二次函数精讲 .doc

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1、考点一 二次函数的系数特征 【例1】 1.抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）ABCD2.已知二次函数y=ax22ax+1（a0）图象上三点A（1，y1），B（2，y2）C（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（）Ay1y2y3 By2y1y3 Cy1y3y2 Dy3y1y2方法总结 1将抛物线解析式写成ya(xh)2k的形式，则顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线xh，也可应用对称轴公式x，顶点坐标（-，)来求对称轴及顶点坐标2比较两个二次函数值大小的方法：(1)直接代入自变量求值法；(2)当自变量在对称轴

2、两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断；(3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断考点二、二次函数系数的符号及其之间的关系【例2】 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：2a+b0；bac；若1mn1，则m+n；3|a|+|c|2|b|其中正确的结论是（写出你认为正确的所有结论序号）方法总结 根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性解题时应注意a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴由a，b共同决定，b24ac决定抛物线与x轴的交点情况当x1时，决定abc的符号，当x1时，决

3、定abc的符号在此基础上，还可推出其他代数式的符号运用数形结合的思想更直观、更简捷举一反三 1.二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：b24ac0； 4a+c2b； （a+c）2b2； x（ax+b）ab其中正确结论的是（请把正确结论的序号都填在横线上）考点三、二次函数图象的平移【例3】二次函数y2x24x1的图象怎样平移得到y2x2的图象()A向左平移1个单位，再向上平移3个单位B向右平移1个单位，再向上平移3个单位C向左平移1个单位，再向下平移3个单位D向右平移1个单位，再向下平移3个单位方法总结 二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转

4、化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作考点四、确定二次函数的解析式【例4】如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，)，以点C为顶点的抛物线yax2bxc恰好经过x轴上A，B两点(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式方法总结 用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式【所有：21教育】考点五、二次函数的实际应用【例5】大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，

5、利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60+x（元/件）（x0即售价上涨，x0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？方法总结 运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题

6、的方法是：2-1-c-n-j-y1列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围2在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值考点六、二次函数的面积问题【例6】如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：y=mx22mx3m（m0）的顶点（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得PBC的面积最大？若存在，求出PBC面

7、积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当BDM为直角三角形时，求m的值方法总结 对于此类二次函数题型考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想 考点七、二次函数的综合应用【例7】如图抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC、CD、AD（1）求该二次函数的解析式；（2）求ACD的面积；（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由方法总

8、结 此类题型主要考查二次函数与其他知识点的综合应用，利用待定系数法求函数解析式，利用勾股定理、勾股定理的逆定理求三角形的形状；利用平行四边形的性质：对角线互相平分，对边相等是求出题中P点的关键所以对于考查二次函数与三角形、四边形、圆、相似等相关知识的结合性题目时一定要把握好它们的性质及其常考定理与推理的综合应用举一反三 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（4，0），B（0，4），C（2，0）三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=x上的动点，判断有

9、几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标一、 选择题3给出下列命题及函数，和的图象如果，那么；如果，那么；如果，那么；如果时，那么。则 （ ） A. 正确的命题是 B. 错误的命题是C. 正确的命题是 D. 错误的命题只有7已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（1，3），与x轴的一个交点在（3，0）和（2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：b2-4ac0；ca=3；a+b+c0；方程ax2+bx+c=m（m2）一定有实数根，其中正确的结论为（）A B C D二、填空题1函数y=x2+2x+1，当y=0时，x=；当1x2时，y随 x的增大而（填

10、写“增大”或“减小”）2函数的最大值与最小值分别为 .3已知函数，下列说法： 方程必有实数根；若移动函数图象使其经过原点，则只能将图象向右移动1个单位；当k3时，抛物线顶点在第三象限；若k0，则当x-1时，y随着x的增大而增大. 其中正确的序号是 . 4.在平面直角坐标系中，点M是直线y=3与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=2的解的个数是 5若m、n（mn）是关于x的方程（xa）（xb）+2=0的两根，且ab，则a，b，m，n的大小关系用“”连接的结果是 6.设二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点（3，0），（7，8），当3x7时，

11、y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是 7已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C若ABC为等腰三角形，则k的值为 8如图，将二次函数y=x2m（其中m0）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为y1，另有一次函数y=x+b的图象记为y2，则以下说法：（1）当m=1，且y1与y2恰好有三个交点时，b有唯一值为1；（2）当b=2，且y1与y2恰有两个交点时，m4或0m；（3）当m=b时，y1与y2至少有2个交点，且其中一个为（0，m）；（4）当m=b时，y1与y2一定有交点其中正确说法的序号为 9如图，抛物线y=a（x1）2+（a0）经过y轴正半轴上的点A

12、，点B，C分别是此抛物线和x轴上的动点，点D在OB上，且AD平分ABO的面积，过D作DFBC交x轴于F点，则DF的最小值为三、解答题1当k分别取0，1时，函数y=（1k）x24x+5k都有最小值吗？写出你的判断，并说明理由2设函数y=（x1）（k1）x+（k3）（k是常数）（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时的函数的图象；（2）根据图象，写出你发现的一条结论；（3）将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到的函数y3的图象，求函数y3的最小值3己知常数a（a是常数）满足下面两个条件：二次函数y1=（x+4）（x5a7）的图象与

