2024年高考全国甲卷数学(理)真题(附答案).docx
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1、绝密启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷理科数学使用范围:陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项:1答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上2答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号3答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上4所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效5考试结束后,只将答题卡交回一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 设,则( )A B. C. 10D. 2. 集合,则( )A.
2、 B. C. D. 3. 若实数满足约束条件,则的最小值为( )A. B. C. D. 4. 等差数列的前项和为,若,则( )A. B. C. 1D. 25. 已知双曲线的两个焦点分别为,点在该双曲线上,则该双曲线的离心率为( )A. 4B. 3C. 2D. 6. 设函数,则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A. B. C. D. 7. 函数在区间的大致图像为( )A. B. C. D. 8. 已知,则( )A. B. C. D. 9. 已知向量,则( )A. “”是“”的必要条件B. “”是“”的必要条件C. “”是“”充分条件D. “”是“”的充分条件10. 设两个平面,是
3、两条直线,且.下列四个命题:若,则或 若,则若,且,则 若与和所成的角相等,则其中所有真命题的编号是( )A. B. C. D. 11. 在中内角所对边分别,若,则( )A. B. C. D. 12. 已知b是的等差中项,直线与圆交于两点,则的最小值为( )A. 2B. 3C. 4D. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13. 的展开式中,各项系数的最大值是_14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为和,母线长分别为和,则两个圆台的体积之比_15. 已知,则_16. 有6个相同的球,分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中不放回地随机抽取3次,每次取1个球.记为前两次取出的球上
4、数字的平均值,为取出的三个球上数字的平均值,则与差的绝对值不超过的概率是_三、解答题:共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤第17题第21题为必考题,每个考题考生必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共60分17. 某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表:优级品非优级品甲车间乙车间能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异?(2
5、)已知升级改造前该工厂产品的优级品率,设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果,则认为该工厂产品的优级品率提高了,根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?()附:0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818. 记为数列的前项和,且(1)求的通项公式;(2)设,求数列的前项和为19. 如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形,为的中点(1)证明:平面;(2)求二面角的正弦值20. 设椭圆的右焦点为,点在上,且轴(1)求的方程;(2)过点的直线与交于两点,为线段的中点,
6、直线交直线于点,证明:轴21 已知函数(1)当时,求的极值;(2)当时,恒成立,求的取值范围(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答,并用2B铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分,如果多做,则按所做的第一题计分选修4-4:坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)写出的直角坐标方程;(2)设直线l:(为参数),若与l相交于两点,若,求的值.选修4-5:不等式选讲23. 实数满足(1)证明:;(2)证明:绝密启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷理科数学使用范围:陕西、宁夏、青海
7、、内蒙古、四川注意事项:1答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上2答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号3答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上4所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效5考试结束后,只将答题卡交回一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 设,则( )A. B. C. 10D. 【答案】A【解析】【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.【详解】由,则.故选:A2. 集合,则( )A.
8、 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由集合的定义求出,结合交集与补集运算即可求解.【详解】因为,所以,则, 故选:D3. 若实数满足约束条件,则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】画出可行域后,利用的几何意义计算即可得.【详解】实数满足,作出可行域如图:由可得,即的几何意义为的截距的,则该直线截距取最大值时,有最小值,此时直线过点,联立,解得,即,则.故选:D.4. 等差数列的前项和为,若,则( )A. B. C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】由结合等差中项的性质可得,即可计算出公差,即可得的值.【详解】由,则,则等差数列的公差,故.故选:B.5
9、. 已知双曲线的两个焦点分别为,点在该双曲线上,则该双曲线的离心率为( )A. 4B. 3C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距,结合双曲线定义计算可得,即可得离心率.【详解】设、,则,则,则.故选:C.6. 设函数,则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程,即可得其与坐标轴交点坐标,即可得其面积.【详解】,则,即该切线方程为,即,令,则,令,则,故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.故选:A.7. 函数在区间的大致图像为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】
10、【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C,代入可得,可排除D.【详解】,又函数定义域为,故该函数为偶函数,可排除A、C,又,故可排除D.故选:B.8. 已知,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先将弦化切求得,再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为,所以,所以,故选:B.9. 已知向量,则( )A. “”是“”的必要条件B. “”是“”的必要条件C. “”是“”的充分条件D. “”是“”的充分条件【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程,解出即可.【详解】对A,当时,则,所以,解得或,即必要性不成立,故A错误;对C,当时,故,所以,即充分性成立
11、,故C正确;对B,当时,则,解得,即必要性不成立,故B错误;对D,当时,不满足,所以不成立,即充分性不立,故D错误.故选:C.10. 设是两个平面,是两条直线,且.下列四个命题:若,则或 若,则若,且,则 若与和所成的角相等,则其中所有真命题的编号是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断;举反例即可判断;根据线面平行的性质即可判断.【详解】对,当,因为,则,当,因为,则,当既不在也不在内,因为,则且,故正确;对,若,则与不一定垂直,故错误;对,过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线,因为,过直线的平面与平面的交线为直线,则根据线面平行的性质定理
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