PB|10,25.评析本题考查直线的方程、两直线垂直及不等式的性质,解答本题的关键是找到点P的轨迹.属中档题.2.(2013湖南理,8,5分)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光

3、线QR经过ABC的重心,则AP等于()A.2B.1C.83D.43答案D以AB为x轴,AC为y轴建立如图所示的坐标系,由题可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线BC的方程为x+y-4=0.设P(t,0)(0t4),由对称知识可得点P关于直线BC的对称点P1的坐标为(4,4-t),点P关于y轴的对称点P2的坐标为(-t,0),根据反射定理可知P1P2就是光线RQ所在直线.由P1、P2两点坐标可得直线P1P2的方程为y=4t4+t(x+t),设ABC的重心为G,易知G43,43.因为重心G43,43在光线RQ上,所以有43=4t4+t43+t,即3t2-4t=0.所以t=0或t=43

4、,因为0t0),则F=0,16+4D+F=0,1+1D+E+F=0,解得D=4,E=6,F=0.所以所求圆的方程为x2+y2-4x-6y=0.选取(0,0),(-1,1),(4,2)时,设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),则F=0,1+1D+E+F=0,16+4+4D+2E+F=0,解得D=83,E=143,F=0.所以所求圆的方程为x2+y2-83x143y=0.选取(4,0),(-1,1),(4,2)时,设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),则16+4D+F=0,1+1D+E+F=0,16+4+4D+2E+F=0,解得D=1

5、65,E=2,F=165.所以所求圆的方程为x2+y2-165x2y165=0.5.(2022全国甲文,14,5分)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在M上,则M的方程为.答案 (x-1)2+(y+1)2=5解析解法一:设M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),则2a+b1=0,(3a)2+(0b)2=r2,(0a)2+(1b)2=r2,解得a=1,b=1,r=5,所以M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.解法二:易得过(3,0)和(0,1)的直线方程为x3+y=1,即x+3y-3=0.以(3,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线的方程为3x-y-4

6、=0,联立2x+y1=0,3xy4=0,解得x=1,y=1,所以圆心为(1,-1),则所求圆的半径r=(13)2+(10)2=5,所以M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.6.(2016天津文,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为455,则圆C的方程为.答案(x-2)2+y2=9解析设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a0),由题意可得|2a|5=455,(a)2+(5)2=r2,解得a=2,r2=9,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.方法总结待定系数法是求解圆方程的常用方法,一般步骤为设出圆的方程;列出关于系数的方

7、程组,并求出各系数的值;检验各值是否符合题意,并写出满足题意的圆的方程.有时也可利用圆的几何性质进行求解.评析本题主要考查点与圆的位置关系,点到直线的距离公式以及圆的方程的求法,考查方程思想方法的应用,注意圆心的横坐标的取值范围是解决本题的关键.7.(2015课标理,14,5分)一个圆经过椭圆x216+y24=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.答案x322+y2=254解析由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂直平分线的方程为2x-y-3=0.令y=0,得x=32,所以圆心坐标为32,0,则半径r=4-32=52.故该

8、圆的标准方程为x322+y2=254.评析本题考查圆和椭圆的方程,求出圆心坐标是解题关键.8.(2014陕西理,12,5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为.答案x2+(y-1)2=1解析根据题意得点(1,0)关于直线y=x对称的点(0,1)为圆心,又半径r=1,所以圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.考点3 直线与圆、圆与圆的位置关系1.(2023新课标,6,5分,易)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为,则sin =()A.1B.154C.104D.64答案B设圆心为C.圆的方程x2+y2-4x-1=0可化为(x

9、-2)2+y2=5,则圆心为C(2,0),半径r=5,设点P(0,-2),切点分别为A,B,如图所示.易得|CA|=5,|PC|=22,|AP|=3,cos2=104,sin2=64(是APB的补角)sin =2sin2cos2=154,故选B.2.(2023全国乙文,11,5分,中)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是()A.1+322B.4C.1+32D.7答案C由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,此方程表示以(2,1)为圆心,3为半径的圆.设t=x-y,则x-y-t=0,设圆心(2,1)到直线x-y-t=0的距离为d,则d=

10、|21t12+(1)2=|1t2,依题意知,直线x-y-t=0与圆(x-2)2+(y-1)2=9有公共点,d=|1t23,即|1-t|32,-32t132,即1-32t1+32,t的最大值为1+32,即x-y的最大值为1+32,故选C.一题多解由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9.设x=2+3cos ,y=1+3sin ,0,2),x-y=2+3cos -1-3sin =1+3(cos -sin )=1+32cos+4,+44,94,cos+4-1,1,(x-y)max=1+32,故选C.3.(2023全国乙理,12,5分,难)已知O的半径为1,直线PA与O相切于

