原子物理学杨福家1-6章课后习题答案 .doc

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1、原子物理学课后前六章答案（第四版）杨福家著(高等教育出版社)第一章：原子的位形：卢瑟福模型第二章：原子的量子态：波尔模型第三章：量子力学导论第四章：原子的精细结构：电子的自旋第五章：多电子原子：泡利原理第六章：X射线第一章 习题1、2解1.1 速度为v的非相对论的粒子与一静止的自由电子相碰撞，试证明：粒子的最大偏离角约为10-4rad.要点分析: 碰撞应考虑入射粒子和电子方向改变.并不是像教材中的入射粒子与靶核的碰撞(靶核不动).注意这里电子要动.证明：设粒子的质量为M，碰撞前速度为V，沿X方向入射；碰撞后，速度为V，沿方向散射。电子质量用me表示，碰撞前静止在坐标原点O处，碰撞后以速度v沿方

2、向反冲。粒子-电子系统在此过程中能量与动量均应守恒，有： （1） （2） （3） 作运算：（2）sin(3)cos,得 （4） （5）再将（4）、（5）二式与（1）式联立，消去与v，化简上式，得 （）若记，可将（）式改写为（）视为的函数（），对（7）式求的极值，有令 ，则 sin2(+)-sin2=0 即 2cos(+2)sin=0若 sin=0, 则 =0（极小） （8）（2）若cos(+2)=0 ,则 =90-2 （9）将（9）式代入（7）式，有由此可得 10-4弧度（极大）此题得证。1.2（1）动能为5.00MeV的粒子被金核以90散射时，它的瞄准距离（碰撞参数）为多大？ （2）如果金箔

3、厚1.0 m，则入射粒子束以大于90散射（称为背散射）的粒子数是全部入射粒子的百分之几？ 要点分析:第二问是90180范围的积分.关键要知道n, 注意推导出n值. ,其他值从书中参考列表中找.解：（1）依 和 金的原子序数Z2=79 答：散射角为90所对所对应的瞄准距离为22.8fm.(2)解: 第二问解的要点是注意将大于90的散射全部积分出来. (问题不知道nA,但可从密度与原子量关系找出)从书后物质密度表和原子量表中查出ZAu=79,AAu=197, Au=1.888104kg/m3依: 注意到： 即单位体积内的粒子数为密度除以摩尔质量数乘以阿伏加德罗常数。 是常数其值为 最后结果为：dN

4、/N=9.610-5，说明大角度散射几率十分小。1-31-4 练习参考答案（后面为褚圣麟1-31-4作业）1-3 试问4.5MeV的粒子与金核对心碰撞时的最小距离是多少?若把金核改为7Li核,则结果如何?要点分析: 计算简单，重点考虑结果给我们什么启示，影响靶核大小估计的因素。解: 对心碰撞时 ，时 ，离金核最小距离 离7Li核最小距离 结果说明: 靶原子序数越小，入射粒子能量越大，越容易估算准核的半径. 反之易反。1-4 假定金核半径为7.0 fm,试问入射质子需要多少能量才能在对头碰撞时刚好到达金核的表面？若金核改为铝时质子在对头碰撞时刚好到达铝核的表面，那么入射质子的能量应为多少？设铝核

5、的半径为4.0 fm。要点分析:注意对头碰撞时,应考虑靶核质量大小,靶核很重时, m M可直接用公式计算;靶核较轻时, m M不满足,应考虑靶核的反冲,用相对运动的质心系来解.79AAu=196 13AAl=27 解：若入射粒子的质量与原子核的质量满足m M，则入射粒子与原子核之间能达到的最近距离为，时 ， 即 即： 若金核改为铝核，m 20散射的相对粒子数（散射粒子数与入射数之比）为4.010-3.试计算：散射角=60角相对应的微分散射截面。 要点分析：重点考虑质量厚度与nt关系。解： m= 2.0mg/cm2 ATa=181 ZTa=73 =60 依微分截面公式 知该题重点要求出a2/16

