2025版新高考版高考总复习数学 导数的概念及运算（十年高考）.docx

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1、2025版新高考版高考总复习数学 专题四 导数及其应用4.1导数的概念及运算考点导数的运算及几何意义1.(2023全国甲文,8,5分)曲线y=exx+1在点1,e2处的切线方程为()A.y=e4xB.y=e2xC.y=e4x+e4D.y=e2x+3e4答案C由y=exx+1,可得y=xex(x+1)2,则y|x=1=e4,曲线在点1,e2处的切线方程为y-e2=e4(x-1),即y=e4x+e4,故选C.2.(2016四川理,9,5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)=lnx,0x1图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取

2、值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+)D.(1,+)答案A设l1是y=-ln x(0x1)的切线,切点P2(x2,y2),l1:y-y1=-1x1(x-x1),l2:y-y2=1x2(x-x2),-得xP=y1y2+21x1+1x2,易知A(0,y1+1),B(0,y2-1),l1l2,-1x11x2=-1,x1x2=1,SPAB=12|AB|xP|=12|y1-y2+2|y1y2+2|1x1+1x2=12(y1y2+2)2x1+x2x1x2=12(ln x1ln x2+2)2x1+x2=12ln(x1x2)+22x1+x2=124x1+x2=2x1+x2,又0x11,x1x2

3、=1,x1+x22x1x2=2,0SPAB1.故选A.思路分析设出点P1,P2的坐标,进而根据已知表示出l1,l2,然后求出点A、B的坐标及xP,最后利用点在曲线上及垂直的条件求出面积表达式,从而求出面积的取值范围.评析本题考查了利用导数求切线问题,及考生的运算能力.3.(2014课标理,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3答案Dy=a-1x+1,当x=0时,y=a-1=2,a=3,故选D.4.(2021新高考,7,5分)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则()A.ebaB.eabC.0aebD.0b0且k

4、趋向于0,当x+时,曲线y=ex的切线的斜率k0且k趋向于+,结合图象可知,两切线的交点应该在x轴上方,且在曲线y=ex的下方,0bea,故选D.解法二:易知曲线y=ex在点P(t,et)处的切线方程为y-et=et(x-t),切线过点(a,b),b-et=et(a-t),整理得et(t-a-1)+b=0.令f(t)=et(t-a-1)+b,则f (t)=et(t-a),当ta时, f (t)a时, f (t)0,f(t)在(-,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增,当t=a时, f(t)取得最小值f(a)=-ea+b.由已知得, f(t)的零点的个数即为过点(a,b)的切线条数,f(t)有

5、且仅有2个零点.f(a)=-ea+b0,即bea.若b0,则当ta时,t-a-10,et(t-a-1)0,则f(t)0,f(t)在(-,a)上无零点,而f(t)在a,+)上至多有一个零点,不合题意.若0bea,由以上讨论可知,f(t)在(-,a)上为减函数,在(a,+)上为增函数,f(t)min=f(a)=-ea+b0,f(a+1)=b0,由零点存在性定理可知f(t)在(-,a)和a,+)上各有一个零点,结合f(t)的单调性知f(t)有且只有两个零点.综上,0b0时,y=ln x,设切点坐标为(x0,ln x0),y=1x,切线斜率k=y|x=x0=1x0,故切线方程为y-ln x0=1x0(

6、x-x0),又知切线过原点(0,0),-ln x0=-1,x0=e,故切线方程为y-1=1e(x-e),即y=1ex.由偶函数图象的对称性可知另一条切线方程为y=-1ex,故过坐标原点的两条切线方程为y=1ex和y=-1ex.7.(2022新高考,15,5分)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是.答案 (-,-4)(0,+)解析设f(x)=(x+a)ex,则f (x)=(x+a+1)ex,设切点为(x0,(x0+a)ex0),因此切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0),又切线过原点(0,0),-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0

7、(-x0),整理得x02+ax0-a=0,又切线有两条,关于x0的方程x02+ax0-a=0有两不等实根,故=a2+4a0,解得a0或a0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案(1,1)解析函数y=ex的导函数为y=ex,曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.设P(x0,y0)(x00),函数y=1x的导函数为y=-1x2,曲线y=1x(x0)在点P处的切线的斜率k2=-1x02,则有k1k2=-1,即11x02=-1,解得x02=1,又x00,x0=1.又点P在曲线y=1x(x0)上,y0=1,故点P的坐标为(1,1).18.(2012课标文,13,5分)曲线y=x(3l

8、n x+1)在点(1,1)处的切线方程为.答案y=4x-3解析y=3ln x+1+x3x=3ln x+4,k=y|x=1=4,切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.评析本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力.19.(2020新高考,21,12分)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)1,求a的取值范围.解析f(x)的定义域为(0,+),f (x)=aex-1-1x.(1)当a=e时,f(x)=ex-ln x+1,f (1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f

9、(1)处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直线y=(e-1)x+2在x轴,y轴上的截距分别为2e1,2.因此所求三角形的面积为2e1.(2)当0a1时,f(1)=a+ln a1.当a=1时,f(x)=ex-1-ln x,f (x)=ex-1-1x.当x(0,1)时,f (x)0.所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)1.当a1时,f(x)=aex-1-ln x+ln aex-1-ln x1.综上,a的取值范围是1,+).名师点评:本题第(2)问中,由不等式成立求参数的取值范围,常规解法是分离参数转化为求函数的最值问题,而本

10、题中参数分布范围较广,无法分离,所以要对参数进行分类讨论,怎样分类是本题的一个难点,特别是当a1时,证明f(x)1需要用到a=1时的结论,思路很窄,技巧性较强.20.(2022全国甲文,20,12分)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1, f(x1)处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范围.解析 解法一:由题意可知f (x)=3x2-1, f(x1)=x13-x1,则曲线y=f(x)在点(x1, f(x1)处的切线方程为y-(x13-x1)=(3x12-1)(x-x1),即y=(3x12-1)x-2x13.因为曲线

11、y=f(x)在点(x1, f(x1)处的切线也是曲线y=g(x)的切线,所以y=(3x121)x2x13,y=x2+a有且仅有一组解,即方程x2-(3x12-1)x+2x13+a=0有两个相等的实数根,从而=(3x12-1)2-4(2x13+a)=04a=9x148x136x12+1.(1)若x1=-1,则4a=12a=3.(2)4a=9x148x136x12+1,令h(x)=9x4-8x3-6x2+1,则h(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1),令h(x)0,得-13x1,令h(x)0,得x-13或0x0,g(x)单调递增.若a=0,显然不满足.若a0,则当x(-1,1)时,h(x)0,h(x)单调递增,此时g(x)和h(x)在(-1,0)上无交点.若a0,h(x)在(-1,1)上单调递增,当x(1,+)时,h(x)0,h(x)在(1,+)上单调递减.(i)当x+时,h(x)0,g(x)+,且g(0)=h(0)=0,要满足g(x)和h(x)的图象在(0,+)上有一个交点,需g(0)h(0),解得a-1;(ii)当x=-1时,h(-1)=ae,当x-1时,g(x)-,且g(0)=h(0)=0,要满足g(x)和h(x)的图象在(-1,0)上有一个交点,也需要g(0)h(0),解得a-1.综上所述,a的取值范围为(-,-1).