11、点A,直线PB与O交于B,C两点,D为BC的中点.若|PO|=2,则PAPD的最大值为()A.12+22B.12+2C.1+2D.2+2答案A以O为坐标原点,OP的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,则圆O的方程为x2+y2=1,点P的坐标为(2,0).因为D是BC的中点,所以ODPB,所以点D的轨迹是以OP为直径的圆在圆O内部的那段圆弧.由题意得以OP为直径的圆的方程为x2+y2-2x=0,由x2+y2=1,x2+y22x=0,解得x=22,y=22.则点D(x,y)在圆x2+y2-2x=0上,且0x22,-22y4,直线AB与圆(x-5)2+(y-5)2=16相离,点P到直线AB的距离的

12、取值范围为11554,1155+4,1155-4(0,1),1155+4(8,9),选项A正确,选项B错误.过点B作圆的两条切线,切点分别为P1,P2,如图,当点P在切点P1的位置时,PBA最小,当点P在切点P2的位置时,PBA最大,易知|P1B|=|P2B|,圆心(5,5)到点B的距离为34,圆的半径为4,所以|P1B|=|P2B|=3416=18=32,故选项C,D均正确.故选ACD.方法点拨:1.当直线与圆C相离时,圆上的点P到直线的距离的取值范围为d-r,d+r,其中r为半径,d为圆心到直线的距离.2.从圆外一点Q(x0,y0)向圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)引

13、切线,切点为A,则|QA|=x02+y02+Dx0+Ey0+F.6.(2015广东理,5,5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+5=0或2x+y-5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+5=0或2x-y-5=0答案A切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c1),结合题意可得|c|5=5,解得c=5.故选A.7.(2015山东理,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-53或

14、-35B.-32或-23C.-54或-45D.-43或-34答案D由题意可知反射光线所在直线过点(2,-3),设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.反射光线所在直线与圆相切,|3k22k3|k2+1=1,解得k=-43或k=-34.评析本题主要考查直线和圆的位置关系.8.(2015重庆理,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(aR)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.2B.42C.6D.210答案C圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=22,圆心为C(2,1),半径r=2,由

15、直线l是圆C的对称轴,知直线l过点C,所以2+a1-1=0,a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|=|AC|222=404=6.故选C.9.(2014课标文,12,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得OMN=45,则x0的取值范围是()A.-1,1B.12,12C.-2,2D.22,22答案A过M作圆O的两条切线MA、MB,切点分别为A、B,若在圆O上存在点N,使OMN=45,则OMBOMN=45,所以AMB90,所以-1x01,故选A.评析本题考查直线与圆的位置关系,体现了数形结合的思想方法.10.(2014浙江文,5,5分)已知圆x

16、2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.-2B.-4C.-6D.-8答案B将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心为(-1,1),半径r=2a,圆心到直线x+y+2=0的距离d=|1+1+2|2=2,故r2-d2=4,即2-a-2=4,所以a=-4,故选B.11.(2014安徽文,6,5分)过点P(-3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.0,6B.0,3C.0,6D.0,3答案D过P点作圆的切线PA、PB,连接OP,如图所示.显然,直线PA的倾斜角为0,又OP=(3)2+(1

17、)2=2,PA=3,OA=1,因此OPA=6,由对称性知,直线PB的倾斜角为3.若直线l与圆有公共点,由图形知其倾斜角的取值范围是0,3.故选D.12.(2016山东文,7,5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是22.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离答案B由题意知圆M的圆心为(0,a),半径R=a,因为圆M截直线x+y=0所得线段的长度为22,所以圆心M到直线x+y=0的距离d=|a|2=a22(a0),解得a=2,又知圆N的圆心为(1,1),半径r=1,所以|MN|=2,则R-r20).若圆C

18、上存在点P,使得APB=90,则m的最大值为()A.7B.6C.5D.4答案B若APB=90,则点P的轨迹是以AB为直径的圆,其方程为x2+y2=m2.由题意知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1与圆O:x2+y2=m2有公共点,所以|m-1|OC|m+1,易知|OC|=5,所以4m6,故m的最大值为6.选B.14.(2013重庆理,7,5分)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.52-4B.17-1C.6-22D.17答案A圆C1,C2如图所示.设P是x轴上

19、任意一点,则|PM|的最小值为|PC1|-1,同理可得|PN|的最小值为|PC2|-3,则|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2|-4.作C1关于x轴的对称点C1(2,-3),连接C1C2,与x轴交于点P,连接PC1,根据三角形两边之和大于第三边可知|PC1|+|PC2|的最小值为|C1C2|,则|PM|+|PN|的最小值为52-4.选A.评析本题考查了圆的标准方程及圆的几何性质等知识,同时又考查了数形结合思想、转化思想.把折线段长的和转化成两点间的距离是本题的关键.15.(2016课标,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A