6、由公式 所以 1-8 (1)质量为m1的入射粒子被质量为m2（m230范围内的相对数目。被金原子散射的相对数目为：式中，N为入射质子总数，dNAu为被金原子散射到30范围内的质子数。同理可得质子被银原子散射的相对数目为：被散射的相对质子总数为将已知数据代入： NA=6.021023,E=1.0MeV,t=0.916m,ZAu=79,AAu=197,Au=18.88103kg/m3,ZAg=47,AAg=108,Ag=10.5103kg/m3 1.02810-5 结果讨论: 此题是一个公式活用问题.只要稍作变换,很容易解决.我们需要这样灵活运用能力.1-10 由加速器产生的能量为1.2MeV、束

7、流为5.0 nA的质子束，垂直地射到厚为1.5m的金箔上，试求5 min内被金箔散射到下列角间隔内的质子数。金的密度（=1.888104 kg/m3）1 5961; 2 0=60 3 0=60的值。解：3 由于0的值为无穷大,无法计算,所以将作以变换.仍然像上式一样积分，积分区间为10-180，然后用总数减去所积值，即0=10的值。总数为9.361012-7.561011=8.61012 (个第二章习题解答2.1 铯的逸出功为1.9eV，试求： （1）铯的光电效应阈频率及阈值波长； （2）如果要得到能量为1.5eV的光电子，必须使用多少波长的光照射？解：光电效应方程 （1）由题意知 即 （2）

8、 2.2 对于氢原子、一次电离的氢离子He和两次电离的锂离子Li，分别计算它们的：（1）第一、第二玻尔轨道半径及电子在这些轨道上的速度；（2）电子在基态的结合能；（3）由基态带第一激发态所需的激发能量及由第一激发态退激到基态所放光子的波长。解：（1）由波尔理论及电子的轨道半径公式 ， r1为氢原子第一波尔半径氢原子第二波尔半径可知： He+ (Z=2) Li+ + (Z=3)电子在波尔轨道上的速率为 于是有 H : He+ : Li+ + : (2) 电子在基态的结合能Ek在数值上等于原子的基态能量。由波尔理论的能量公式 可得 故有 H : He+ : Li+ : （3）以电压加速电子，使之于

9、原子碰撞，把原子从基态激发到较高能态，用来加速电子的电势差称为激发电势，从基态激发到第一激发态得相应的电势差称为第一激发电势。对 H : He+ : Li+ : 共振线（即赖曼系第一条）的波长： H : He+ : Li+ : 2.3 欲使电子与处于基态的锂离子Li发生非弹性散射，试问电子至少具有多大的动能？解：Li+ +基态能量为 ，从基态到第一激发态所需能量为故电子必须具有91.8ev的动能.2.4 运动质子与一个处于静止的基态氢原子作完全非弹性的对心碰撞，欲使锂原子发射出光子，质子至少应多大的速度运动？解：欲使基态氢原子发射光子，至少应使氢原子从基态激发到第一激发态，因此有： （质子静止

10、能量 ）2.5 （1）原子在热平衡条件下处于不同能量状态的数目是按波尔兹曼分布的，即处于能量为En的激发态的原子数为：式中N1是能量为E1状态的原子数，k为玻尔兹曼常量，gn和g1为相应能量状态的统计权重。试问：原子态的氢在一个大气压、20温度的条件下，容器必须多大才能有一个原子处在第一激发态？已知氢原子处于基态和第一激发态的统计权重分别为g1=2和g2=8。（2）电子与室温下的氢原子气体相碰撞，要观察到H线，试问电子的最小动能为多大？略。2.6 在波长从95nm到125nm的光带范围内，氢原子的吸收光谱中包含哪些谱线？解：对于，有故的波长的光子不足以将氢原子激发到n=5的激发态，但可以将氢原