13、x轴的两个交点于坐标原点的两侧；一次函数y2=ax+2的图象在一、二、四象限；（1）求整数a的值；（2）在所给直角坐标系中分别画出y1、y2的图象，并求当y1y2时，自变量x的取值范围4复习课中，教师给出关于x的函数.教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写道黑板上.学生思考后，黑板上出现了一些结论，教师作为活动医院，又补充一些结论，并从中选择如下四条：存在函数，其图像经过（1,0）点；函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。教师：请你分别判断四条结论的真假，

14、并给出理由.最后简单写出解决问题时所用的数学方法。5已知函数y=（n+1）xm+mx+1n（m，n为实数）（1）当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由；（2）若它是一个二次函数，假设n1，那么：当x0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；它一定经过哪个点？请说明理由6已知抛物线p：y=x2（k+1）x+1和直线l：y=kx+k2：（1）对下列命题判断真伪，并说明理由：无论k取何实数值，抛物线p总与x轴有两个不同的交点；无论k取何实数值，直线l与y轴的负半轴没有交点；（2）设抛物线p与y轴交点为C，与x轴的交点为A、B，原点O不在

15、线段AB上；直线l与x轴的交点为D，与y轴交点为C1，当OC1=OC+2且OD2=4AB2时，求出抛物线的解析式及最小值7已知抛物线y1=ax2+bx+c（a0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2=x+n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围8已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，4）（1）试写出b，c之间的关系式；（2）当a0时，若一次函数y=x+4的图象与y轴及该抛物线的交点依次为D，E，F，且E，F的横坐标x1与x2之间满足关系x2=6x121*cnjy*com求ODE

16、与OEF的面积比；是否存在a，使得EPF=90？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由9已知二次函数h=x2（2m1）x+m2m（m是常数，且m0）（1）证明：不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点；（2）若A（n3，n2+2）、B（n+1，n2+2）是该二次函数图象上的两个不同点，求二次函数解析式和m的值； （3）设二次函数h=x2（2m1）x+m2m与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1x2），若y是关于m的函数，且y=2，请结合函数的图象回答：当ym时，求m的取值范围 10为控制H7N9病毒传播，某地关闭活禽交易，冷冻鸡肉销量上升. 某公司在春节期间采购冷冻鸡肉60

17、箱销往城市和乡镇.已知冷冻鸡肉在城市销售平均每箱的利润 y1(百元)与销售数量x(箱)的关系为，在乡镇销售平均每箱的利润y2(百元)与销售数量t（箱）的关系为：（1）t与x的关系是 ；将y2转换为以x为自变量的函数，则y2 ； （2）设春节期间售完冷冻鸡肉获得总利润W（百元），当在城市销售量x（箱)的范围是0x20时，求W与x的关系式；（总利润在城市销售利润在乡镇销售利润） （3）经测算，在20x30的范围内，可以获得最大总利润，求这个最大总利润，并求出此时x的值.11把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度h（米）适用公式h=20t5t2（0t4）（1）当t=3时，

18、求足球距离地面的高度；（2）当足球距离地面的高度为10米时，求t；（3）若存在实数t1，t2（t1t2）当t=t1或t2时，足球距离地面的高度都为m（米），求m的取值范围12已知函数y1=ax2+bx，y2=ax+b（ab0）在同一平面直角坐标系中（1）若函数y1的图象过点（1，0），函数y2的图象过点（1，2），求a，b的值（2）若函数y2的图象经过y1的顶点求证：2a+b=0；当1x时，比较y1，y2的大小13在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（0，2）和点B（2，2），且点C与点B关于坐标原点对称（1）求b，c的值，并判断点C是否在此抛物线上，并

19、说明理由；（2）若点P为此抛物线上一点，它关于x轴，y轴的对称点分别为M，N，问是否存在这样的P点使得M，N恰好都在直线BC上？如存在，求出点P的坐标，如不存在，并说明理由；（3）若点P与点Q关于原点对称，当点P在位于直线BC下方的抛物线上运动时，求四边形PBQC的面积的最大值14设抛物线y=（x+1）（x2）与x轴交于A、C两点（点A在点C的左边），与y轴交于点B（1）求A、B、C三点的坐标；（2）已知点D在坐标平面内，ABD是顶角为120的等腰三角形，求点D的坐标；（3）若点P、Q位于抛物线的对称轴上，且PQ=，求四边形ABQP周长的最小值15如图，抛物线C1：y=x2+bx+c经过原点，

20、与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m0）个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C（1）求抛物线C1的解析式及顶点坐标；（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式；（3）若抛物线C2的对称轴存在点P，使PAC为等边三角形，求m的值16如图，在平面直角坐标系中，O的圆心在坐标原点，半径为3过A（7，9），B（0，9）的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a0）与x轴交于D，E （点D在点E右边）两点，连结AD（1）若点D的坐标为D（3，0）请直接写出此时直线AD与O的位