20、.-43B.-34C.3D.2答案A圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为|a+41|a2+1=1,解得a=-43.故选A.思路分析将圆的方程化成标准方程,从而得出圆心坐标,进而利用点到直线的距离公式列出关于a的方程,解方程即可求得a的值.16.(2016北京,5,5分)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为()A.1B.2C.2D.22答案C由题知圆心坐标为(-1,0),将直线y=x+3化成一般形式为x-y+3=0,故圆心到直线的距离d=|10+3|12+(1)2=2.故选C.易错警示在应用点到直线的距离公式d

21、=|Ax0+By0+C|A2+B2时,一定要将直线方程化成一般形式,正确写出A,B,C的值,此处符号易出现错误.17.(2023新课标,15,5分,易)已知直线x-my+1=0与C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“ABC的面积为85”的m的一个值.答案2或-2或12或-12(写出一个即可)解析圆心(1,0)到直线x-my+1=0的距离d=21+m2,|AB|=2441+m2=4m1+m2,SABC=12|AB|d=4m1+m2=85,2m2-5|m|+2=0,|m|=2或|m|=12,m=2或m=12.18.(2016课标,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2a

22、y-2=0相交于A,B两点,若|AB|=23,则圆C的面积为.答案4解析把圆C的方程化为x2+(y-a)2=2+a2,则圆心为(0,a),半径r=a2+2.圆心到直线x-y+2a=0的距离d=|a|2.由r2=d2+|AB|22,得a2+2=a22+3,解得a2=2,则r2=4,所以圆的面积S=r2=4.19.(2016课标,15,5分)已知直线l:x-3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.则|CD|=.答案4解析圆心(0,0)到直线x-3y+6=0的距离d=61+3=3,|AB|=21232=23,过C作CEBD于E,因为直线l的倾斜角为

23、30,所以|CD|=|CE|cos30=|AB|cos30=2332=4.20.(2016课标理,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=23,则|CD|=.答案4解析由题意可知直线l过定点(-3,3),该定点在圆x2+y2=12上,不妨设点A(-3,3),由于|AB|=23,r=23,所以圆心到直线AB的距离为d=(23)2(3)2=3,又由点到直线的距离公式可得d=|3m3|m2+1=3,解得m=-33,所以直线l的斜率k=-m=33,即直线l的倾斜角为30.如图,过点C作CHBD,垂足为H,

24、所以|CH|=23,在RtCHD中,HCD=30,所以|CD|=23cos30=4.解后反思涉及直线与圆的位置关系的问题要充分利用圆的性质,利用数形结合的思想方法求解.21.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.答案(x-1)2+y2=2解析由mx-y-2m-1=0可得m(x-2)=y+1,由mR知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2m-1=0的距离的最大值为(21)2+(10)2=2,故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.22.(2014重庆理,1

25、3,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且ABC为等边三角形,则实数a=.答案415解析易知ABC是边长为2的等边三角形,故圆心C(1,a)到直线AB的距离为3,即|a+a2|a2+1=3,解得a=415.经检验均符合题意,则a=415.评析本题考查过定点的直线与圆相交的弦长问题,以及数形结合的思想方法,对综合能力要求较高.23.(2022新高考,15,5分)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是.答案 13,32解析设直线AB关于y=a对称的直线为l,

26、kAB=a32,kl=-a32.显然点B(0,a)在直线l上,直线l的方程为y=-a32x+a,即(a-3)x+2y-2a=0.l与圆有公共点,圆心(-3,-2)到直线l的距离dr,即|3(a3)+2(2)2a(a3)2+41,即6a2-11a+30.解得13a32,实数a的取值范围为13,32.24.(2022全国甲理,14,5分)若双曲线y2-x2m2=1(m0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则m=.答案 33解析易得双曲线的渐近线方程为y=xm(m0),圆的方程可化为x2+(y-2)2=1,其半径r=1,渐近线与圆相切,圆心(0,2)到渐近线的距离等于r,21+1m2=1,m

27、2=13,又m0,m=33.25.(2022新高考,14,5分)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程.答案 x=-1(或3x+4y-5=0或7x-24y-25=0)解析两圆C1:x2+y2=1,C2:(x-3)2+(y-4)2=16的圆心分别为C1(0,0),C2(3,4),r1=1,r2=4,|C1C2|=5=r1+r2,则两圆外切,如图所示均与直线l1:x=-1相切,两圆圆心连线C1C2所在直线的方程为y=43x,记为l,l1与l交于点P1,43,由两圆另一外公切线l2过点P,设l2:y+43=k(x+1),由l2与圆C1:x2+y2=1相切,得k