11、子激发到n=4的激发态 n1=4同理有： 对应于n=1的辐射光子的波长应比125nm更长，在波段以外 n2=2又 氢原子的吸收谱对应于赖曼系， 在（95125nm）波段内只能观察到3条即2.7 试问哪种类氢离子的巴耳末系和赖曼系主线的波长差等于133.7nm？解：赖曼系主线：巴耳末主线：二主线波长差：2.8 一次电离的氢原子He+从第一激发态向基态跃迁时所辐射的光子，能量处于基态的氢原子电离，从而放出电子，试求该电子的速度。解：He+从E2E1跃迁辐射的光子的能量为氢原子的电离能为 电离的电子的能量为 该电子的速度为 2.9 电子偶素是由一个正电子和一个电子所组成的一种束缚系统，试求出：（1）

12、基态时两电子之间的距离；（2）基态电子的电离能和由基态到第一激发态的激发能；（3）由第一激发态退激到基态所放光子的波长。解：电子偶素可看作类氢体系，波尔理论同样适用，但有关公式中的电子质量必须采用体系的折合质量代替，对电子偶素，其折合质量为：（1） （2）电离能为 式中 于是 则电离电势为 第一激发电势为 （3）共振线波长为2.10 子是一种基本粒子，除静止质量为电子质量为电子质量的207倍外，其余性质与电子都一样。当它运动速度较慢时，被质子俘获形成子原子，试计算：（1）子原子的第一波尔轨道半径；（2）子原子的最低能量；（3）子原子赖曼线系中的最短波长。解：（1）子原子可看作类氢体系，应用波尔

13、理论，其轨道半径为 式中 其第一波尔半径为（2）子原子的能量公式为最低能量 （3）由波长公式 2.11 已知氢和重氢的里德伯常量之比为0.999728，而它们的核质量之比为mH/mD=0.500 20，试计算质子质量与电子质量之比。解：由 可知 又 则 2.12 当静止的氢原子从第一激发态向基态跃迁放出一个光子时，（1）试求这个氢原子所获得的反冲速率为多大？（2）试估计氢原子的反冲能量与所发光子的能量之比。解：（1）所发光子的能量光子的动量 氢原子的反冲动量等于光子动量的大小，即（2） 氢原子的反冲能量为2.13 钠原子的基态为3s，试问钠原子从4P激发态向低能级跃迁时，可产生几条谱线（不考虑

14、精细结构）？解：不考虑能级的精细结构，钠原子的能级图如下： S P D F 4F 4D 5S 4P 3D 4S 3P 3S根据辐射的选择定则可知，当钠原子从4P态向低能级跃迁时可产生6条光谱。2.14 钠原子光谱的共振线（主线系第一条）的波长等于=589.3nm，辅线系线限的波长等于=408.6nm，试求（1）3S、3P对应的光谱项和能量；（2）钠原子基态电子的电离能和由基态到第一激发态的激发能。解：（1） 由Na的能级图可知，3P能级的光谱项和能级分别为：3S能级的光谱项和能级可通过下式求出：（2）Na原子的电离能为故电离电势为 第一激发电势为 第三章题解3-1 电子的能量分别为10eV，1

15、00 eV，1000 eV时，试计算相应的德布罗意波长。解：依计算电子能量和电子波长对应的公式电子的能量: 由德布罗意波长公式: 3-2 设光子和电子的波长均为0.4nm，试问：（1）光子的动量与电子的动量之比是多少？ （2）光子的动能与电子的动能之比是多少？解：（1）由可知光子的动量等于电子的动量，即p光子:p电子=1:1（2）由 光子动能与波长的对应的关系 电子动能与波长的关系 则知 3-3 若一个电子的动能等于它的静止能量，试求：(1)该电子的速度为多大?(2)其相应的德布罗意波长是多少?解： （1）依题意，相对论给出的运动物体的动能表达式是： 所以 （2） 根据电子波长的计算公式： 3

