2025版新高考版高考总复习数学解三角形（十年高考）.docx

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1、2025版新高考版高考总复习数学5.4解三角形考点1 正弦定理、余弦定理1.(2023北京,7,4分)在ABC中,(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),则C=()A.6B.3C.23D.56答案B由正弦定理得(a+c)(a-c)=b(a-b),化简得ab=a2+b2-c2,由余弦定理的推论得cos C=a2+b2c22ab=ab2ab=12,又C(0,),C=3.2.(2023全国乙文,4,5分,易)在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A=c,且C=5,则B=()A.10B.5C.310D.25答案Cacos B-bcos

2、A=c,sin Acos B-sin Bcos A=sin C,sin(A-B)=sin C,A-B=C(A-B+C=舍去),又C=5,A-B=5,又A+B=45,B=310,故选C.一题多解由acos B-bcos A=c得sin Acos B-sin Bcos A=sin C,即sin Acos B-sin Bcos A=sin Acos B+cos Asin B,cos Asin B=0,又知sin B0,cos A=0,又A(0,),A=2.B=2C=25=310.故选C.3.(2021全国甲文,8,5分)在ABC中,已知B=120,AC=19,AB=2,则BC=()A.1B.2C.5

3、D.3答案D解题指导:思路一(利用余弦定理):已知角B,边c,b,利用余弦定理,得到关于a的一元二次方程,求解即可;思路二(利用正弦定理):已知角B,边b,c,借助正弦定理求出角C的正弦值,进而利用两角和的正弦公式及诱导公式求出角A,再借助正弦定理求出a.解析解法一:设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,在ABC中,由题意知b=19,c=2,由余弦定理得b2=c2+a2-2cacos B,即19=4+a2-22acos 120,整理得a2+2a-15=0,解得a=3或a=-5(舍),所以BC=3.故选D.解法二:在ABC中,由正弦定理得ACsinB=ABsinC,即19sin120=

4、2sinC,所以sin C=23219=319,又0C60,所以cos C=1sin2C=419,所以sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=32419+12319=33219,所以BC=19sinAsinB=193321932=3.4.(2018课标,理9,文11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为a2+b2c24,则C=()A.2B.3C.4D.6答案C根据余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C,因为SABC=a2+b2c24,所以SABC=2abcosC4,又SABC=12absin C,所以tan C=1,因为C

5、(0,),所以C=4.故选C.5.(2016课标文,4,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=5,c=2,cos A=23,则b=()A.2B.3C.2D.3答案D由余弦定理得5=22+b2-22bcos A,cos A=23,3b2-8b-3=0,b=3b=13舍去.故选D.评析本题考查了余弦定理的应用,考查了方程的思想方法.6.(2016山东文,8,5分)ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A).则A=()A.34B.3C.4D.6答案C在ABC中,由b=c,得cos A=b2+c2a22bc=2b2a22b2,又a2=

6、2b2(1-sin A),所以cos A=sin A,即tan A=1,又知A(0,),所以A=4,故选C.评析恰当运用余弦定理的变形形式是求解本题的关键.7.(2015广东文,5,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=23,cos A=32且bc,则b=()A.3B.22C.2D.3答案C由余弦定理b2+c2-2bccos A=a2,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,bb,B=45,A=75.易错警示本题求得sin B=22后,要注意利用bc确定B=45,从而求得A=75.17.(2017课标文,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

7、若2bcos B=acos C+ccos A,则B=.答案60解析解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin 2B=sin(180-B),可得B=60.解法二:由余弦定理得2ba2+c2b22ac=aa2+b2c22ab+cb2+c2a22bc,即ba2+c2b2ac=b,所以a2+c2-b2=ac,所以cos B=12,又0B0),有2=t2+t,即t2+t-2=0,解得t=1或t=-2(舍去),故bc=1.思路分析本题先由余弦定理列出关于b、c的方程,再将方程转化为以bc为变元的方程求解.评析本题考查余

8、弦定理的应用及换元思想的应用,属中档题.19.(2015福建理,12,4分)若锐角ABC的面积为103,且AB=5,AC=8,则BC等于.答案7解析设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由已知及12bcsin A=103得sin A=32,因为A为锐角,所以A=60,cos A=12.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+64-24012=49,故a=7,即BC=7.评析本题考查了三角形的面积和解三角形,利用三角形的面积求出cos A是求解关键.20.(2015安徽文,12,5分)在ABC中,AB=6,A=75,B=45,则AC=.答案2解析由已知及三角形内角和定理得C=6

