2025版新高考版高考总复习数学专题四导数及其应用导数与函数的单调性、极值和最值.docx

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1、2025版新高考版高考总复习数学专题四导数及其应用4.2导数与函数的单调性、极值和最值五年高考考点1导数与函数的单调性1.(2014课标文,11,5分,易)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+)单调递增,则k的取值范围是()A.(-,-2B.(-,-1C.2,+)D.1,+)答案D2.(2023新课标,6,5分,中)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为()A.e2B.eC.e-1D.e-2答案C3.(2023新课标,19,12分,中)已知函数f(x)=a(ex+a)-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当a0时, f(x)2ln a+32.

2、解析(1)由已知得函数f(x)的定义域为R,f (x)=aex-1.当a0时, f (x)0时,令f (x)=0,则x=ln1a,当xln1a时, f (x)ln1a时, f (x)0, f(x)单调递增.综上所述,当a0时, f(x)在R上单调递减;当a0时, f(x)在,ln1a上单调递减,在ln1a,+上单调递增.(2)证明:由(1)知,当a0时, f(x)在,ln1a上单调递减,在ln1a,+上单调递增,则f(x)min=f ln1a=a1a+aln1a=1+a2+ln a.要证明f(x)2ln a+32,只需证明1+a2+ln a2ln a+32,即证a2-ln a-120.令g(x

3、)=x2-ln x-12(x0),则g(x)=2x-1x=2x21x.当0x22时,g(x)22时,g(x)0,g(x)单调递增,g(x)min=g22=12ln2212=ln22=ln20,g(x)0在(0,+)上恒成立,即a2-ln a-120,f(x)2ln a+32.4.(2023全国甲文,20,12分,中)已知函数f(x)=ax-sinxcos2x,x0,2.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)+sin x0,求a的取值范围.解析(1)当a=1时, f(x)=x-sinxcos2x,x0,2,f (x)=1-cos3x+2sin2xcosxcos4x=cos3xc

4、os2x2sin2xcos3x=cos3x+cos2x2cos3x0,cos3x0,则g(x)0,所以函数g(x)在0,2上单调递增,g(0)=0,当x2时,g(x)+,因为f(x)+sin xax在0,2上恒成立,即直线y=ax在0x0,所以f(x)在(0,+)上单调递增.若a0,则当x0,1a时, f (x)0;当x1a,+时,f (x)0时, f(x)在x=1a处取得最大值,最大值为f 1a=ln1a+a11a=-ln a+a-1.因此f 1a2a-2等价于ln a+a-10,则g(a)在(0,+)上单调递增,g(1)=0.于是,当0a1时,g(a)1时,g(a)0.因此,a的取值范围是

5、(0,1).考点2导数与函数的极(最)值1.(多选)(2023新课标,11,5分,中)若函数f(x)=aln x+bx+cx2(a0)既有极大值也有极小值,则()A.bc0B.ab0C.b2+8ac0D.ac0且a1)的极小值点和极大值点.若x10,得x4或x-1;令f (x)0,得-1x0,故f(x)0;当x(4,+)时,3-2x0,故f(x)0,f(x)max=f(-1)=1, f(x)min=f(4)=-14.6.(2019课标文,20,12分,中)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当0a0,则当x(-,0)a3,+时, f (x)0;当x0,a3时

6、, f (x)0.故f(x)在(-,0),a3,+单调递增,在0,a3单调递减;若a=0, f(x)在(-,+)单调递增;若a0;当xa3,0时, f (x)0.故f(x)在,a3,(0,+)单调递增,在a3,0单调递减.(2)当0a3时,由(1)知, f(x)在0,a3单调递减,在a3,1单调递增,所以f(x)在0,1的最小值为f a3=a327+2,最大值为f(0)=2或f(1)=4-a.当0af(0),最大值为f(1)=4-a.所以M-m=2-a+a327,0a2,对于函数y=a327-a+2,y=a29-1,当0a2时,y0,从而y=a327-a+2单调递减,此时827a327-a+2

7、2,即M-m的取值范围是827,2.(构造函数,利用函数单调性求值域)当2a3时, f(1)0时, f(x)在(-,0),a3,+单调递增,将这两个区间合并表示为f(x)在(-,0)a3,+单调递增导致错误,从而失分.7.(2023新课标,22,12分,难)(1)证明:当0x1时,x-x2sin xx;(2)已知函数f(x)=cos ax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的极大值点,求a的取值范围.解析(1)证明:令g(x)=x-x2-sin x,0x1,则g(x)=1-2x-cos x,令G(x)=g(x),得G(x)=-2+sin x0在区间(0,1)上恒成立,所以g(x)在区间(0,