16、-4 把热中子窄束射到晶体上，由布喇格衍射图样可以求得热中子的能量若晶体的两相邻布喇格面间距为0.18nm，一级布喇格掠射角(入射束与布喇格面之间的夹角)为30,试求这些热中子的能量解：根据布喇格衍射公式 n=dsin =dsin=0.18sin30nm=0.09 nm 3-5 电子显微镜中所用加速电压一般都很高，电子被加速后的速度很大，因而必须考虑相对论修正试证明：电子的德布罗意波长与加速电压的关系应为： 式中Vr=V(1+0.97810-6V)，称为相对论修正电压，其中电子加速电压V的单位是伏特分析:考虑德布罗意波长,考虑相对论情况质量能量修正,联系德布罗意关系式和相对论能量关系式,求出相

17、对论下P即可解.证明：根据相对论质量公式 将其平方整理乘c2,得其能量动量关系式 题意得证.3-6 (1)试证明：一个粒子的康普顿波长与其德布罗意波长之比等于 式中Eo和E分别是粒子的静止能量和运动粒子的总能量(康普顿波长c=h/m0c,m0为粒子静止质量，其意义在第六章中讨论)(2)当电子的动能为何值时，它的德布罗意波长等于它的康普顿波长?证明：根据相对论能量公式 将其平方整理乘c2 （1）相对论下粒子的德布罗意波长为： 粒子的康普顿波长为 （2）若粒子的德布罗意波长等于它的康顿波长 则电子的动能为211.55KeV.则电子的动能为211.55KeV注意变换：1. P转化为表示; 2. E转

18、化为表示;3-7 一原子的激发态发射波长为600nm的光谱线，测得波长的精度为，试问该原子态的寿命为多长?解： 依 求t 3-8 一个电子被禁闭在线度为10fm的区域中，这正是原子核线度的数量级，试计算它的最小动能解： 粒子被束缚在线度为r的范围内，即x = r那么粒子的动量必定有一个不确定度，它至少为： 电子的最小平均动能为 3-9 已知粒子波函数，试求：(1)归一化常数N；(2)粒子的x坐标在0到a之间的几率；(3)粒子的y坐标和z坐标分别在-b+b和-c+c.之间的几率解: (1)因粒子在整个空间出现的几率必定是一,所以归一化条件是: dv = 1即: 所以 N (2) 粒子的x坐标在区

19、域内几率为: (3) 粒子的区域内的几率为: 3-10 若一个体系由一个质子和一个电子组成，设它的归一化空间波函数为(x1，y1，z1；x2，y2，z2)，其中足标1，2分别代表质子和电子，试写出： (1)在同一时刻发现质子处于(1，0，0)处，电子处于(0，1，1)处的几率密度； (2)发现电子处于(0，0，0)，而不管质子在何处的几率密度；(3)发现两粒子都处于半径为1、中心在坐标原点的球内的几率大小3-11 对于在阱宽为a的一维无限深阱中运动的粒子，计算在任意本征态n中的平均值及，并证明：当n时，上述结果与经典结果相一致 3-12 求氢原子1s态和2P态径向电荷密度的最大位置第三章习题1

20、3,143-13 设氢原子处在波函数为的基态，a1为第一玻尔半径，试求势能的平均值3-14 证明下列对易关系：第三章习题15解3-15 设质量为m的粒子在半壁无限高的一维方阱中运动,此方阱的表达式为:(x)=试求: (1)粒子能级表达式; (2)证明在此阱内至少存在一个束缚态的条件是,阱深和阱宽a之间满足关系式: 解: (1) 在xa , 薛定谔方程为: (4)整理后得: 令 则: 方程的解为: (5)式中A,B 为待定系数,根据标准化条件的连续性,有将(3),(5)式代人得: (6)(2):证明: 令 则(6)式可改为: (7) 同时, u和v 还必须满足下列关系式: (8)联立(7) (8

