《概率论与数理统计》期末考试试题及解答 .doc

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1、一、 填空题（每小题3分，共15分）1 设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则至少有一个不发生的概率为_. 答案：0.3解：即 所以 .2 设随机变量服从泊松分布，且，则_.答案： 解答： 由 知 即 解得 ，故 3 设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间内的概率密度为_.答案： 解答：设的分布函数为的分布函数为，密度为则 因为，所以，即 故 另解 在上函数严格单调，反函数为所以4 设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，则_，=_.答案：， 解答： ，故 .5 设总体的概率密度为 .是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为_.答案： 解答：似然函数为 解似然方程得的极大似然

2、估计为 .二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是 （A）若，则与也独立. （B）若，则与也独立. （C）若，则与也独立. （D）若，则与也独立. （ ）答案：（D）. 解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.SABC 事实上由图 可见A与C不独立. 2设随机变量的分布函数为，则的值为 （A）. （B）. （C）. （D）. （ ） 答案：（A） 解答： 所以 应选（A）.3设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是 （A）与独立. （B）. （C）. （D）. （ ） 答案：（

3、B）解答：由不相关的等价条件知，应选（B）.4设离散型随机变量和的联合概率分布为 若独立，则的值为 （A）. （A）. （C） （D）. （ ） 答案：（A） 解答： 若独立则有YX ， 故应选（A）.5设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中 正确的是 （A）是的无偏估计量. （B）是的极大似然估计量. （C）是的相合（一致）估计量. （D）不是的估计量. （ ） 答案：（A） 解答： ，所以是的无偏估计，应选（A）.三、 （7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格

4、品的概率； （2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解：设任取一产品，经检验认为是合格品 任取一产品确是合格品则（1） （2） .四、 （12分） 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设为途中遇到红灯的次数， 求的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解：的概率分布为 即 的分布函数为 .五、 （10分）设二维随机变量在区域 上服从均匀分布. 求（1）关于的边缘概率密度；（2）的分布函数与概率密度.1D01zxyx+y=1x+y=zD1解： （1）的概率密度为 （2）利用公式 其中 当 或时xzz=x 时 故

5、的概率密度为 的分布函数为 或利用分布函数法 六、 （10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标相互独立，且均服从分布. 求（1）命中环形区域的概率；（2）命中点到目标中心距离的数学期望.xy012 解： （1） ； （2） . 七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）. （附注） 解：（1）的置信度为下的置信区间为 所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132） （2）的拒绝域为. ， 因为 ，所以接受.概率论

6、与数理统计期末考试试题（A） 专业、班级： 姓名： 学号： 一、 单项选择题(每题3分 共18分)1D 2A 3B 4A 5A 6B题 号一二三四五六七八九十十一十二总成绩得 分一、单项选择题(每题3分 共18分)（1）（2）设随机变量X其概率分布为 X -1 0 1 2P 0.2 0.3 0.1 0.4 则（ ）。(A)0.6 (B) 1 (C) 0 (D) （3）设事件与同时发生必导致事件发生，则下列结论正确的是（ ）（A） （B）（C） （D）（4）（5）设为正态总体的一个简单随机样本，其中未知，则（ ）是一个统计量。 (A) (B) (C) (D) （6）设样本来自总体未知。统计假设为

7、 则所用统计量为（ ）(A) (B) (C) (D)二、填空题(每空3分 共15分)（1）如果，则 .（2）设随机变量的分布函数为则的密度函数 ， .（3）（4）设总体和相互独立,且都服从，是来自总体的样本，是来自总体的样本，则统计量 服从 分布（要求给出自由度）。二、填空题(每空3分 共15分)1. 2. , 3. 4. 三、(6分) 设 相互独立，求.解： 0.88= = (因为相互独立).2分 = 3分 则 .4分 6分四、（6 分）某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯在运行的概率均为0.7，求在此时刻至少有1台电梯在运行的概率。解：用表示时刻运行的电梯数， 则 .2分

8、所求概率 4分 =0.9919 .6分 五、（6分）设随机变量X的概率密度为 ，求随机变量Y=2X+1的概率密度。解：因为是单调可导的，故可用公式法计算 .1分 当时， .2分由， 得 4分从而的密度函数为 .5分= .6分 五、（6分）设随机变量X的概率密度为 ，求随机变量Y=2X+1的概率密度。解：因为是单调可导的，故可用公式法计算 .1分 当时， .2分由， 得 4分从而的密度函数为 .5分= .6分六、（8分） 已知随机变量和的概率分布为 而且.(1) 求随机变量和的联合分布;(2)判断与是否相互独立?解：因为，所以(1)根据边缘概率与联合概率之间的关系得出 -1 0 101000 .