8、1)上单调递减,因为g(0)=0,所以g(x)0在区间(0,1)上恒成立,所以g(x)在区间(0,1)上单调递减,所以g(x)g(0)=0,即当0x1时,x-x2sin x.令h(x)=sin x-x,0x1,则h(x)=cos x-10在区间(0,1)上恒成立,所以h(x)在区间(0,1)上单调递减,所以h(x)h(0)=0,即当0x1时,sin xx.综上,当0x1时,x-x2sin x0时, f (x)=-asin ax+2x1x2,x(-1,1).(i)当0a2x+2x1x2=x(a2x2+2a2)1x2,因为a2x20,2-a20,1-x20,所以f (x)0,所以f(x)在(0,m

9、)上单调递增,不合题意.(ii)当a2时,取x0,1a(0,1),则ax(0,1),由(1)可得f (x)=-asin ax+2x1x20,h1a=a3-a0,且h(x)的图象是开口向下的抛物线,所以x0,1a,均有h(x)0,所以h(x)在0,1a上单调递增.因为h(0)=2-a20,所以h(x)在0,1a内存在唯一的零点n.当x(0,n)时,h(x)0,1-x20.则f (x)x1x2(-a3x3+a2x2+a3x+2-a2)0.即当x(0,n)(0,1)时, f (x)2.当a0时,由于将f(x)中的a换为-a所得解析式不变,所以a5”是“函数f(x)在(1,2)上单调递减”的()A.充

10、分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A7.(多选)(2024届福建福州联考,10)设函数f(x)=x3-12x+b,则下列结论错误的是()A.函数f(x)在(-,-1)上单调递增B.函数f(x)在(-,-1)上单调递减C.若b=-6,则函数f(x)的图象在点(-2, f(-2)处的切线方程为y=10D.若b=0,则函数f(x)的图象与直线y=10只有一个公共点答案ABD8.(2024届江苏苏州中学模拟,14)已知函数g(x)=2x+ln x-ax在区间1,2上不单调,则实数a的取值范围是.答案(-10,-3)9.(2024届河南省实验中学月考,15)若函数f(

11、x)=x3-12x在区间(a,a+4)上存在最大值,则实数a的取值范围是.答案(-6,-2)10.(2024届湖北武汉二中测试,15)已知函数f(x)=ax4-4ax3+b,x1,4, f(x)的最大值为3,最小值为-6,则a+b的值是.答案103或19311.(2023重庆八中入学考,18)已知函数f(x)=ax+b+cos x(a,bR),若曲线f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y=12x+2.(1)求f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在0,2上的值域.解析(1)因为f(x)=ax+b+cos x(a,bR),所以f (x)=a-sin x,由题意得f(0)=b+cos0=2,

12、f (0)=asin0=12,即b+1=2,a=12,所以a=12,b=1,则f(x)=12x+1+cos x.(2)由(1)得f(x)=12x+1+cos x, f (x)=12-sin x,由f (x)0且x0,2可得0x6或56x2,函数f(x)在区间0,6和56,2上单调递增,由f (x)0且x0,2可得6x56,函数f(x)在区间6,56上单调递减.因此当x=6时,函数取得极大值f 6=126+1+cos6=1+12+32,当x=56时,函数取得极小值f 56=1256+1+cos56=1+51232,又f(0)=2, f(2)=122+1+cos 2=1+1=2+,1+512322

13、1+12+322+,所以函数f(x)在0,2上的最大值为2+,最小值为1+51232,所以f(x)在0,2上的值域为1+51232,2+.综合拔高练11.(2024届湖南长沙长郡中学月考,4)若0x1x2ln x2ln x1B.ex2ex1x1ex2D.x2ex11,ln aln a,所以S(a)=e212aln a,a(0,e),求导得S(a)=-12(1+ln a),令S(a)=0,得a=1e,所以S(a),S(a)的变化情况如表:a0,1e1e1e,eS(a)+0-S(a)极大值因此,S(a)的极大值也是最大值,为S1e=e2+12e.5.(2024届湖南长沙南雅中学开学考,21)已知函

14、数f(x)=ax-1x-(a+1)ln x(a0).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)既有极大值又有极小值,且极大值和极小值的和为g(a),解不等式g(a)2a-2.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+),对f(x)求导得f (x)=a+1x2a+1x=ax2(a+1)x+1x2=(ax1)(x1)x2,令f (x)=0,则x1=1,x2=1a.当a0时,ax-10,解得0x1,令f (x)1,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减;当a0时,当1a=1,即a=1时,f (x)0恒成立,所以f(x)在(0,+)上单调递增;当1a1,即0a0,解得0x1a,