9、0,由ABsinC=ACsinB知AC=ABsinBsinC=6sin45sin60=2.20.(2015福建文,14,4分)若ABC中,AC=3,A=45,C=75,则BC=.答案2解析B=180-45-75=60.由正弦定理得ACsinB=BCsinA,可得BC=2.21.(2015重庆文,13,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-14,3sin A=2sin B,则c=.答案4解析由3sin A=2sin B及正弦定理,得3a=2b,又a=2,所以b=3,故c2=a2+b2-2abcos C=4+9-22314=16,所以c=4.22.(2015

10、北京理,12,5分)在ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC=.答案1解析在ABC中,由余弦定理的推论可得cos A=b2+c2a22bc=52+6242256=34,由正弦定理可知sin2AsinC=2sinAcosAsinC=2acosAc=24346=1.评析本题主要考查正弦定理、余弦定理的推论以及二倍角公式的应用,考查学生的运算求解能力和知识的应用转化能力.23.(2014课标理,16,5分)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则ABC面积的最大值为.答案3解析因为a=2,所以(2+b

11、)(sin A-sin B)=(c-b)sin C可化为(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cos A=b2+c2a22bc=bc2bc=12,又0A0,则sin C=45.由已知及正弦定理得4sin A=5sin C,则sin A=55.(2)解法一:由sin C=45sin A=55,cos C=350,得AC2,cos A=255.sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=11525,由bsinB=asinA得a=bsinAsinB=5,故AB

12、C的面积S=12absin C=1251145=22.解法二:由cos C=35=a2+b2c22ab,得665a=a2+121-c2,将c=45a代入上式整理得a2+6a-55=0,解得a=5或a=-11(舍),ABC的面积S=12absin C=1251145=22.29.(2021新高考,19,12分)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsinABC=asin C.(1)证明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cosABC.解题指导:(1)利用正弦定理将题干中的边角关系转化为边之间的关系是解题突破口.(2)在不同的三角形中利用余弦定理探究边

13、长间的关系是解决本题第二问的关键.解析(1)证明:在ABC中,由BDsinABC=asin C及正弦定理可得BDb=ac,又b2=ac,所以BDb=b2,故BD=b.(2)由AD=2DC得AD=23b,DC=b3,在ABD中,cos A=AD2+AB2BD22ADAB=49b2+c2b2223bc=c259b243bc,在ABC中,cos A=AC2+AB2BC22ACAB=b2+c2a22bc.故c259b243bc=b2+c2a22bc,化简得3c2-11b2+6a2=0,又b2=ac,所以3c2-11ac+6a2=0,即(c-3a)(3c-2a)=0,所以c=3a或c=23a.当c=3a

14、时,b2=ac=3a2,所以b=3a,此时a+bc,故a,b,c构不成三角形;当c=23a时,b2=ac=23a2,所以b=63a,此时a,b,c可以构成三角形,故c=23a,b=63a,所以在ABC中,cosABC=a2+c2b22ac=a2+49a223a22a23a=712.30.(2021北京,16,13分)已知在ABC中,c=2bcos B,C=23.(1)求B的大小;(2)在三个条件中选择一个作为已知条件,使ABC存在且唯一确定,并求BC边上的中线的长度.c=2b;ABC的周长为4+23;SABC=334.解析(1)由c=2bcos B及正弦定理得,sin C=2sin Bcos

15、B,即sin C=sin 2B,C=23,0B3,sin 2B=32,2B=3,B=6.(2)由(1)可知三角形三内角均可求出,只有知道边长,三角形才能被唯一确定,因此选或.如图所示,设D为BC的中点,则AD为BC边的中线.若选,ABC的周长为4+23.c=3b,a=b,a+b+c=b+b+3b=2b+3b=4+23,b=2,则CD=1,在ACD中,由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2ACCDcos C=22+12-21212=7,AD=7,因此BC边上的中线长为7.若选,SABC=334.SABC=12absin C=34b2=334,即b=3,则CD=32,在ACD中,由余弦定理得AD2

16、=AC2+CD2-2ACCDcos C=3+34233212=214,AD=212.因此BC边上的中线长为212.31.(2022北京,16,13分)在ABC中,sin 2C=3sin C.(1)求C;(2)若b=6,且ABC的面积为63,求ABC的周长.解析 (1)sin 2C=3sin C,2sin Ccos C=3sin C,又sin C0,cos C=32.C(0,),C=6.(2)SABC=12absin C=12a6sin6=32a=63,a=43.由余弦定理得c2=(43)2+62-243632=12,c=23,ABC的周长为a+b+c=6+63.32.(2017课标理,17,1

17、2分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2B2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.解析本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用.(1)由题设及A+B+C=得sin B=8sin2B2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=1517.(2)由cos B=1517得sin B=817,故SABC=12acsin B=417ac.又SABC=2,则ac=172.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)