9、4分(2) 因为 所以 与不相互独立 8分七、（8分）设二维随机变量的联合密度函数为求：（1）；（2）求的边缘密度。解：（1） .2分 = = .4分（2） .6分 .8分八、（6分）一工厂生产的某种设备的寿命（以年计）服从参数为的指数分布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，求工厂出售一台设备净盈利的期望。解： 因为 得 .2分用表示出售一台设备的净盈利 3分则 .4分所以 （元） .6分九、（8分）设随机变量与的数学期望分别为和2，方差分别为1和4，而相关系数为，求。解：已知则 .4分 .5分 .6分=12 .8

10、分十、（7分）设供电站供应某地区1 000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每日用电量（单位：度）服从0，20上的均匀分布，利用中心极限定理求这1 000户居民每日用电量超过10 100度的概率。（所求概率用标准正态分布函数的值表示）.解：用表示第户居民的用电量，则 2分则1000户居民的用电量为，由独立同分布中心极限定理 3分= 4分 .6分= 7分十一、（7分）设是取自总体的一组样本值，的密度函数为其中未知，求的最大似然估计。解: 最大似然函数为 .2分= .3分则 .4分令 .5分于是的最大似然估计：。 .7分十二、（5分）某商店每天每百元投资的利润率服从正态分布，均值为，长期以

11、来方差 稳定为1，现随机抽取的100天的利润，样本均值为，试求的置信水平为95%的置信区间。（ ） 解： 因为已知，且 1分故 2分依题意 则的置信水平为95%的置信区间为 4分即为 4.801,5.199 5分概率论与数理统计课程期末考试试题（B）专业、班级： 姓名： 学号： 题 号一二三四五六七八九十十一十二总成绩得 分一、单项选择题(每题3分 共15分)（1）（2）（3）连续随机变量X的概率密度为 则随机变量X落在区间 (0.4, 1.2) 内的概率为( ).(A) 0.64 ; (B) 0.6; (C) 0.5; (D) 0.42.（4）（5）二、填空题(每空2分 共12分)（1）（2

12、）（3）（4）三、(7分) 已知，条件概率.四、(9分) .设随机变量的分布函数为， 求:（1）常数,；（2）；（3）随机变量的密度函数。五、(6分) 某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12.两个车间生产的成品都混合堆放在一个仓库中，假设1、2车间生产的成品比例为2：3，今有一客户从成品仓库中随机提台产品，求该产品合格的概率.六、(8分) 已知甲、乙两箱装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求乙箱中次品件数的分布律及分布函数.七、(7分) 设随机变量的密度函数为求随机变量的函

13、数 的密度函数。八、(6分) 现有一批钢材，其中80%的长度不小于3 m，现从钢材中随机取出100根，试用中心极限定理求小于3 m的钢材不超过30的概率。(计算结果用标准正态分布函数值表示)九、(10分) 设二维随机变量的联合密度函数为求：（1）；（2）求,的边缘密度;（3）判断与是否相互独立十、(8分) 设随机变量（）的联合密度函数为求, 进一步判别与是否不相关。十一、(7分) .设是来自总体的一个简单随机样本，总体的密度函数为求的矩估计量。十二、（5分）总体测得样本容量为100的样本均值，求的数学期望的置信度等于0.95的置信区间。（ 一、 单项选择题：（15分）1、D2、D3、B4、A5、C二、 填空题：（12分）1、;2、-13、更4、，;三、（7分）解：四、（9分）解：（1）由 得 （2） （3） 五、（6分）六、（8分）解：设用表示乙箱中次品件数，则的分布律为 的分布函数为 七、（7分）解:八、（6分）解:九、（10分）解：（1）= = （2）关于的边缘分布： = 同理关于的边缘分布： = （3）因为 所以与相互独立。 十、（8分）解： 因为 ，所以与是相关的。 十一、（7分）解：十二、（5分）解：共 8页第 8页