《高等数学》练习题库及答案 .doc

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1、高等数学高等数学练习测试题库练习测试题库及答案及答案 一选择题一选择题 1.函数 y=112x 是（）A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设 f(sin2x)=cosx+1,则 f(x)为（）A 2x22 B 22x2 C 1x2 D 1x2 3下列数列为单调递增数列的有（）A0.9，0.99，0.999，0.9999 B23，32，45，54 Cf(n),其中 f(n)=为偶数，为奇数nnnnnn1,1 D.nn212 4.数列有界是数列收敛的（）A充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5下列命题正确的是（）A发散数列必无界 B两无界数列之和必无界

2、C两发散数列之和必发散 D两收敛数列之和必收敛 61)1sin(lim21xxx（）A.1 B.0 C.2 D.1/2 7设xxxk)1(lime6 则 k=()A.1 B.2 C.6 D.1/6 8.当 x1 时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（）A.x2-1 B.x3-1 C.(x-1)2 D.sin(x-1)9.f(x)在点 x=x0处有定义是 f(x)在 x=x0处连续的（）A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|2）有 210210226021arcsin112111111xxdxxdxxxnn 即，210)2(,6121nxdxn 3设)(x

3、f，g(x)区间)0(,aaa上连续，g(x)为偶函数，且)(xf满足条件 。为常数)()()(AAxfxf证明：aaadxxgAdxxgxf0)()()(证明：dxxgxfdxxgxfdxxgxfaaaa00)()()()()()(dxxgxfduugufuxdxxgxfaaa000)()()()()()(令 aaaaaadxxgAdxxgxfxfdxxgxfdxxgxfdxxgxf0000)()()()()()()()()()(4设 n 为正整数，证明2020cos21sincosxdxxdxxnnnn 证明：令 t=2x,有 0120201s in212)2(s in21s inc o

4、st d txdxx d xxnnnnnn ,s ins in212201t d tt d tnnn 又，02202sin)(sinsinududuuuttdtnnn，所以，2202020201sin21sin21)sinsin(21sincosxdxtdttdttdtxdxxnnnnnnnnn 又，20022coscos2sinxdxtdttxxdxnnn 因此，2020cos21sincosxdxxdxxnnnn 5设)(t是正值连续函数，),0(,)()(aaxadtttxxfaa则曲线)(xfy 在aa,上是凹的。证明：xaaxdttxtdtttxxf)()()()()(xaaxxax

5、adttxdtttdtttdttx)()()()(xaxaxaaxdttdttdttdttxf)()()()()(0)(2)()()(xxxxf 故，曲线)(xfy 在aa,上是凹的。6.证明：1112211xxxdxxdx 证明：111111122221211)1(1111xxxxuxxdxududuuuxdx令 7设)(xf是定义在全数轴上，且以 T 为周期的连续函数，a 为任意常数，则 TaaTdxxfdxxf0)()(证明：aaaTxfxfTxfTuxTaTdxxfdxTxfduTufdxxf000)()()()()()()(为周期以令 0)()(0TaTadxxfdxxf 在等式两端

6、各加Tdxxf0)(，于是得TaaTdxxfdxxf0)()(8若)(xf是连续函数，则xxuduufuxdudttf000)()()(证明：xuxuduuufxdttfududttf0000)(0)()(xxduuufdttfx00)()(xduufux0)()(9设)(xf，)(xg在ba,上连续，证明至少存在一个),(ba使得 abdxxfgdxxgf)()()()(证明：作辅助函数xabxdttgdttfxF)()()(，由于)(xf,)(xg在ba,上连续，所以)(xF在ba,上连续，在（a,b）内可导，并有0)()(bFaF 由洛尔定理),(,0)(baF 即xbxxaxxxabx

7、xgdttfdttgxfdttgdttf)()()()()()(badxxfgdxxgf)()()()(0 亦即，abdxxfgdxxgf)()()()(10设)(xf在ba,上连续，证明：babadxxfabdxxf)()()(22 证明：令xaxadttfaxdttfxF)()()()(22 xadtxftfxF0)()()(2 故)(xf是 ba,上的减函数，又0)(aF，0)()(aFbF 故 babadxxfabdxxf)()()(22 11设)(xf在ba,上可导，且Mxf)(，0)(af证明：baabMdxxf2)(2)(证明：由题设对,bax可知)(xf在ba,上满足拉氏微分中值定理，于是有 xaaxfafxfxf,),)()()()(又Mxf)(，因而，)()(axMxf 由定积分比较定理，有 babaabMdxaxMdxxf2)(2)()(