21、)可得粒子的能级的值.用图解法求解:在以v为纵轴u为横轴的直角坐标系中(7) (8) 两式分别表示超越曲线和圆,其交点即为解.因k k 都不是负数,故u和v 不能取负值,因此只能取第一象限.由图可知(7) (8)两式至少有一解得条件为: 即 4-l 一束电子进入1.2T的均匀磁场时，试问电子自旋平行于和反平行于磁场的电子的能量差为多大?分析要点: ms=1/2,gs=2; 解：已知：电子自旋磁矩在磁场方向的投影 依磁矩与磁场的作用能量 自旋与磁场平行时 自旋与磁场反平行时 则 4-2 试计算原子处于状态的磁矩及投影z的可能值 解：已知：j=3/2, 2s+1=2 s=1/2, l =2 则 依

22、据磁矩计算公式 依据磁矩投影公式 4-3 试证实：原子在6G32状态的磁矩等于零，并根据原子矢量模型对这一事实作出解释解: 因为 2S+1=6 S=5/2 J = 3/2 l = 4 mj=3/2,1/2,-1/2,-3/2gJmJ=0 这是一个多电子耦合系统,相互作用产生的总效果为零.说明多电子作用有互相抵消的情况.4-4 在史特恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄的银原子束通过极不均匀的横向磁场，并射到屏上，磁极的纵向范围d=10cm，磁极中心到屏的距离D=25 cm如果银原子的速率为400ms，线束在屏上的分裂间距为2.0mm，试问磁场强度的梯度值应为多大?银原子的基态为2S12，质量为107

23、.87u解：原子束在屏上偏离中心的距离可用下式表示: 对原子态 2S1/2 L=0 S=1/2 J=1/2故 M=朗德g因子为:g=2对于上屏边缘的线束取M=-J, 对于下屏边缘的线束取M=J 所以.(1) g=2 D 代入上式得: 4-5在史特恩-盖拉赫实验中(图19.1)，不均匀横向磁场梯度为，磁极的纵向范围d=10cm，磁极中心到屏的距离D=30cm，使用的原子束是处于基态4F3/2的钒原子，原子的动能Ek=50MeV试求屏上线束边缘成分之间的距离解： 对于多个电子 2S+1=4 S=3/2 L=3， J=3/2 则 依公式 又 3kT=mV2=0.1eV =和 = 即: Z3/2=2Z

24、2(3/2)= 20.52092=1.42cm Z1/2=2Z2(1/2)= 20.1736=0.347cm 4-6. 在史特恩-盖拉赫实验中，原子态的氢从温度为400 K的炉中射出，在屏上接受到两条氢束线，间距为0.60cm若把氢原子换成氯原子(基态为2P32)，其它实验条件不变，那么，在屏上可以接受到几条氯束线?其相邻两束的间距为多少?解： 已知 Z2=0.30cm T=400K 3kT=38.61710-5400eV=0.103eVJ=1/2 gj=2 mjgj=1由 当换为氯原子时，因其基态为2P32 ，j=3/2, l=1 s =1/2 共有2j+1=4条，相邻两条间距为|Z-Z|=

25、0.4cm。4-7 试问波数差为29.6cm-1的赖曼系主线双重线，属于何种类氢离子?解： 以为是赖曼系主线 n=2 L=1 代入上式 得，z=3 所以是Li原子 又因为其为类氢离子 所以为4-8 试估计作用在氢原子2P态电子上的磁场强度解: 又由(21-13)式,=4.5310-5eV 4-9 试用经典物理方法导出正常塞曼效应4-10 Z=30锌原子光谱中的一条谱线(3S13p0)在B为100T的磁场中发生塞曼分裂，试问：从垂直于磁场方向观察，原谱线分裂为几条?相邻两谱线的波数差等于多少?是否属于正常塞曼效应?并请画出相应的能级跃迁图解： 已知：对于激发态 L=0，J=1, S=1. m1=