15、令f (x)0,解得1x1a,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在1,1a上单调递减,在1a,+上单调递增;当1a1时,令f (x)0,解得0x1,令f (x)0,解得1ax1,所以f(x)在0,1a上单调递增,在1a,1上单调递减,在(1,+)上单调递增.综上所述:当a0时, f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减;当0a1时, f(x)在0,1a上单调递增,在1a,1上单调递减,在(1,+)上单调递增.(2)由(1)知:a0且a1,且g(a)=f 1a+f(1)=1-a+(a+1)ln a+a-1=(a+1)ln a.g(a)2a-2等价于(a+1)ln a0且a1),等

16、价于解不等式ln a-2(a1)a+10),(构造函数m(a),结合函数的单调性以及特殊值m(1)=0,从而解得不等式的解集)m(a)=1a4(a+1)2=(a1)2a(a+1)20,所以m(a)在(0,+)上单调递增,且m(1)=0,所以m(a)0=m(1),即不等式的解集为a|0af(3)=-7, f(2)=-14f(-3)=11,故函数f(x)在-3,3上的最小值为f(2)=-14,最大值为f(-2)=18.综合拔高练21.(多选)(2024届湖北宜昌中学阶段练,12)已知函数f(x)=ax+exx+aln1x在x12,2上有三个单调区间,则实数a的取值可以是()A.-eB.-2eC.e

17、22D.72答案BD2.(多选)(2024届安徽池州一中阶段练,10)已知函数f(x)=x3-2x2+ax,则下列说法正确的是()A.函数f(x)的极值点个数可能为0,1,2B.若函数f(x)有两个极值点,则a43C.若a=1,则函数f(x)在12,2上的最小值为18D.若a=1,则函数f(x)在12,2上的最大值为2答案BD3.(2024届湖北黄冈中学月考,14)定义在R上的函数f(x)=13x3-x+3.f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+)上是增函数.y=f (x)x在(0,+)上存在极小值.f(x)的图象在x=0处的切线与直线y=2x+2垂直.设g(x)=4ln x-m,若存在x

18、1,e,使得g(x)5-e2.以上描述中正确的是.(填序号)答案4.(2024届北京海淀北大附中校考,20)已知函数f(x)=eax(x-1)2.(1)若a=1,求曲线f(x)在(0, f(0)处的切线方程;(2)求f(x)的极大值与极小值.解析(1)当a=1时, f(x)=ex(x-1)2, f (x)=ex(x2-1),所以f (0)=e0(02-1)=-1,又f(0)=e0(0-1)2=1,所以切线方程为y-1=-(x-0),即x+y-1=0.(2)f (x)=aeax(x-1)2+2eax(x-1)=eax(x-1)(ax-a+2),当a=0时,令f (x)=2(x-1)=0,解得x=

19、1,故x1时, f (x)1时, f (x)0, f(x)单调递增,故x=1时, f(x)的极小值为f(1)=0,无极大值.当a0时,令f (x)=0,解得x1=1,x2=1-2a,故当x1时, f (x)0, f(x)单调递增,当1-2ax1时, f (x)0, f(x)单调递减,故f(x)的极大值为f 12a=4ea2a2,极小值为f(1)=0.当a0时,令f (x)=0,解得x1=1,x2=1-2a,故当x1-2a时, f (x)0, f(x)单调递减,当1x0, f(x)单调递增,故f(x)的极大值为f 12a=4ea2a2,极小值为f(1)=0.综上,当a=0时, f(x)的极小值为

20、f(1)=0,无极大值;当a0时, f(x)的极大值为f 12a=4ea2a2,极小值为f(1)=0.5.(2024届江苏镇江一中校考,19)已知函数f(x)=ex-x2-1.(1)判断f(x)在定义域上是否存在极值,若存在,求出其极值;若不存在,说明理由.(2)若f(x)ax在x0,+)上恒成立,求a的取值范围.解析(1)f(x)=ex-x2-1,f (x)=ex-2x,记h(x)=ex-2x,h(x)=ex-2,当xln 2时,h(x)0;当xln 2时,h(x)0,f(x)在R上单调递增,即在定义域R上不存在极值.(2)因为f(x)=ex-x2-1ax在x0,+)上恒成立,所以ex-x2-ax-10在x0,+)上恒成立.显然当x=0时不等式成立,当x0时,aexx21x恒成立,令g(x)=exx21x,x0,则g(x)=(x1)(exx1)x2,记F(x)=ex-x-1,x0,F(x)=ex-1,当x0时,F(x)0,F(x)单调递增,故F(x)F(0)=0,故当x0时,ex-x-10,当0x1时,g(x)1时,g(x)0,所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以当x=1时,g(x)min=e-2,所以ae-2.故实数a的取值范围是(-,e-2.