21、置关系；求此时抛物线对应的函数关系式；（2）若直线AD和O相切，求抛物线二次项系数a的值；（3）当直线AD和O相交时，直接写出a的取值范围17在平面直角坐标系中，现将一块含30的直角三角板ABC放在第二象限，30角所对的直角边AC斜靠在两坐标轴上，且点A（0，3），点C（，0），如图所示，抛物线y=ax2+3ax3a（a0）经过点B（1）写出点B的坐标与抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ACP仍然是以AC为直角边的含30角的直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；21教育网（3）设过点B的直线与交x轴的负半轴于点D，交y轴的正半轴于点E，求DOE面积的最小值18如图，

22、点P是直线：y=2x2上的一点，过点P作直线m，使直线m与抛物线y=x2有两个交点，设这两个交点为A、B：（1）如果直线m的解析式为y=x+2，直接写出A、B的坐标；（2）如果已知P点的坐标为（2，2），点A、B满足PA=AB，试求直线m的解析式；（3）设直线与y轴的交点为C，如果已知AOB=90且BPC=OCP，求点P的坐标19如图，在ABC中，点A，B分别在x轴的正、负半轴上（其中OAOB），点C在y轴的正半轴上，AB=10，OC=4，ABC=ACO（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点D的坐标为（4，0），P是该抛物线上的一个动点直线DP交直线BC于点E，当BDE是等腰

23、三角形时，直接写出此时点E的坐标；连结CD，CP，若PCD=CBD，请求出点P的坐标1物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x32101y60466从上表可知，下列说法正确的有多少个抛物线与x轴的一个交点为（2，0）；抛物线与y轴的交点为（0，6）；抛物线的对称轴是直线；抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；在对称轴左侧，y随x增大而减少A2 B3 C4 D52要将抛物线y=x2+2x+3平移后得到抛物线y=x2，下列平移方法正确的是（）A向左平移1个单位，再向上平移2个单位B向左平移1个单位，再向下平移2个单位C向右平移1个单位，再向上平移2个单位D向右平移1个

24、单位，再向下平移2个单位3已知两点均在抛物线y=ax2+bx+c上，点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围是（ ）21世纪教育网所有A B C D4二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象如图，下列结论：abc0；2a+b=0；当m1时，a+bam2+bm；ab+c0；若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1x2，x1+x2=2其中正确的有（D）A B C D5二次函数y=x2+bx+c与直线y=x的图象如图所示，有以下结论：b24c0；3b+c+6=0；当x2+bx+c1时，x1；当x2+bx+c时，x；当1x3时，x2+（b1）x+c0其中正确结论的编号是 6已知函数的图象如图所示，观察

25、图象，则当函数值y8时，对应的自变量x的取值范围是 7函数y=kx+33k必过定点 ，若其与函数的交点恰好有2个，则k的值为 8已知函数，若使y=k成立的x值恰好有四个，则k的取值范围为 9在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y），给出如下定义：若y=，则称点Q为点P的“可控变点”例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（1，3）的“可控变点”为点（1，3）（1）若点（1，2）是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为（2）若点P在函数y=x2+16（5xa）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y的取值范围是16y16，则实数a的取值范围是 10某企业接

26、到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足下列关系式：y=（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润=出厂价成本）（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多48元，则第（m+1）天每只粽子至少应提价几元？11小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如

27、果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a10，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a20，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”求函数y=x2+3x2的“旋转函数”小明是这样思考的：由函数y=x2+3x2可知，a1=1，b1=3，c1=2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”请参考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y=x2+3x2的“旋转函数”；（2）若函数y=x2+mx2与y=x22nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2015的值；（3）已知

28、函数y=（x+1）（x4）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=（x+1）（x4）互为“旋转函数”12.如图，已知ABC的三个顶点坐标分别为A(4，0)、B(1，0)、C(2，6)(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;21世纪教育网(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与ABC相似吗？13.已知函数y= (m为常数)。（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有交点；（2）当m

29、为何值时，函数图像过原点，并指出此时函数图像与x轴的另一个交点；（3）在(2)的情况下，怎样平移使得顶点落在x轴上，直接写出平移前后图象、对称轴和y轴围成的图形的面积。14.已知关于x的函数（k是常数），设k分别取0，1，2时，所对应的函数为、，某学习小组通过画图、探索，得到以下结论：满足的x取值范围是1x1； 当k1时，在直线的左侧，必有函数图象y随x的增大而减小；函数与的图象的关于点（0, 1）中心对称；若与的图象交于A，B两点，存在整数k，函数图象与y轴交于点C，满足ABC为直角三角形.请你判断结论的真假，并说明理由.最后简单写出解决问题时所用的数学方法.15.如图，抛物线y=ax2+b

30、x+c（a0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标16.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0，c0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（2，0），（8，0），（0，4）；求此抛物线的表达式与点D的坐标；若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标