26、0,1,在外磁场作用下，可以分裂为三条。 对于基态 L=1，J=0, S=1 m2=0,在外磁场作用下，并不分裂。= =(0.934,0,-0.934)cm-1所以原谱线在外加磁场中分裂为三条，垂直磁场可以看到三条谱线。m=0,+1,-1,分别对应于，+，-三条谱线。虽然谱线一分为三，但彼此间间隔值为2BB，并不是BB，并非激发态和基态的S=0，因S0所以它不是正常的塞曼效应。对应的能级跃迁图4-11 试计算在B为2.5T的磁场中，钠原子的D双线所引起的塞曼分裂 解：A对于2S1/2态，用，将s=1/2, l=0;j=1/2代入，即可算出gj=2；由于j=1/2,因而mj=，于是mjgj=1。

27、B.对于P态，相应的l=1，因而j=ls, s=1/2,j=1/2，3/2，有两个原子态2P1/2，2P3/2。分别对应于g1/2=2/3, m1g1=1/3g3/2=4/3, m2g2=2/3 , 6/3 依 分裂为四条线。 分裂为六条线。4-12 注:此题(2)有两种理解(不同习题集不同做法,建议用第二种方法).钾原子的价电子从第一激发态向基态跃迁时，产生两条精细结构谱线，其波长分别为766.4nm和769.9nm，现将该原子置于磁场B中(设为弱场)，使与此两精细结构谱线有关的能级进一步分裂(1)试计算能级分裂大小，并绘出分裂后的能级图(2)如欲使分裂后的最高能级与最低能级间的差距E2等于

28、原能级差E1的1.5倍，所加磁场B应为多大?要点分析:钾原子的价电子从第一激发态向基态的跃迁类似于钠的精细结构。其能级图同上题。解：(1) 先计算朗德因子和mjgjA.对于2S1/2态，用,将s=1/2, l=0;j=1/2代入，即可算出gj=2；由于j=1/2,因而mj=，于是mjgj=1。B.对于P态，相应的l=1，因而j=ls, s=1/2,j=1/2，3/2，有两个原子态2P1/2，2P3/2。分别对应于 2P1/2对应有m1=1/2, g1/2=2/3, m1g1=1/32P3/2对应有m2=1/2，g3/2=4/3, m2g2=2/3 , 6/3能级分裂大小: P3/2能级分裂大小

29、: m2g2从+6/3+2/3为4/3BB P1/2能级分裂大小: m2g2从+1/3-1/3为2/3BB S1/2能级分裂大小: m1g1从+1-1为2BB(2) 解: 有两种认为: (2) 第一种认为:E =(E2-E1) 与教材计算结果一致.分裂后的最高能级2P3/2, mJ=3/2与最低能级差2P1/2,mJ =-1/2 若使E2=1.5E1=1.5(E2- E1) 即E1+7/3BB=1.5E1即 7/3BB=0.5E1=0.5(E2-E1)=0.5(E2-E0)-(E1-E0)=0.5 即 B=27.17 T(3) 第二种认为:E =(E2-E0)与教材结果相差甚远分裂后的最高能级

30、2P3/2, mJ =3/2与最低能级差2s1/2,mJ=-1/2若使E2=1.5E1 即E1+3BB=1.5E1即 3BB=0.5E1=0.5(E2-E0)=0.5 B=4648.3 T4-13 假如原子所处的外磁场B大于该原子的内磁场，那么，原子的LS耦合将解脱，总轨道角动量L和总自旋角动量S将分别独立地绕B旋进 (1)写出此时原子总磁矩的表示式； (2)写出原子在此磁场B中的取向能E的表示式； (3)如置于B磁场中的原子是钠，试计算其第一激发态和基态的能级分裂，绘出分裂后的能级图，并标出选择定则(ms=0，m=0，1)所允许的跃迁4-14 4-14 在居B=4T的外磁场中，忽略自旋轨道相互作用，试求氢原子的2P-1S跃迁 (=121 nm)所产生的谱线的波长.解： 忽略自旋与轨道相互作用,即引起帕邢-巴克效应。此时， 或者 (1)选择规则变为 ms=0，m=0，1 对应于1S态，ms=1/2, ml=0. 因此类比 (1