28、431+k2=1,求出k=724,则直线l2的方程为7x-24y-25=0,由内公切线l3与l垂直,设l3的方程为y=-34x+m,由l3与圆C1:x2+y2=1相切得m1+342=1,m=54或-54.当m=-54时,y=-34x54,与圆C2不相切,不符合题意,舍去.故m=54,则直线l3的方程为3x+4y-5=0.综上,可知三条切线方程分别为x=-1,3x+4y-5=0,7x-24y-25=0.综上,可知三条切线方程分别为x=-1,3x+4y-5=0,7x-24y-25=0.26.(2021全国甲理,20,12分)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,

29、且OPOQ.已知点M(2,0),且M与l相切.(1)求C,M的方程;(2)设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与M相切.判断直线A2A3与M的位置关系,并说明理由.解析(1)由题意可设抛物线C的方程为y2=2px(p0),则P,Q的坐标为(1,2p),OPOQ,OPOQ=1-2p=0,p=12,抛物线C的方程为y2=x.M的圆心为(2,0),M与直线x=1相切,M的半径为1,M的方程为(x-2)2+y2=1.(2)直线A2A3与M相切.理由如下:设A1(y02,y0),A2(y12,y1),A3(y22,y2),直线A1A2,A1A3均与M相切,y01,y11,y21,由

30、A1,A2的坐标可得直线A1A2的方程为y-y0=y0y1y02y12(x-y02),整理,得x-(y0+y1)y+y0y1=0,由于直线A1A2与M相切,M到直线A1A2的距离d=|2+y0y1|1+(y0+y1)2=1,整理得(y02-1)y12+2y0y1+3y02=0,同理可得,(y02-1)y22+2y0y2+3y02=0,观察,得y1,y2是关于x的一元二次方程(y02-1)x2+2y0x+3-y02=0的两根,y1+y2=2y0y021,y1y2=3y02y021.(*)同理,得直线A2A3的方程为x-(y1+y2)y+y1y2=0,则点M(2,0)到直线A2A3的距离d=|2+

31、y1y2|1+(y1+y2)2,把(*)代入,得d=2+3y02y0211+2y0y0212=|2(y021)+3y02|(y021)2+(2y0)2=|y02+1|y04+2y02+1=|y02+1|y02+1|=1.直线A2A3与M相切.解后反思本题第(1)问较为基础,熟练掌握抛物线和圆的标准方程是关键;第(2)问涉及的条件较多,其中直线A1A2与圆相切,是最重要的一个条件,由此条件可求出直线A1A2的方程,进而直线A1A3,A2A3的方程就可同理求得,可大大简化运算过程,而由归纳出y1,y2是方程(y02-1)x2+2y0x+3-y02=0的两根,则需要有较深的数学功底和知识储备,需要同

32、学们平时不断积累.27.(2015课标文,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若OMON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.解析(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以|2k3+1|1+k21.解得473k0(*),x1+x2=61+t2,所以x0=31+t2,代入直线l的方程,得y0=3t1+t2.因为x02+y02=9(1+t2)2+9t2(1+t2)2=9(1+t2)(1+t2)2=91+t2=3x0,所以x0322+y02=94.由(*)解得t245,又t2

33、0,所以53x03.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为x322+y2=9453x3.(3)由(2)知,曲线C是在区间53,3上的一段圆弧.如图,D53,253,E53,253,F(3,0),直线L过定点G(4,0).联立直线L的方程与曲线C的方程,消去y整理得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0.令判别式=0,解得:k=34,由求根公式解得交点的横坐标为xH,I=12553,3,由图可知:要使直线L与曲线C只有一个交点,则kkDG,kEGkGH,kGI,即k257,25734,34.29.(2014课标文,20,12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直

34、线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及POM的面积.解析(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).由题设知CMMP=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,2为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而O

35、NPM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-13,故l的方程为y=-13x+83.又|OM|=|OP|=22,O到l的距离为4105,|PM|=4105,所以POM的面积为165.评析本题考查轨迹方程的求法,直线与圆的位置关系,在解决直线与圆的相关问题时,利用图形的几何性质可简化运算.30.(2013江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.解析(1)由题意知,圆心C是直线y=2

36、x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,由题意得,|3k+1|k2+1=1,解得k=0或-34,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+y-2(a-2)2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,所以x2+(y3)2=2x2+y2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|CD2+1,即1a2+(2a3)23.由5a2-12a+80,得aR;由5a2-12a0,得0a125.所以点C的横坐标a的取值范围为0,125.评析本题考查直线与圆的方程,直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系等基础知识和基本技能,考查运用数形结合、待定系数法等数学思想方法分析问题、解决问题的能力.