18、2-2ac(1+cos B)=36-21721+1517=4.所以b=2.解后反思在余弦定理和三角形面积公式的运用过程中,要重视“整体运算”的技巧.如本题中b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)中的转化就说明了这一点.33.(2017北京理,15,13分)在ABC中,A=60,c=37a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求ABC的面积.解析本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式.(1)在ABC中,因为A=60,c=37a,所以由正弦定理得sin C=csinAa=3732=3314.(2)因为a=7,所以c=377=3.由余弦定理a2=b2

19、+c2-2bccos A得72=b2+32-2b312,解得b=8或b=-5(舍).所以ABC的面积S=12bcsin A=128332=63.解后反思根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.在求解面积时,经常用余弦定理求出两边乘积.34.(2017山东文,17,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,ABAC=-6,SABC=3,求A和a.解析因为ABAC=-6,所以bccos A=-6,又SABC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0A0).则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入cosAa

20、+cosBb=sinCc中,有cosAksinA+cosBksinB=sinCksinC,变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)由已知,b2+c2-a2=65bc,根据余弦定理,有cos A=b2+c2a22bc=35.所以sin A=1cos2A=45.由(1),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以45sin B=45cos B+35sin B,故tan B=sinBcosB=4.方法总

21、结解三角形中,要根据题干条件恰当选取正、余弦定理,当涉及边较多时,可考虑余弦定理,当涉及角较多时,可考虑正弦定理.ABC中,也常用到sin(A+B)=sin C.评析本题考查了正、余弦定理及同角三角函数的基本关系式,根据条件恰当选择正、余弦定理是解题的关键.36.(2016浙江文,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若cos B=23,求cos C的值.解析(1)由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B

22、+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B,所以,B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由cos B=23得sin B=53,cos 2B=2cos2B-1=-19,故cos A=-19,sin A=459,cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=2227.评析本题主要考查正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.37.(2016课标理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)

23、若c=7,ABC的面积为332,求ABC的周长.解析(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分)2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.(4分)可得cos C=12,所以C=3.(6分)(2)由已知,得12absin C=332.又C=3,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.(10分)所以ABC的周长为5+7.(12分)解后反思本题属解三角形问题中的常见题型,要先利用正弦、余弦定理,将已知中的“边”或“角”的关

24、系式,转化为只有“边”或只有“角”的方程形式,进而通过三角函数或代数知识求解方程.解题中要注意三角形的一些性质应用,例如:sin(A+B)=sin C,SABC=12absin C.评析本题重点考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,同时,对三角恒等变换的公式也有所考查.在解题过程中,要注意先将已知条件中的“边”与“角”的关系,通过正弦定理转化为“角”之间的关系,再运用三角函数知识求解.38.(2016浙江理,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若ABC的面积S=a24,求角A的大小.解析(1)由正弦定理得

25、sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B,所以,B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由S=a24得12absin C=a24,故有sin Bsin C=12sin 2B=sin Bcos B,因sin B0,得sin C=cos B.又B,C(0,),所以C=2B.当B+C=2时,A=2;当C-B=2时,A=4.综上,A=2或A=4.思路分析(1)由正弦定理及两角和的正弦

26、公式将已知条件转化为A与B的三角函数关系,利用A,B的范围诱导公式得出A与B的关系;(2)利用三角形的面积公式将已知条件转化为C与B的三角函数关系,再由B,C的范围及诱导公式求A的大小.评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.39.(2015课标理,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.解析(1)SABD=12ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2A

27、C.由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=12.(2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD=2.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.评析本题考查正弦定理,余弦定理的应用,以及三角形的面积公式.属常规题,中等偏易.40.(2015课标文,17,12分)已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C.(1)若a=b,求cos B;(2)设B=90,且a=2,求ABC的面积.解

28、析(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cos B=a2+c2b22ac=14.(6分)(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90,由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,得c=a=2.所以ABC的面积为1.(12分)评析本题考查了正弦定理、余弦定理;考查了解三角形的基本方法,属容易题.41.(2015浙江理,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=4,b2-a2=12c2.(1)求tan C的值;(2)若ABC的面积为3,求b的值.解析(1)由b2-a2=12c2及正弦定理得sin2B-12=12

29、sin2C,所以-cos 2B=sin2C.又由A=4,即B+C=34,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,解得tan C=2.(2)由tan C=2,C(0,)得sin C=255,cos C=55.又因为sin B=sin(A+C)=sin4+C,所以sin B=31010.由正弦定理得c=223b,又因为A=4,12bcsin A=3,所以bc=62,故b=3.评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.42.(2015山东理,16,12分)设f(x)=sin xcos x-cos2x+4.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若fA2=0,a=1,求ABC面积的最大值.解析(1)由题意知f(x)=sin2x2-1+cos2x+22=sin2x2-1sin2x2=sin 2x-12.由-2+2k2x2+2k,kZ,可得-4+kx4+k,kZ;由2+2k2x32+2k,kZ,可得4+kx34+k,kZ.所以f(x)